15.3.1 等腰三角形 讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦等腰三角形核心知识点，从概念（两边相等的三角形）入手，系统梳理性质（等边对等角、三线合一等）及判定方法（定义、等角对等边、三线合一），构建从基础概念到性质应用再到判定技巧的学习支架。 资料以结构化知识呈现与分层题型设计为特色，通过典例解析（如利用性质求线段、角）培养学生几何直观与推理能力，ABC分层训练兼顾不同水平学生。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

15.3.1等腰三角形 学习目标导航 1、了解等腰三角形的有关概念和性质并能够对其熟练运用。 2、掌握等腰三角形的判定技巧，会运用知道条件判定等腰三角形。 洞悉◆教材知识 知识点01 等腰三角形的概念及其性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 3. 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 知识点02 等腰三角形的判定 1. 定义判定： 由两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 数学语言：如图：∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 3. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 【拓展延伸】如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 核心题型◆归纳 题型01 利用等腰三角形的性质求线段 题型02 利用等腰三角形的性质求角 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 题型04 等腰三角形的判定 分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用等腰三角形的性质求线段 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝8． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4， ∵BC＝3， ∴CE＝1， ∴AD+CE+AC+DE＝2+1+4+4＝11， 即阴影部分的周长为11， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 题型02 利用等腰三角形的性质求角 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，若∠ADE＝15°，则∠C＝（　　） A．35° B．30° C．20° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADE＝15°， ∴∠BDE＝90°﹣15°＝75°， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠BDE＝75°（等边对等角）， ∴∠B＝180°﹣2×75°＝180°﹣150°＝30°， ∴∠C＝30°， 则∠C的度数为30°， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC＝2∠A，BD＝BC，∠DCA的度数是（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝∠ABC＝2∠A，∠ACB+∠ABC+∠A＝180°， ∴2∠A+2∠A+∠A＝180°， 5∠A＝180°， 解得：∠A＝36°， ∴∠ACB＝∠ABC＝2∠A＝2×36°＝72°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝54°， ∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝72°﹣54°＝18°． 故选：A． 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知一个等腰三角形的两边长分别是3和4，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．10或12 【答案】C 【解答】解：①3是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+4＝10， ②4是腰长时，能组成三角形，周长＝4+4+3＝11， 所以，它的周长是10或11． 故选：C． 【变式1】等腰三角形的两条边长分别为3cm，7cm，则等腰三角形的周长为（　　） A．13cm或17cm B．17cm C．13cm D．10cm 【答案】B 【解答】解：①当腰长是3，那么三边分别是3，3，7，而3+3＜7，故不能构成三角形，所以此种情况舍去； ②当腰长是7，则三边分别是7，7，3，而3+7＞7，能构成三角形，故周长为17． 故选：B． 题型04 等腰三角形的判定 【典例1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 【答案】A 【解答】解：A、由条件可知∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠C＝∠B， ∴△ABC为等腰三角形； B、根据三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形； C、∵∠A＝20°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣70°＝90°， ∴△ABC为直角三角形； D、∵AB＝1，BC＝4，周长为6， ∴AC＝6﹣AB﹣BC＝6﹣1﹣4＝1， ∵AB+AC＝1+1＝2＜BC ∴不能构成三角形； 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且OA＝3，OB＝1，点P在y轴上，若以P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的P点有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：如图： 分三种情况： 当AP＝AB时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交y轴于点P1，P2； 当BA＝BP时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交y轴于点P3，P4； 当PA＝PB时，作AB的垂直平分线，交y轴于点P5； 综上所述：点P1，P2，P3，P4，P5即为所求， 故选：B ABC分层训练 1．如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了等边对等角和三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故选：A． 2．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三线合一、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 4．如图，点P是平面直角坐标系中第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点A，的平分线交y轴于点B，若，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出直角坐标系中点的坐标、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，点的坐标，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 利用平行线的性质与角平分线定义证明，即可得出，再由点B在y轴的负半轴上，即可得出点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点B在y轴的负半轴上， ∴， 故选：D． 5．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高 A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，解题关键是熟悉相关作图方法．根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是②已知底边长和一个底角，利用底角先作底边，过另一底点作一个角等于已知角； 图2对应的是①已知底边长和腰长，先作底边，再过两底点作线段等于腰长； 图3对应的是③已知底边长和底边上的高，先作底边，再作底边的垂直平分线，截取高； 其对应顺序正确的是②①③， 故选：D． 6．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质． 根据等腰三角形的性质可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， 垂直平分AC， ， ， ． 故选：． 7．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 【答案】/90度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，中，在上，且，则___________． 【答案】36 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再设，根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后在中，利用三角形的内角和求解即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：36． 9．如图，在中，角平分线和相交于点O，，，，则的周长为______． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，推出，同理：，于是得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：． 10．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 【答案】等腰三角形 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、折叠问题 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 11．如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ， ，且， ， 在和中， ， ． (2) 证明：∵， ， 又由（1）知， ∴， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出，属于中考常考题型． （1）根据证出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据，推出即可． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题、等边对等角 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：A． 13．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， 又∵ ， ∴， 故选：A． 14．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、等边对等角、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 15．如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形角平分线的定义、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线和平行线可以构造出等腰三角形，得出，，即可求解． 【详解】解：如图，标记， 由题意知，平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 16．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 17．如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换得． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故选；D． 18．如图，在中，，，，则的度数是______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，设，，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角可得，，再由三角形内角和定理求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为_______ 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 20．如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为_____． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得． 【详解】解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． 故答案为：． 21．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：；；点到各边的距离相等；设，，则．其中，正确的是______（只填写序号）    【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的性质定理、三角形内角和定理的应用、利用网格求三角形面积 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出，于是可得结论正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论正确； 如图，过点作于，作于，连接，   在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，利用等边对等角得到，再根据列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 23．【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形， 理由： ∵在长方形中，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】（1）由平行线的性质得，由折叠的性质得，从而，进而可证是等腰三角形； （2）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1等腰三角形 学习目标导航 1、了解等腰三角形的有关概念和性质并能够对其熟练运用。 2、掌握等腰三角形的判定技巧，会运用知道条件判定等腰三角形。 洞悉◆教材知识 知识点01 等腰三角形的概念及其性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。 ②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 3. 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 知识点02 等腰三角形的判定 1. 定义判定： 由两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 数学语言：如图：∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 3. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 【拓展延伸】如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 核心题型◆归纳 题型01 利用等腰三角形的性质求线段 题型02 利用等腰三角形的性质求角 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 题型04 等腰三角形的判定 分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用等腰三角形的性质求线段 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 题型02 利用等腰三角形的性质求角 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，若∠ADE＝15°，则∠C＝（　　） A．35° B．30° C．20° D．45° 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC＝2∠A，BD＝BC，∠DCA的度数是（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知一个等腰三角形的两边长分别是3和4，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．10或12 【变式1】等腰三角形的两条边长分别为3cm，7cm，则等腰三角形的周长为（　　） A．13cm或17cm B．17cm C．13cm D．10cm 题型04 等腰三角形的判定 【典例1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且OA＝3，OB＝1，点P在y轴上，若以P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的P点有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 ABC分层训练 1．如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 4．如图，点P是平面直角坐标系中第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点A，的平分线交y轴于点B，若，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高 A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 6．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 8．如图，中，在上，且，则___________． 9．如图，在中，角平分线和相交于点O，，，，则的周长为______． 10．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 11．如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 12．如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 16．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 17．如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 18．如图，在中，，，，则的度数是______． 19．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为_______ 20．如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为_____． 21．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：；；点到各边的距离相等；设，，则．其中，正确的是______（只填写序号）    22．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 23．【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $