15.3.1 等腰三角形的性质（第1课时）讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.1 等腰三角形的性质（第1课时） · 基础讲义 15.3.1 等腰三角形的性质（第1课时） （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　等腰三角形的边角计算 2 题型 1　由顶角底角互求 3 题型 2　内角不确定的分类讨论 4 题型 3　边长与周长的计算 5 微专题 2　三线合一及其应用 6 题型 1　三线合一求角与求线段 6 题型 2　三线合一的实际应用 8 题型 3　腰上高与中线的计算 9 微专题 3　等腰三角形与垂直平分线 10 题型 1　垂直平分线的角关系 10 题型 2　尺规作图与证明 12 培优微专题 4　综合探究与证明 13 培优题型 1　动点与最值的讨论 14 培优题型 2　探究与分类讨论 14 一、本讲导航 学习目标 1．理解等腰三角形的概念，能正确指出腰、底边、顶角与底角，会用"等边对等角"由已知角求其余各角。 2．探索并证明等腰三角形的性质定理——等腰三角形的两个底角相等；能由顶角求底角、由底角求顶角，并说明每一步的依据。 3．探索并证明等腰三角形"三线合一"的性质——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，并能在三条线之间"知一推二"。 4．能处理等腰三角形中"角不确定""边不确定"的分类讨论问题，会用三角形内角和与三边关系检验结果，舍去不合法的情形。 5．会综合运用等腰三角形与线段垂直平分线的性质进行计算与说理，能完成相关的尺规作图与证明。 6．能从测平架、路灯拉绳、古建筑顶架等实际情境中抽象出等腰三角形模型，发展几何直观、推理能力与应用意识。 重点与难点 重点　等边对等角；三线合一；等腰三角形中边与角的分类讨论；用面积法求腰上的高。 难点　① 已知角未说明是顶角还是底角时的分类；② 已知边未说明是腰还是底边时的分类与检验；③ 三线合一的"知一推二"；④ 腰上的高落在形外的钝角情形；⑤ 复杂图形中识别并构造等腰三角形。 学习主线 认边角（腰、底、顶角、底角）→ 用性质 1（等边对等角，边角互求）→ 用性质 2（三线合一，知一推二）→ 分类讨论并检验 → 与实际模型对接 → 综合证明与探究。 微专题 1　等腰三角形的边角计算 模块导学 等腰三角形的边角计算 "等边对等角"是一切计算的起点；题目只说"一个角""一条边"时，必须先分类讨论，再用内角和与三边关系筛掉不合法的结果。 知识梳理 知识点 1　等腰三角形的性质与边角互求（重点） ① 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 ② 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。符号写法：∵AB＝AC，∴＝。 ③ 由性质 1 直接得到两组换算：顶角＝－2×底角；底角＝(－顶角)÷2。 ④ 已知一个内角求另外两个角，先判断这个角是顶角还是底角；题目没有说明时，两种情形都要讨论。 ⑤ 顶角可以是锐角、直角或钝角；底角一定是锐角——因为两个底角之和小于 。 ⑥ 由⑤可直接否定一些说法：如"等腰三角形的底角是 "一定不成立，"顶角是 "则完全可能。 ⑦ 已知两边求第三边：分"已知的两边是腰和底"与"已知的两边都是腰"两种情形，再用三角形三边关系检验。 ⑧ 已知周长与一边求另外两边：同样要分这一边是腰还是底边，两种情况分别算出后都要检验能否构成三角形。 ⑨ 一腰上的中线把三角形周长分成两部分，两部分之差等于"腰与底边之差的一半"，据此可以列方程求边长。 ⑩ 已知"一个内角是另一个内角的 2 倍"这类条件，要分顶角与底角的关系逐一讨论，不能只算一种。 ⑪ 一腰上的高与另一腰的夹角已知时，要分锐角三角形（高在形内）与钝角三角形（高在形外）两种情况。 注意　分类讨论后必须逐项检验：内角和是否为 、三边关系是否满足、底角是否小于 ，不合法的结果要舍去。 易错　只算一种情形就作答——等腰三角形中"未指明是顶角还是底角""未指明是腰还是底边"，答案往往有两个。 易错　算出边长后忘记用三边关系检验，把 3、3、7 这类不能构成三角形的结果也写进答案。 题型 1 由顶角底角互求 　　例 1　　　等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　等腰三角形的一个顶角是，则它的底角是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．或　　　 　　变式 2　　　如图，已知在中，，则的度数是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 3　　　已知等腰三角形中，顶角比底角大，则底角的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 4　　　若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．或　　　 　　变式 5　　　等腰三角形的一个内角是　，则它的底角是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　如图，在△ABC中，AB＝AC，＝，CDAB，则的度数是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 7　　　如图，在中，，，则的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 8　　　如图，中，，，延长到点，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 9　　　如图，，点C在直线上，，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 题型 2 内角不确定的分类讨论 　　例 2　　　若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是（　　） A．或　　　　B．或　　　　 C．或　　　　D．或　　　 　　变式 10　　　若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形的底角为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．或者　　　 　　变式 11　　　等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 12　　　如图，在△ABC中，∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则的度数为＿＿＿＿． 　　 　 　 　　变式 13　　　如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 题型 3 边长与周长的计算 　　例 3　　　已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=5cm，　那么腰AC的长为　（　　） A．3cm或13cm　　　　B．13cm　　　　 C．3cm　　　　D．8cm或13cm　　　 　　变式 14　　　等腰三角形一腰上的中线把周长分为9cm和21cm的两部分，则这个等腰三角形的底边长是（　　） A．2cm　　　　B．14cm　　　　 C．18cm　　　　D．2cm或18cm　　　 　　变式 15　　　等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 16　　　已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 17　　　已知△ABC三条边的长分别为：，，（a为正整数）． （1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长； （2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值． 　 　 　 　 微专题 2　三线合一及其应用 模块导学 三线合一及其应用 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三条线合成一条——知道其中任意一个身份，就能推出另外两个，这是等腰三角形里最强的一条工具。 知识梳理 知识点 2　三线合一（重点） ① 性质 2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ② 用法是"知一推二"：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，＝；其余两个身份作已知条件时同理。 ③ 三线合一只针对底边，对腰不成立——"腰上的中线"与"腰上的高"是两条不同的线。 ④ 求角：由顶角平分线得一半的角，再由直角三角形两锐角互余求底角。 ⑤ 求线段：由中线得底边的一半，由高得直角三角形，可用面积或勾股求值。 ⑥ 证垂直：已知等腰且某线平分顶角（或是底边中线），可直接得这条线垂直于底边。 ⑦ 测平架、路灯拉绳等实际模型：两条拉绳等长构成等腰三角形，重垂线（或中点处的竖直线）正是底边上的中线，所以它垂直于底边，从而检验水平。 ⑧ 面积法：½×腰×腰上的高＝½×底×底边上的高，同一个三角形两种算法结果相等，是求高的常用手段。 ⑨ 底边上任意一点到两腰的距离之和，等于一腰上的高——用面积分割即可证明。 ⑩ 一腰上的中线把三角形分成面积相等的两部分（等底同高）。 注意　三线合一的前提一定是"等腰"且"这条线过顶点到底边"；缺一个条件就不能用。 易错　把三线合一用在腰上，误以为"腰上的中线也垂直于腰"。 题型 1 三线合一求角与求线段 　　例 1　　　如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 2　　　如图，在中，，垂足为点D，且，则（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 3　　　如图，在中，，垂足为，若，求的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 4　　　如图，在中，是的中线，已知，则的度数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　如图，在中，，是的中线，，，则的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　如图，已知等腰中，平分，，若的面积是12，则的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 三线合一的实际应用 　　例 2　　　如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的，，点在上，．若的长为，则的长为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 7　　　如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 　　变式 8　　　如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 9　　　如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 题型 3 腰上高与中线的计算 　　例 3　　　如图，已知，平分，．若，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 10　　　如图，在△ABC中，CA=CB，，延长BC到D，在内作射线CE，使得．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A．　　　　B．2　　　　 C．4　　　　D．6　　　 　　变式 11　　　如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的值为（　　） A．6　　　　B．7　　　　 C．8　　　　D．9　　　 　　变式 12　　　等腰三角形的面积为，腰长．在底边上有一个动点，则到两腰的距离之和为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 微专题 3　等腰三角形与垂直平分线 模块导学 等腰三角形与垂直平分线 底边的垂直平分线就是顶角平分线所在直线；垂直平分线上的点到两端距离相等，于是又"长"出新的等腰三角形。 知识梳理 知识点 3　与垂直平分线的联系（重点） ① 等腰三角形底边的垂直平分线，就是顶角平分线所在的直线——这是三线合一的另一种表述。 ② 等腰三角形两腰的垂直平分线交于一点，这一点落在底边的垂直平分线上（也在顶角平分线上）。 ③ 用垂直平分线的性质"造"等腰：线上任意一点到线段两端距离相等，连接后就得到等腰三角形。 ④ 已知某点在垂直平分线上，先写出相等线段，再用"等边对等角"求角。 ⑤ 底边中线、底边上的高、顶角平分线三条线在图上常画成同一条，作图时作其中任意一条即可。 ⑥ 证明一个三角形是等腰三角形：证两角相等（等角对等边）或两边相等。 ⑦ 常见组合图形：角平分线与垂直平分线交于一点，过交点向两边作垂线，可得到两对全等三角形。 注意　"垂直平分线上的点到两端距离相等"与"等边对等角"要配合使用：先得边等，再得角等。 易错　把垂直平分线的性质用在"没有说明垂直平分"的图上，凭图"看着像"就下结论。 题型 1 垂直平分线的角关系 　　例 1　　　如图，在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连结AE，若＝，则的大小为　＿＿＿＿＿度． 　 　 　　变式 1　　　已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 2　　　如图，在△中，、为边上的两个点，且＝，＝，若∠＝，则∠的大小为＿＿＿＿度. 　 　 　　变式 3　　　如图，在中，，是的角平分线，是的中线，、相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求． 　 　 　 　 　　变式 4　　　已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证： 　　 (1)； (2)． 　 　 　 　 　　变式 5　　　如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且＝m°，则＝（　　） A．﹣m°　　　　B．﹣2m°　　　　 C．+m°　　　　D．m°　　　 题型 2 尺规作图与证明 　　例 2　　　如图，点D、E在的边上，求证：． 　　 　 　 　 　 　　变式 6　　　如图，在中，，点D在的延长线上，且，点F为的中点，连接并延长，交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，，求的周长． 　 　 　 　 　　变式 7　　　如图，△ABC中，＝，BC＝5． ⑴　利用直尺和圆规在AB边上求作一点P，使得＋＝，并说明理由；（不写作法，保留作图痕迹） ⑵　在⑴的条件下，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 　 　 　 　 　　变式 8　　　如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)请直接写出，，三者之间的数量关系； (3)若＝，＝，求的度数． 　　 　 　 　 　 培优微专题 4　综合探究与证明 模块导学 综合探究与证明 存在性问题按"哪两条边相等"分类，动点问题先定端点再定范围；辅助线首选作底边上的高，把等腰化归为两个全等的直角三角形。 知识梳理 知识点 4　存在性问题与分类讨论（难点） ① 等腰三角形存在性问题：按"哪两条边相等"分三种情况（AB＝AC、AB＝BC、AC＝BC）逐一求解。 ② 每求出一种情况，都要用三角形三边关系检验，把不能构成三角形的舍去。 ③ 动点问题：点在一条边上运动时，相关角的取值范围由两个端点位置确定，先算端点再取中间。 ④ 辅助线首选"作底边上的高"：把等腰三角形分成两个全等的直角三角形，边角关系一次到位。 ⑤ 构造等腰的常用手法：截长补短、作平行线、利用"角平分线＋平行线得等腰"。 ⑥ 探究题的写法：先用特殊位置猜出结论，再在一般情况下证明，最后检验结论是否对全部情形成立。 ⑦ 折叠问题中折痕是对称轴，折叠后常出现等腰三角形，用"等边对等角"求角。 ⑧ 分类讨论的书写规范：分类标准写在前，逐类求解居中，最后统一作答，不能只写结果。 注意　题目问"求……的值"而答案不止一个时，务必把每种情形都写出来，并注明对应的图形位置。 易错　分类时遗漏"两腰相等"的退化情形，或把动点运动到端点的情况漏掉。 培优题型 1 动点与最值的讨论 　　例 1　　　如图，在△ABC　中，AB=AC，，P　是边　AB　上的一个动点(不与顶点　A　重合)，则　的度数可能是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　如图，D、E分别是的边、上的点，若，，则（　　） A．当为定值时，为定值　　　　B．当为定值时，为定值　　　 　C．当为定值时，为定值　D．无法确定 培优题型 2 探究与分类讨论 　　例 2　　　在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 　 　 　　变式 2　　　如图，． (1)若， ①如果，那么的度数为　；　 ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，与有什么位置关系？请证明你的结论． 　 　 　 　 　　变式 3　　　如图，在中，，点为上一点，且满足．点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求和的度数； (2)求证：是等腰三角形． 　 　 　 　 　　变式 4　　　综合与实践： 问题情境： 已知在△ABC中，，，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且，设． （1）如图1，若点D在BC边上，当时，求和的度数； 拓广探索： （2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出和的数量关系． 　 　 　 　 　　变式 5　　　如图1，在中，，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．设，． （1）求证：． （2）当点D在线段BC上运动时， ①，则＿＿＿＿＿＿＿＿． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明 （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 　 　 　　变式 6　　　如图，在中，，分别是的中线和角平分线，相交于点O． (1)若的面积是20，且，求的长； (2)若，求的度数． 　 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $15.3.1 等腰三角形的性质（第1课时） · 基础讲义 15.3.1 等腰三角形的性质（第1课时） （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　等腰三角形的边角计算 2 题型 1　由顶角底角互求 3 题型 2　内角不确定的分类讨论 6 题型 3　边长与周长的计算 10 微专题 2　三线合一及其应用 12 题型 1　三线合一求角与求线段 12 题型 2　三线合一的实际应用 15 题型 3　腰上高与中线的计算 17 微专题 3　等腰三角形与垂直平分线 19 题型 1　垂直平分线的角关系 20 题型 2　尺规作图与证明 24 培优微专题 4　综合探究与证明 27 培优题型 1　动点与最值的讨论 27 培优题型 2　探究与分类讨论 28 一、本讲导航 学习目标 1．理解等腰三角形的概念，能正确指出腰、底边、顶角与底角，会用"等边对等角"由已知角求其余各角。 2．探索并证明等腰三角形的性质定理——等腰三角形的两个底角相等；能由顶角求底角、由底角求顶角，并说明每一步的依据。 3．探索并证明等腰三角形"三线合一"的性质——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，并能在三条线之间"知一推二"。 4．能处理等腰三角形中"角不确定""边不确定"的分类讨论问题，会用三角形内角和与三边关系检验结果，舍去不合法的情形。 5．会综合运用等腰三角形与线段垂直平分线的性质进行计算与说理，能完成相关的尺规作图与证明。 6．能从测平架、路灯拉绳、古建筑顶架等实际情境中抽象出等腰三角形模型，发展几何直观、推理能力与应用意识。 重点与难点 重点　等边对等角；三线合一；等腰三角形中边与角的分类讨论；用面积法求腰上的高。 难点　① 已知角未说明是顶角还是底角时的分类；② 已知边未说明是腰还是底边时的分类与检验；③ 三线合一的"知一推二"；④ 腰上的高落在形外的钝角情形；⑤ 复杂图形中识别并构造等腰三角形。 学习主线 认边角（腰、底、顶角、底角）→ 用性质 1（等边对等角，边角互求）→ 用性质 2（三线合一，知一推二）→ 分类讨论并检验 → 与实际模型对接 → 综合证明与探究。 微专题 1　等腰三角形的边角计算 模块导学 等腰三角形的边角计算 "等边对等角"是一切计算的起点；题目只说"一个角""一条边"时，必须先分类讨论，再用内角和与三边关系筛掉不合法的结果。 知识梳理 知识点 1　等腰三角形的性质与边角互求（重点） ① 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 ② 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。符号写法：∵AB＝AC，∴＝。 ③ 由性质 1 直接得到两组换算：顶角＝－2×底角；底角＝(－顶角)÷2。 ④ 已知一个内角求另外两个角，先判断这个角是顶角还是底角；题目没有说明时，两种情形都要讨论。 ⑤ 顶角可以是锐角、直角或钝角；底角一定是锐角——因为两个底角之和小于 。 ⑥ 由⑤可直接否定一些说法：如"等腰三角形的底角是 "一定不成立，"顶角是 "则完全可能。 ⑦ 已知两边求第三边：分"已知的两边是腰和底"与"已知的两边都是腰"两种情形，再用三角形三边关系检验。 ⑧ 已知周长与一边求另外两边：同样要分这一边是腰还是底边，两种情况分别算出后都要检验能否构成三角形。 ⑨ 一腰上的中线把三角形周长分成两部分，两部分之差等于"腰与底边之差的一半"，据此可以列方程求边长。 ⑩ 已知"一个内角是另一个内角的 2 倍"这类条件，要分顶角与底角的关系逐一讨论，不能只算一种。 ⑪ 一腰上的高与另一腰的夹角已知时，要分锐角三角形（高在形内）与钝角三角形（高在形外）两种情况。 注意　分类讨论后必须逐项检验：内角和是否为 、三边关系是否满足、底角是否小于 ，不合法的结果要舍去。 易错　只算一种情形就作答——等腰三角形中"未指明是顶角还是底角""未指明是腰还是底边"，答案往往有两个。 易错　算出边长后忘记用三边关系检验，把 3、3、7 这类不能构成三角形的结果也写进答案。 题型 1 由顶角底角互求 　　例 1　　　等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据等腰三角形的两底角相等，即可求解． 解：∵等腰三角形的顶角是， ∴这个三角形的一个底角的大小是　． 故选：A 　　答案　　　A 点睛　本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 　　变式 1　　　等腰三角形的一个顶角是，则它的底角是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．或　　　 思路分析　根据等腰三角形的性质，可得底角为，即可求解． 解：由题意得， 底角为； 故选：B． 　　答案　　　B 点睛　本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形内角和定理，理解等腰三角形的定义是解题的关键． 　　变式 2　　　如图，已知在中，，则的度数是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质；设，根据等腰三角形性质求出，根据三角形的外角性质得出，根据，得出等式，求出即可． 解：设， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 3　　　已知等腰三角形中，顶角比底角大，则底角的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为，此题比较简单．设等腰三角形的底角为x，顶角为，根据三角形内角和为得到的方程，求出的值即可． 解：设等腰三角形的底角为x，顶角为， 根据题意，得， 解得． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 4　　　若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．或　　　 思路分析　本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 解：等腰三角形有一个内角为， ∴的内角是顶角， ∴这个等腰三角形的底角是． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 5　　　等腰三角形的一个内角是　，则它的底角是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等，三角形内角和性质，分类讨论，是解题的关键． 分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 解：当顶角为时， 则底角为：； 当底角为时， 则底角为； 故答案为：或． 　　答案　　　或 　　变式 6　　　如图，在△ABC中，AB＝AC，＝，CDAB，则的度数是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据等腰三角形性质，可得＝＝，再根据平行线的性质，即可求出的度数． 解：∵AB＝AC，＝， ∴＝＝（－）＝， ∵， ∴＋＝， ∴＝． 故答案为： 　　答案　　　度 点睛　此题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用已知条件，进行正确的推理计算． 　　变式 7　　　如图，在中，，，则的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，根据等边对等角求得度数是解题的关键． 根据题意，由可得，进而根据，可得，根据三角形的外角性质可得，进而可得，根据三角形内角和定理即可得解． 解：，， ， ， 　， ， ， ， 故答案为：． 　　答案　　　/75度 　　变式 8　　　如图，中，，，延长到点，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 解：∵， ∴， ∴． 　　答案　　　C 　　变式 9　　　如图，，点C在直线上，，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，从而求出的度数． 解：， ， ， ， ， ， ． 　　答案　　　B 题型 2 内角不确定的分类讨论 　　例 2　　　若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是（　　） A．或　　　　B．或　　　　 C．或　　　　D．或　　　 思路分析　首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为； 　　 ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故选：B． 　　答案　　　B 点睛　本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 　　变式 10　　　若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形的底角为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．或者　　　 思路分析　分两种情况讨论：底角是顶角的2倍，顶角是底角的2倍，利用三角形内角和定理即可得出答案． 设等腰三角形的底角度数，顶角度数为， 则， ①当时， ，解得； ②当时， 即，解得； 综上，这个三角形的底角为或． 故选D． 　　答案　　　D 点睛　本题考查等腰三角形的性质与三角形内角定理，分类讨论是解题的关键． 　　变式 11　　　等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论． 在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 　　为高， ， ， ， ； 当在外部时，如图2， 　　为高， ， ， ， ， 而， ； 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 　　答案　　　或 　　变式 12　　　如图，在△ABC中，∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则的度数为＿＿＿＿． 　　 思路分析　根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． ∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形， ①如图1． ∵∠A，∴AD=DC=BD， ∴， ∴； ②如图2，AD=DC=BC， ∴，， ∴∠A， ∴， ③AD=DC，BD=BC， ∴，， ∴∠A， ∴∠A． ∵∠A，故这种情况不存在． ④如图3，AD=AC，BD=CD， ∴，， 设=α， ∴α， ∴α， ∴=α． ∵， ∴　α+α+3α=180°， ∴α=　， ∴=， 综上所述：的度数为或或()°． 故答案为：或或()°． 　　 　　答案　　　或或()°． 点睛　此题考查等腰三角形的性质．解题关键在于掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 　　变式 13　　　如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 　　答案　　　A 题型 3 边长与周长的计算 　　例 3　　　已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=5cm，　那么腰AC的长为　（　　） A．3cm或13cm　　　　B．13cm　　　　 C．3cm　　　　D．8cm或13cm　　　 思路分析　根据等腰三角形的定义以及三角形三边长关系，即可求解． 解：∵等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=5cm， ∴AC=3cm或13cm， ∵＜8，＞8， ∴腰AC的长为13cm． 故选B． 　　答案　　　B 点睛　本题主要考查等腰三角形的定义以及三角形三边长关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键． 　　变式 14　　　等腰三角形一腰上的中线把周长分为9cm和21cm的两部分，则这个等腰三角形的底边长是（　　） A．2cm　　　　B．14cm　　　　 C．18cm　　　　D．2cm或18cm　　　 思路分析　设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为21，故应该列两个方程组求解． 设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm， 由题意得或， 解得或 ∵，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm， 故选A． 　　答案　　　A 点睛　此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于列出方程． 　　变式 15　　　等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据等腰三角形的两边长分别是6和10，进行分类讨论，如果满足三边关系，则计算周长，即可作答． 解：∵等腰三角形的两边长分别是6和10， ∴当腰长为6时，三边分别是 则， ∴， ∴当腰长为10时，三边分别是 则， ∴， 故答案为：22或26． 　　答案　　　22或26 　　变式 16　　　已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　分腰长为8或底边为8两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 若腰长为8，则底边， ∵，能构成三角形， ∴能构成三角形，底边长为3， 若底边为8，则腰长， ∵， ∴能构成三角形， ∴底边长为3或8， 故答案为：3或8． 　　答案　　　3或8 点睛　本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 　　变式 17　　　已知△ABC三条边的长分别为：，，（a为正整数）． （1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长； （2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值． 思路分析　（1）由于，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①；②．求出a的值后，根据三角形三边关系即可求解； （2）根据三角形三边关系列出关于a的不等式组求出a的范围，再根据三角形的三条边都不相等，且为正整数可求a的最大值． 解：（1）①如果， 解得， 三角形三边的长为4，4，6，符合三角形三边关系； ②如果， 解得， 三角形三边的长为5，7，7，符合三角形三边关系． 综上所述，等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7； （2）a的最小值为3． 由三角形三边关系知，， 解得＜a＜7， ∵三角形的三条边都不相等， ∴，， ∴，， ∴＜a＜7且，， ∵a为正整数， ∴a的最小值为3． 　　答案　　　（1）等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值为3． 点睛　本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系． 微专题 2　三线合一及其应用 模块导学 三线合一及其应用 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三条线合成一条——知道其中任意一个身份，就能推出另外两个，这是等腰三角形里最强的一条工具。 知识梳理 知识点 2　三线合一（重点） ① 性质 2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ② 用法是"知一推二"：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，＝；其余两个身份作已知条件时同理。 ③ 三线合一只针对底边，对腰不成立——"腰上的中线"与"腰上的高"是两条不同的线。 ④ 求角：由顶角平分线得一半的角，再由直角三角形两锐角互余求底角。 ⑤ 求线段：由中线得底边的一半，由高得直角三角形，可用面积或勾股求值。 ⑥ 证垂直：已知等腰且某线平分顶角（或是底边中线），可直接得这条线垂直于底边。 ⑦ 测平架、路灯拉绳等实际模型：两条拉绳等长构成等腰三角形，重垂线（或中点处的竖直线）正是底边上的中线，所以它垂直于底边，从而检验水平。 ⑧ 面积法：½×腰×腰上的高＝½×底×底边上的高，同一个三角形两种算法结果相等，是求高的常用手段。 ⑨ 底边上任意一点到两腰的距离之和，等于一腰上的高——用面积分割即可证明。 ⑩ 一腰上的中线把三角形分成面积相等的两部分（等底同高）。 注意　三线合一的前提一定是"等腰"且"这条线过顶点到底边"；缺一个条件就不能用。 易错　把三线合一用在腰上，误以为"腰上的中线也垂直于腰"。 题型 1 三线合一求角与求线段 　　例 1　　　如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 1　　　如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在△中，，，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 解：，， ，，． 故D错误，A，B，C正确． 故选：D． 　　答案　　　D 　　变式 2　　　如图，在中，，垂足为点D，且，则（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　直接根据三线合一定理求解即可． 解：∵，， ∴． 故选C． 　　答案　　　C 点睛　本题主要考查了三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握三线合一定理． 　　变式 3　　　如图，在中，，垂足为，若，求的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及垂直，先根据等腰三角形等边对等角得到的值，利用垂直和三角形内角和即可求． 解：，， ， ， ， ． 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 4　　　如图，在中，是的中线，已知，则的度数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为是的中线，所以是等腰三角形，，求得，结合，利用三角形的外角性质即可作答． 解：　是的中线， 　是等腰三角形，， 　， 　， 　　， 故答案为：． 　　答案　　　/85度 　　变式 5　　　如图，在中，，是的中线，，，则的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　由“三线合一”可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 解：∵，是的中线， ∴， ∴． 　　答案　　　7.5 　　变式 6　　　如图，已知等腰中，平分，，若的面积是12，则的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据三角形面积公式，通过线段之间的关系求得面积之间的关系，即可求解． 解：∵等腰中，平分， ∴是的中线， ∵的面积是12， ∴的面积为12， ∵， ∴的面积． 故答案为：4 　　答案　　　4 点睛　此题考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式，根据线段关系得到面积关系是解题的关键． 题型 2 三线合一的实际应用 　　例 2　　　如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的，，点在上，．若的长为，则的长为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　证明，得到，据此可得答案． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 　　答案　　　C 　　变式 7　　　如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 思路分析　本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系． 解：已知，所以是等腰三角形． 又因为，所以是等腰底边上的中线． 根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即． 因为点在路灯上，所以． 因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 8　　　如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 　　答案　　　等腰三角形的三线合一 　　变式 9　　　如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，，，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角，熟练掌握各性质定理是解题关键．延长交于点F，得然后由三角形外角求解即可． 解：延长交于点F，如图： 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 　　答案　　　B 题型 3 腰上高与中线的计算 　　例 3　　　如图，已知，平分，．若，则的度数为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　首先根据平行线的性质求出的度数，再利用角平分线的定义求出　的度数，接着利用等腰三角形的性质求出　的度数，最后根据角的和差关系求出的度数． 解：， 　 　平分， 　 ， 　 　，　 ． 　　答案　　　A 　　变式 10　　　如图，在△ABC中，CA=CB，，延长BC到D，在内作射线CE，使得．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A．　　　　B．2　　　　 C．4　　　　D．6　　　 思路分析　过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，＝＝，则CA平分，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长． 解：过点C作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，＝， ∴＝，＝， ∵＝． ∴＝﹣＝， ∴＝＝， ∴CA平分， ∵AF⊥CE，CH⊥AB， ∴AH＝AF， ∴AB＝2AH＝2． 故选：B． 　　答案　　　B 点睛　本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分． 　　变式 11　　　如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的值为（　　） A．6　　　　B．7　　　　 C．8　　　　D．9　　　 思路分析　本题主要考查的是等腰三角形性的性质、三角形中线的性质等知识点，根据面积相等列出等式成为解题的关键． 利用三角形的面积相等列出来等式进行求解：，，然后根据面积相等列方程求解即可． 解：∵中，，于点D， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 12　　　等腰三角形的面积为，腰长．在底边上有一个动点，则到两腰的距离之和为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　利用等积法进行求解即可. 解：设等腰中，，，连接， 设点到的距离为，到的距离为， ∵ ∴ ∵， ∴ 整理得 解得. 　　答案　　　 微专题 3　等腰三角形与垂直平分线 模块导学 等腰三角形与垂直平分线 底边的垂直平分线就是顶角平分线所在直线；垂直平分线上的点到两端距离相等，于是又"长"出新的等腰三角形。 知识梳理 知识点 3　与垂直平分线的联系（重点） ① 等腰三角形底边的垂直平分线，就是顶角平分线所在的直线——这是三线合一的另一种表述。 ② 等腰三角形两腰的垂直平分线交于一点，这一点落在底边的垂直平分线上（也在顶角平分线上）。 ③ 用垂直平分线的性质"造"等腰：线上任意一点到线段两端距离相等，连接后就得到等腰三角形。 ④ 已知某点在垂直平分线上，先写出相等线段，再用"等边对等角"求角。 ⑤ 底边中线、底边上的高、顶角平分线三条线在图上常画成同一条，作图时作其中任意一条即可。 ⑥ 证明一个三角形是等腰三角形：证两角相等（等角对等边）或两边相等。 ⑦ 常见组合图形：角平分线与垂直平分线交于一点，过交点向两边作垂线，可得到两对全等三角形。 注意　"垂直平分线上的点到两端距离相等"与"等边对等角"要配合使用：先得边等，再得角等。 易错　把垂直平分线的性质用在"没有说明垂直平分"的图上，凭图"看着像"就下结论。 题型 1 垂直平分线的角关系 　　例 1　　　如图，在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连结AE，若＝，则的大小为　＿＿＿＿＿度． 思路分析　先由等腰三角形的性质求出的度数，再由垂直平分线的性质可得出，由三角形内角与外角的关系即可解答． 解：如图： 在△ACB中，∵AB=AC，， ∴=， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=EB， ∴∠1=∠B=30°， 又是△ABE的一个外角， ∴+∠1=60°． 故答案为：60． 　　答案　　　60 点睛　本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 　　变式 1　　　已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接 两腰的垂直平分线交于点P， ， ，， ，， ， ， ， ， ； 当在的外部，如图2，连接， 由题意得：， ，， ， ， ， ， ， 则等腰三角形的顶角为或， 故答案为：或． 　　答案　　　或 　　变式 2　　　如图，在△中，、为边上的两个点，且＝，＝，若∠＝，则∠的大小为＿＿＿＿度. ＝，所以　, ＝，所以　, 则　,在　中， 即，解得，则 ∠. 　　答案　　　35 　　变式 3　　　如图，在中，，是的角平分线，是的中线，、相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求． 思路分析　（1）根据三角形三线合一的性质可求，根据直角三角形的性质可求，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可求； （2）根据角平分线的定义可求，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，，，可得，，再根据等量关系和线段的和差关系即可求解． （1），是的中线， 是的高线， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ； （2）是的角平分线， ， ， ， ，， ，， ． 　　答案　　　(1)(2) 点睛　本题考查了角平分线，等腰三角形的性质和三角形内角和定理；熟练掌握角平分线，等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键． 　　变式 4　　　已知，如图，是的垂直平分线，于点E，于点F，求证： 　　 (1)； (2)． 思路分析　（1）根据垂直平分线的性质可得，，再根据为公共边，可利用三边对应相等的三角形全等证明，由全等即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合，，可利用角平分线上的点到角两边距离相等可得． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)证明：是的垂直平分线，，，在和中，，；(2)证明：，是的垂直平分线，，，，． 点睛　本题考查了线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，熟记角平分线上的点到角两边距离相等和线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解决此题的关键． 　　变式 5　　　如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且＝m°，则＝（　　） A．﹣m°　　　　B．﹣2m°　　　　 C．+m°　　　　D．m°　　　 思路分析　根据线段垂直平分线的性质得到AB=AE，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 解：∵AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴＝， ∵AB＝AC， ∴AE＝AC， ∴＝， ∴＝， ∵＝m°， ∴＝﹣m°， ∴＝（﹣﹣）＝[﹣（）]＝[﹣（﹣m°）]＝m°， 故选：D． 　　答案　　　D 点睛　本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 题型 2 尺规作图与证明 　　例 2　　　如图，点D、E在的边上，求证：． 　　 思路分析　本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求证． 略 　　答案　　　证明：∵，∴∵，∴∴，∴ 　　变式 6　　　如图，在中，，点D在的延长线上，且，点F为的中点，连接并延长，交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，，求的周长． 思路分析　本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、、全等三角形的判定（）及性质，以及三角形周长的计算．解题的关键是熟练运用平行线的性质得到角的等量关系． （1）利用平行线与等腰三角形的性质得到，，，再等量代换即可证得； （2）利用即可判定，于是可求得的长，则可知的长，于是可求三角形的周长． （1）略 （2）解：　由点F是的中点知． 在和中， ， ， ， ， ， ．又， 的周长为． 　　答案　　　(1)证明，，．，，，平分．(2)25 　　变式 7　　　如图，△ABC中，＝，BC＝5． ⑴　利用直尺和圆规在AB边上求作一点P，使得＋＝，并说明理由；（不写作法，保留作图痕迹） ⑵　在⑴的条件下，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 思路分析　（1）在AB上截取AP＝AC，利用等腰三角形的性质可证点P为所求作的点　　 （2）利用等腰三角形的两个底角相等，求出，化简可得 ，利用＝，可证，即：＝2∠PCB. ⑴　如图，在AB上截取AP＝AC，则点P为所求作的点　　 ∵　AP＝AC ∴　＝　　 ∵　＝　　∴　＋＝　　 ∴　＋＝　　 ⑵　判断：＝2∠PCB　　　 ∵　AC＝AP ∴　即：, ∵　＝ ∴　＋＝　即：＝－　　 ∴　　 即：＝2∠PCB 　　答案　　　（1）见解析；（2）＝2∠PCB　，理由见解析. 点睛　本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，熟悉相关方法和性质，是解题的关键. 　　变式 8　　　如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)请直接写出，，三者之间的数量关系； (3)若＝，＝，求的度数． 　　 思路分析　（1）利用等腰三角形底边上三线合一即可证明． （2）结论：∠ADE．如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．证出，再由角的和差求得． （3）如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明△DBN≌△DCM，推出，推出，由，推出， 利用（2）的结论求出，即可解决问题． （1）略 （2）略 （3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N． 　　 ∵，DM⊥AC，DN⊥AB， ∴DM=DN， 在Rt△DBN和Rt△DCM中， ， ∴△DBN≌△DCM， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，∠ADE ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 　　答案　　　（1）证明：如图1中，　　∵DB=DC，DE⊥BC，∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．（2）结论：∠ADE．理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．　　∵，，，∴，∵，，∴，∴∠CBN=2∠EDA．故答案为∠ADE（3） 点睛　本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 培优微专题 4　综合探究与证明 模块导学 综合探究与证明 存在性问题按"哪两条边相等"分类，动点问题先定端点再定范围；辅助线首选作底边上的高，把等腰化归为两个全等的直角三角形。 知识梳理 知识点 4　存在性问题与分类讨论（难点） ① 等腰三角形存在性问题：按"哪两条边相等"分三种情况（AB＝AC、AB＝BC、AC＝BC）逐一求解。 ② 每求出一种情况，都要用三角形三边关系检验，把不能构成三角形的舍去。 ③ 动点问题：点在一条边上运动时，相关角的取值范围由两个端点位置确定，先算端点再取中间。 ④ 辅助线首选"作底边上的高"：把等腰三角形分成两个全等的直角三角形，边角关系一次到位。 ⑤ 构造等腰的常用手法：截长补短、作平行线、利用"角平分线＋平行线得等腰"。 ⑥ 探究题的写法：先用特殊位置猜出结论，再在一般情况下证明，最后检验结论是否对全部情形成立。 ⑦ 折叠问题中折痕是对称轴，折叠后常出现等腰三角形，用"等边对等角"求角。 ⑧ 分类讨论的书写规范：分类标准写在前，逐类求解居中，最后统一作答，不能只写结果。 注意　题目问"求……的值"而答案不止一个时，务必把每种情形都写出来，并注明对应的图形位置。 易错　分类时遗漏"两腰相等"的退化情形，或把动点运动到端点的情况漏掉。 培优题型 1 动点与最值的讨论 　　例 1　　　如图，在△ABC　中，AB=AC，，P　是边　AB　上的一个动点(不与顶点　A　重合)，则　的度数可能是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据等边对等角可得＝＝,再根据三角形内角和计算出　的度数,然后根据三角形内角与外角的关系可得＞　,　再因为＝，所以＜－＝进而可得答案. ∵AB＝AC，＝， ∴＝＝， ∴＝－＝， ∵＝＋， ∴＞， ∴＞. ∵＝， ∴＜－＝， 则的值可能是. 故选C. 　　答案　　　C 点睛　此题主要考查了等腰三角形的性质,关键是掌握等腰三角形两底角相等. 　　变式 1　　　如图，D、E分别是的边、上的点，若，，则（　　） A．当为定值时，为定值　　　　B．当为定值时，为定值　　　 　C．当为定值时，为定值　D．无法确定 思路分析　根据得到，根据得，利用三角形外角性质，解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当为定值时，为定值， 故选：B． 　　答案　　　B 培优题型 2 探究与分类讨论 　　例 2　　　在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 思路分析　（）①根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可；②由等腰三角形的三线合一的性质得，设，，，则，再根据三角形的周长公式解答即可； （）分别证明和，得到，，进而即可求证； 此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解：①，平分， ，， 故答案为：，； ②∵，， ∴， 设，，，则， ∵的周长， ， 的周长， ∴， ， 即的长为； （2）略 　　答案　　　(1)①，；②(2)证明：平分，，，，在和中，，，，点是的中点，．在和中，，，，，即． 　　变式 2　　　如图，． (1)若， ①如果，那么的度数为　；　 ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，与有什么位置关系？请证明你的结论． 思路分析　本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）①等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； ②同①即可得出结论； （2）根据等边对等角，结合，推出，即可得出结论． （1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴； 故答案为：； ②略 （2）略 　　答案　　　(1)①40；②，证明如下：∵，∴，∵，∴，∴；(2)解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴． 　　变式 3　　　如图，在中，，点为上一点，且满足．点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求和的度数； (2)求证：是等腰三角形． 思路分析　（1）设，由可得：，求出x的值，即可得出答案； （2）先证明垂直平分，得出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，证明，最后得出答案即可． （1）解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由可得：， 解得：， 则， ； （2）略 　　答案　　　(1)，(2)证明：是的中点，，，即，∴垂直平分，，．又，，又，，，∴，为等腰三角形． 　　变式 4　　　综合与实践： 问题情境： 已知在△ABC中，，，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且，设． （1）如图1，若点D在BC边上，当时，求和的度数； 拓广探索： （2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出和的数量关系． 思路分析　（1）由题意易得的度数，，进而可求的度数，最后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系及等腰三角形的性质可进行求解； （3）根据题意可得，，，则可求的度数，进而问题得解． 解：（1）如图1，， ∵在△ABC中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）， 如图3，在△ABC中，， ∴， 在△ADE中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 　　答案　　　（1）；；（2），理由如下：如图2，在△ABC中，，∴，在△ADE中，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）． 点睛　本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键． 　　变式 5　　　如图1，在中，，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．设，． （1）求证：． （2）当点D在线段BC上运动时， ①，则＿＿＿＿＿＿＿＿． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明 （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 思路分析　（1）根据，可以得到，再结合，，即可证明全等； （2）①根据的度数可以求出的度数，因为，根据（1）中全等，可以得到，故2∠B，即可求出答案； ②因为2∠B，而=，故得到-，可得+； （3）同理（1）可证，可以得到，再根据外角定理，，， 可以得到． （1）略 （2）①∵，AB=AC ∴==65° ∵AB=AC ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②略 （3）略 　　答案　　　（1）证明：∵，．又∵，∴．又∵，∴（2）①130；②，证明如下：由（1）已证，∴．又∵，∴．，∵在中，∴．（3）．证明如下：同理（1）可证，∴．∵，，∴． 点睛　本题主要考查了全等三角形，熟练全等三角形的证明、性质以及外角定理是解决本题的关键． 　　变式 6　　　如图，在中，，分别是的中线和角平分线，相交于点O． (1)若的面积是20，且，求的长； (2)若，求的度数． 思路分析　（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解； （2）根据等腰三角形的性质求出，利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． （1）解：是的中线，． ， 的面积是20，且， 　， 　， ； （2）∵，， ∴， 是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 　　答案　　　(1)10(2) 点睛　本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形角平分线定义，以及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $