15.2.2 用坐标表示轴对称讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.2.2 用坐标表示轴对称 · 基础讲义 15.2.2 用坐标表示轴对称 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　点关于坐标轴的对称 2 题型 1　求对称点的坐标 3 题型 2　由对称关系求字母与范围 3 题型 3　判断两点关于什么对称 4 微专题 2　坐标系中的对称作图 5 题型 1　作对称图形并写出坐标 5 题型 2　求对称图形的面积 8 题型 3　平移与对称的组合 11 培优微专题 3　对称与动点最值 13 培优题型 1　折线最短与周长最小 13 培优题型 2　折叠与最值的综合 15 微专题 4　规律探究与实际情境 17 题型 1　连续变换找规律 17 题型 2　实际情境中的坐标定位 18 一、本讲导航 学习目标 1．掌握点关于 x 轴、y 轴对称时坐标的变化规律，能由已知点的坐标直接写出它的对称点的坐标，也能反过来由对称关系求字母的值。 2．能在平面直角坐标系中画出已知图形关于坐标轴的对称图形，并以坐标轴为对称轴写出多边形对称图形各顶点的坐标。 3．会用坐标计算图形的面积，能处理平移与对称的组合变换，体会图形变换与坐标变化之间的对应关系。 4．能在坐标轴上确定一点，使这点到两个定点的距离之和最小，并说明作法的依据。 5．能通过计算前几次变换后的坐标发现周期规律，解决连续对称、连续翻转类问题。 6．能在实际情境（棋盘、花园、剪纸）中建立坐标系描述位置，发展几何直观、推理能力与应用意识。 重点与难点 重点　点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律；用坐标作对称图形并求面积；在坐标轴上找点使距离和最小。 难点　① 关于哪条轴对称变哪个坐标容易记反；② 由"对称点在某象限"列不等式组求范围；③ 平移与对称组合时的先后顺序；④ 角内一点到两边的最短折线要作两次对称；⑤ 连续变换的周期判断与取余。 学习主线 记规律（哪条轴不变号）→ 算坐标（对称点）→ 描点连线（作对称图形）→ 求面积（割补）→ 找最值（对称化折为直）→ 探规律（周期取余）→ 回到实际情境定位。 微专题 1　点关于坐标轴的对称 模块导学 点关于坐标轴的对称 关于哪条轴对称，那条轴的坐标就不变、另一条变号；由对称反求字母时，把"相等"与"互为相反数"写成方程或不等式组。 知识梳理 知识点 1　三类对称的坐标变化（重点） ① 点 (a，b) 关于 x 轴对称的点是 (a，－b)：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 ② 点 (a，b) 关于 y 轴对称的点是 (－a，b)：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 ③ 点 (a，b) 关于原点对称的点是 (－a，－b)：横、纵坐标都变号。 ④ 记忆口诀：关于哪条轴对称，就"保住"那条轴的坐标，另一条变号；关于原点对称则两个都变。 ⑤ 关于直线 x＝m 对称：纵坐标不变，横坐标变成 2m－a；关于直线 y＝n 对称：横坐标不变，纵坐标变成 2n－b。 ⑥ 对称点与对称轴的位置关系：对称点的连线垂直于对称轴，且到对称轴的距离相等；两点到轴的距离之和等于它们之间的距离。 ⑦ 若两点关于 x 轴对称，则它们的横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称则纵坐标相等、横坐标互为相反数——这是列方程的根据。 ⑧ 判断两点关于什么对称：比较两点的坐标，横同纵反是 x 轴，纵同横反是 y 轴，都反是原点，都不反而是关于某条与坐标轴平行的直线对称。 ⑨ 由"对称点落在某象限"求字母范围：先写出对称点坐标，再按各象限坐标的符号列不等式组。 ⑩ 点关于坐标轴对称后的位置：原来在第一象限的点，关于 x 轴对称后落到第四象限，关于 y 轴对称后落到第二象限。 注意　坐标是有顺序的，横坐标在前、纵坐标在后；写对称点时要检查是哪一项变了号。 易错　把"关于 y 轴对称"记成"变纵坐标"——关于 y 轴对称变的是横坐标，这一点最常错。 易错　由对称关系求值时，把"互为相反数"当成"相等"，或漏掉 m、n 中的一个。 题型 1 求对称点的坐标 　　例 1　　　下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 2　　　在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 3　　　在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 4　　　在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　若，B是平面直角坐标系内的两个点，且它们关于直线对称，则点B的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　若点在x轴上，则点关于x轴对称的点在（　　） A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　 C．第三象限　　　　D．第四象限　　　 题型 2 由对称关系求字母与范围 　　例 2　　　已知点与点关于y轴对称，则的值为（　　） A．　　　　B．0　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 7　　　在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，则x的取值范围为（　　） A．3＜x＜5　　　　B．x＜3　　　　 C．5＜x　　　　D．﹣5＜x＜3　　　 　　变式 8　　　已知点关于轴的对称点在第一象限，则的范围在数轴上表示正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 9　　　已知点A(2x－4，6)关于y轴对称的点在第二象限，则 A．x＞2　　　　B．x＜2　　　　 C．x＞0　　　　D．x＜0　　　 　　变式 10　　　在平面直角坐标系中，点A（m，﹣4）与点B（﹣5，n）关于y轴对称，则点（m，n）在第　＿＿＿＿＿象限． 　 　 　　变式 11　　　已知a，b满足，则点关于y轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 12　　　已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的整数解为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 13　　　已知点． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值． (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 　 　 　 　 　　变式 14　　　在平面直角坐标系中，有点和点． (1)当A，B两点关于直线对称时，求的面积． (2)当线段轴，且时，求的值． 　 　 　 　 题型 3 判断两点关于什么对称 　　例 3　　　在平面直角坐标系中，点和关于（　　） A．原点对称　　　　B．轴对称　　　　 C．轴对称　　　　D．无法确定　　　 　　变式 15　　　点和点关于轴对称，则两点间的距离为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 16　　　在平面直角坐标系中，有，两点，则点A与点B关于（　　） A．x轴对称　　　　B．y轴对称　　　　 C．原点对称　　　　D．直线对称　　　 　　变式 17　　　在平面直角坐标系中有一个轴对称图形只有一条对称轴，其中点和点是这个图形上的一对称点，若此图形上另有一点，则点的对称点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 微专题 2　坐标系中的对称作图 模块导学 坐标系中的对称作图 先算各顶点的对称点坐标，再描点连线；求面积用"外接矩形减去几个直角三角形"，或"水平宽乘铅垂高的一半"。 知识梳理 知识点 2　对称作图与面积计算（重点） ① 用坐标作对称图形的三步：求各顶点关于对称轴的对称点坐标 → 在坐标系中描出这些点 → 按原图顺序连线。 ② 只说"作出关于 y 轴对称的图形"，也可以直接用坐标规律算点，不必逐点作垂线，这是坐标系作图的优势。 ③ 求坐标系中的图形面积：常用割补法——用外接矩形面积减去四周的直角三角形面积。 ④ 也可用"水平宽×铅垂高÷2"：选一条水平边作底，量出第三个顶点到这条边的竖直距离作高。 ⑤ 对称不改变图形面积，可以先算原图面积，对称图形直接沿用。 ⑥ 平移与对称组合时按题目顺序逐次计算：先平移就先给坐标加位移，再按对称规律变号。 ⑦ 在坐标轴上找一点使两点到它的距离和最小：作其中一点关于这条轴的对称点，连对称点与另一点的直线与轴的交点即所求。 ⑧ 判断作图是否正确：检查对应点的连线是否垂直于对称轴、到轴的距离是否相等、图形形状大小是否一致。 注意　作图题要写清"如图，△A′B′C′即为所求"，并保留作图痕迹；坐标要写成 (x，y) 的形式。 易错　把对称点的坐标算对了，描点时却把横纵坐标写反，导致图形整体错位。 题型 1 作对称图形并写出坐标 　　例 1　　　如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标：＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）求的面积： （3）点与点关于轴对称，若，则点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 1　　　如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，1)． （1）写出A的坐标　，并画出ABC； （2）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1； （3）联结AA1、BB1，四边形ABB1A1的面积为　． 　 　 　 　 　　变式 2　　　如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． (2)的面积为＿＿＿＿＿＿． (3)在x轴上画一点P，使得的值最小（保留画图痕迹，不写画法）． 　 　 　　变式 3　　　在平面直角坐标系中的位置如下图所示，A，B，C三点在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 　 　 　 　 　　变式 4　　　在平面直角坐标系中的位置如下图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标． (2)将向右平移6个单位，作出平移后的． (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请作出这条对称轴；若不是，请说明理由． 　 　 　 　 　　变式 5　　　如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． 　 　 　 　 题型 2 求对称图形的面积 　　例 2　　　如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 　 　 　 　 　　变式 6　　　如下图，在的网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请在图中画出x轴、y轴，并标出原点O． (2)画出关于直线l对称的． (3)若点在内，其关于直线l的对称点是，则点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 7　　　如图，分别作点，关于直线a（直线a上各点的横坐标都为2）的对称点，．求： (1)点，的坐标； (2)四边形的面积． 　 　 　 　 　　变式 8　　　如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 　 　 　 　 　　变式 9　　　如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 　 　 　 　 　　变式 10　　　如图，三个顶点的坐标分别为，，． 　　 (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 　 　 　 　 题型 3 平移与对称的组合 　　例 3　　　将的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标均乘后得到，则（　　） A．与关于轴对称 B．是由沿轴的负方向平移一个单位长度得到的 C．与关于轴对称 D．是由沿轴的负方向平移一个单位长度得到的 　　变式 11　　　　将点M（-5，y）向上平移6个单位长度后得到的点与点M关于x轴对称，则y的值是（　　） A．-6　　　　B．6　　　　 C．-3　　　　D．3　　　 　　变式 12　　　在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 13　　　如图，把经过一定的变换得到．若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 14　　　如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为．若将作关于y轴的轴对称变换，得到，则点C的对应点的坐标为＿＿＿＿＿＿；再将向上平移1个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 15　　　如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 16　　　如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，点在格线上且是边上一点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点是边上一点，在边上找点，使的值最小． 　 　 　 　 培优微专题 3　对称与动点最值 模块导学 对称与动点最值 坐标轴就是现成的对称轴，把同侧的点翻到另一侧，折线立刻变成直线；角内一点到两边的最短折线要作两次对称。 知识梳理 知识点 3　对称与最短路径（难点） ① 基本模型：在坐标轴上找一点 P，使 PA＋PB 最小；作 A 关于该轴的对称点 A′，连 A′B，与轴的交点即 P。 ② 依据：轴对称把"同侧"化为"异侧"，PA＝PA′，于是 PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，等号在三点共线时成立。 ③ 角内一点到两边的最短折线：分别作这点关于两边的对称点，连接两对称点，与两边的交点就是所求的两点。 ④ 求三角形周长最小：把两条动边分别作对称转移到一条直线上，周长最小值等于那条直线段的长度加定边。 ⑤ 求此时的角：定点确定后，用等腰三角形、对称性质与三角形内角和算出所求角。 ⑥ 折叠的本质是轴对称：折痕是对称轴，折叠前后的对应线段相等、对应角相等，落在坐标轴上时可直接用坐标规律。 ⑦ 折叠中的动点问题：先确定折痕位置（常是某条边的垂直平分线或角平分线），再把动点约束到折痕上转化。 注意　作对称点时要选与目标点在轴"同侧"的那个点，连线的交点才会落在轴上。 易错　直接把两点连起来求长度——那条线段未必经过坐标轴上的点。 易错　角内最短折线只作一次对称，必须两边各作一次，才能把三段折线拉成一条直线。 培优题型 1 折线最短与周长最小 　　例 1　　　如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（　　）． A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 2　　　如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 　 　　变式 3　　　如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　如图，　，　点、分别在射线、上，　，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、，　当点在直线上运动时，　则面积的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）当的周长最小时，的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 培优题型 2 折叠与最值的综合 　　例 2　　　如图，在中，，，，，是边上的动点（不与点重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，，当和在异侧时，面积的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 　 　　变式 7　　　如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 8　　　如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 　 　 　 　 　　变式 9　　　在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 　 　 　 　 　　变式 10　　　如图1，中，，点P在内部，且， (1)求证：； (2)如图2，延长至D，交于于点F，点与D关于对称，连接、、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，，求的长． 　 　 　 　 微专题 4　规律探究与实际情境 模块导学 规律探究与实际情境 连续变换先算前几次、找出周期再取余；实际情境题先建系、再定位，最后回到坐标作答。 知识梳理 知识点 4　规律探究与实际情境（重点） ① 连续变换题的通用解法：先按规则算出前 3～4 次变换后的坐标，观察是否回到原状，找出周期，再用总次数除以周期取余。 ② 关于同一条直线连续作两次对称，点回到原位，周期为 2。 ③ 先关于 x 轴、再关于 y 轴对称，相当于关于原点对称；再重复一次就回到原位，周期为 4。 ④ 关于两条平行直线连续对称，结果相当于一次平移，平移距离是两条直线间距的 2 倍。 ⑤ 取余时若余数为 0，说明正好落在周期的最后一步，不要误当成第一步。 ⑥ 图形整体翻转（如正方形沿 x 轴翻滚）类问题：先看一个周期内点移动的距离，再用总次数除以一个周期的次数。 ⑦ 用坐标描述位置：先确定原点与两条坐标轴的正方向，再按"向右为正、向上为正"读出横纵坐标。 ⑧ 实际情境中的对称：花园小路、棋盘、剪纸图案常把两条对称轴当作坐标轴，此时对称关系直接对应坐标变号。 ⑨ 已知一个点的坐标求其对称点：先判断它关于哪条轴对称（哪条小路、哪条格线），再按规律变号。 ⑩ 棋盘、方格类问题：把行列位置转成坐标，注意题目给定的两个已知点是用来确定原点与单位的。 ⑪ 剪纸、蝴蝶等轴对称实物：只要放入坐标系，就可以用"对应点坐标关于某条线对称"来建立方程。 注意　建系前先确认题目是否已给出坐标系；若要求自己建，应选图形的对称轴或某条边所在直线作坐标轴，计算最省力。 易错　忽略单位长度，把"格"直接当成坐标数值，导致整体比例错误。 题型 1 连续变换找规律 　　例 1　　　如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2026次，点依次落在点，，，，…，的位置上，则点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移1个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换，表示点M先向右平移1个单位得到点，再将点关于x轴作轴对称从而得到点．若点经过“0101…01”共2026次变换后得到点，则点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 2　　　如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，先作关于y轴对称的，再作关于x轴对称的，这样的过程称为“第1次变换”．作关于y轴对称的，再作关于x轴对称的，这样的过程称为“第2次变换”．“第2025次变换”后，的顶点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 实际情境中的坐标定位 　　例 2　　　蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如图，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．1　　　　D．0　　　 　　变式 3　　　小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　） A．（﹣2，1）　　　　B．（﹣1，1）　　　　 C．（1，﹣2）　　　　D．（﹣1，﹣2）　　　 　　变式 4　　　如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A，B，E（2，1），则点D的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 5　　　如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为（　　） 　　 A．(　-1，-2)　　　　B．(　1，-2)　　　　 C．(　-1，2)　　　　D．(　-2，-1)　　　 　　变式 6　　　如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 7　　　某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵树，如图所示．A，B两处树的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系内．若点A的坐标为，则点B的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 8　　　在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 9　　　如图，点关于，的对称点分别为，，连接，分别交，于点，，连接，，，若，，则的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿，的形状是＿＿＿＿＿＿＿＿三角形． 　 　 　　变式 10　　　已知正方形在坐标轴上的位置如图所示，x轴、y轴分别是正方形的两条对称轴．若点A的坐标为，则点B的坐标为＿＿＿＿＿＿，点C的坐标为＿＿＿＿＿＿，点D的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 11　　　在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $15.2.2 用坐标表示轴对称 · 基础讲义 15.2.2 用坐标表示轴对称 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　点关于坐标轴的对称 2 题型 1　求对称点的坐标 3 题型 2　由对称关系求字母与范围 4 题型 3　判断两点关于什么对称 6 微专题 2　坐标系中的对称作图 7 题型 1　作对称图形并写出坐标 7 题型 2　求对称图形的面积 13 题型 3　平移与对称的组合 19 培优微专题 3　对称与动点最值 22 培优题型 1　折线最短与周长最小 22 培优题型 2　折叠与最值的综合 29 微专题 4　规律探究与实际情境 34 题型 1　连续变换找规律 34 题型 2　实际情境中的坐标定位 36 一、本讲导航 学习目标 1．掌握点关于 x 轴、y 轴对称时坐标的变化规律，能由已知点的坐标直接写出它的对称点的坐标，也能反过来由对称关系求字母的值。 2．能在平面直角坐标系中画出已知图形关于坐标轴的对称图形，并以坐标轴为对称轴写出多边形对称图形各顶点的坐标。 3．会用坐标计算图形的面积，能处理平移与对称的组合变换，体会图形变换与坐标变化之间的对应关系。 4．能在坐标轴上确定一点，使这点到两个定点的距离之和最小，并说明作法的依据。 5．能通过计算前几次变换后的坐标发现周期规律，解决连续对称、连续翻转类问题。 6．能在实际情境（棋盘、花园、剪纸）中建立坐标系描述位置，发展几何直观、推理能力与应用意识。 重点与难点 重点　点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律；用坐标作对称图形并求面积；在坐标轴上找点使距离和最小。 难点　① 关于哪条轴对称变哪个坐标容易记反；② 由"对称点在某象限"列不等式组求范围；③ 平移与对称组合时的先后顺序；④ 角内一点到两边的最短折线要作两次对称；⑤ 连续变换的周期判断与取余。 学习主线 记规律（哪条轴不变号）→ 算坐标（对称点）→ 描点连线（作对称图形）→ 求面积（割补）→ 找最值（对称化折为直）→ 探规律（周期取余）→ 回到实际情境定位。 微专题 1　点关于坐标轴的对称 模块导学 点关于坐标轴的对称 关于哪条轴对称，那条轴的坐标就不变、另一条变号；由对称反求字母时，把"相等"与"互为相反数"写成方程或不等式组。 知识梳理 知识点 1　三类对称的坐标变化（重点） ① 点 (a，b) 关于 x 轴对称的点是 (a，－b)：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 ② 点 (a，b) 关于 y 轴对称的点是 (－a，b)：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 ③ 点 (a，b) 关于原点对称的点是 (－a，－b)：横、纵坐标都变号。 ④ 记忆口诀：关于哪条轴对称，就"保住"那条轴的坐标，另一条变号；关于原点对称则两个都变。 ⑤ 关于直线 x＝m 对称：纵坐标不变，横坐标变成 2m－a；关于直线 y＝n 对称：横坐标不变，纵坐标变成 2n－b。 ⑥ 对称点与对称轴的位置关系：对称点的连线垂直于对称轴，且到对称轴的距离相等；两点到轴的距离之和等于它们之间的距离。 ⑦ 若两点关于 x 轴对称，则它们的横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称则纵坐标相等、横坐标互为相反数——这是列方程的根据。 ⑧ 判断两点关于什么对称：比较两点的坐标，横同纵反是 x 轴，纵同横反是 y 轴，都反是原点，都不反而是关于某条与坐标轴平行的直线对称。 ⑨ 由"对称点落在某象限"求字母范围：先写出对称点坐标，再按各象限坐标的符号列不等式组。 ⑩ 点关于坐标轴对称后的位置：原来在第一象限的点，关于 x 轴对称后落到第四象限，关于 y 轴对称后落到第二象限。 注意　坐标是有顺序的，横坐标在前、纵坐标在后；写对称点时要检查是哪一项变了号。 易错　把"关于 y 轴对称"记成"变纵坐标"——关于 y 轴对称变的是横坐标，这一点最常错。 易错　由对称关系求值时，把"互为相反数"当成"相等"，或漏掉 m、n 中的一个。 题型 1 求对称点的坐标 　　例 1　　　下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了关于坐标轴对称的性质，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，熟记性质是解题的关键．点关于轴对称时，坐标不变，坐标变为相反数． 解：∵点关于轴对称， ∴坐标不变，为；坐标取相反数，为 ∴对称点的坐标为． 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 1　　　在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答． 解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）． 故选B． 　　答案　　　B 点睛　本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 　　变式 2　　　在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　答案　　　D 　　变式 3　　　在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　答案　　　D 　　变式 4　　　在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　　答案　　　 　　变式 5　　　若，B是平面直角坐标系内的两个点，且它们关于直线对称，则点B的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据关于直线对称的点，横坐标相同，纵坐标之和等于，求解． 解：，B　关于直线对称，横坐标相同，纵坐标相加等于 设，则， ， 故答案为：． 　　答案　　　 点睛　本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 　　变式 6　　　若点在x轴上，则点关于x轴对称的点在（　　） A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　 C．第三象限　　　　D．第四象限　　　 　　答案　　　C 题型 2 由对称关系求字母与范围 　　例 2　　　已知点与点关于y轴对称，则的值为（　　） A．　　　　B．0　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 解：∵点A（，3）与点B（-4，）关于y轴对称， ∴，， 解得：，n=-2， 故． 故选：B． 　　答案　　　B 点睛　本题考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于y轴对称点的横纵坐标的符号关系是解题关键． 　　变式 7　　　在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，则x的取值范围为（　　） A．3＜x＜5　　　　B．x＜3　　　　 C．5＜x　　　　D．﹣5＜x＜3　　　 思路分析　点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，由此求解即可. 解：∵点P（2x﹣6，）关于x轴对称的点在第四象限， ∴点（2x﹣6，）第四象限 ∴ 解得： 故选A． 　　答案　　　A 点睛　本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征，坐标所在的象限的特点，解题的关键在于能够熟练掌握坐标所在象限的特点. 　　变式 8　　　已知点关于轴的对称点在第一象限，则的范围在数轴上表示正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　先根据对称轴得到点在第二象限，再根据第二象限的符号特征，列出不等式组，求解后，在数轴上表示出解集即可. 解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第二象限， ∴，解得， 在数轴上表示为： 　　答案　　　C 　　变式 9　　　已知点A(2x－4，6)关于y轴对称的点在第二象限，则 A．x＞2　　　　B．x＜2　　　　 C．x＞0　　　　D．x＜0　　　 ∵点A（，6）关于y轴对称的点在第二象限， ∴点A在第一象限， ∴＞0， 解得：x＞2． 故选A． 　　答案　　　A 点睛　各个象限点的坐标特征及对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 　　变式 10　　　在平面直角坐标系中，点A（m，﹣4）与点B（﹣5，n）关于y轴对称，则点（m，n）在第　＿＿＿＿＿象限． 思路分析　先根据关于y轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求出m、n的值，再根据每个象限内点的坐标特点求解即可． 解：∵点A（m，﹣4）与点B（﹣5，n）关于y轴对称， ∴，n=-4， ∴点（m，n）即点（5，-4）在第四象限， 故答案为：四． 　　答案　　　四 点睛　本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，根据点的坐标判断点所在的象限，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 　　变式 11　　　已知a，b满足，则点关于y轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　　答案　　　 　　变式 12　　　已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的整数解为＿＿＿＿＿＿． 　　答案　　　3 　　变式 13　　　已知点． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值． (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 解：（1）点A，B关于x轴对称， 解得 （2）点A，B关于y轴对称， 解得 ． 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 14　　　在平面直角坐标系中，有点和点． (1)当A，B两点关于直线对称时，求的面积． (2)当线段轴，且时，求的值． 解：（1）由题意，得，则． （2）轴， 两点的纵坐标相同，． ，解得或， 当时，；当时，． 综上所述，的值是或5． 　　答案　　　(1)(2)或5 题型 3 判断两点关于什么对称 　　例 3　　　在平面直角坐标系中，点和关于（　　） A．原点对称　　　　B．轴对称　　　　 C．轴对称　　　　D．无法确定　　　 思路分析　本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴和原点对称的点的坐标．熟练掌握平面直角坐标系中关于坐标轴和原点对称的点的坐标是解题的关键． 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数进行判断即可． 解：点和，横坐标都是2（相同），纵坐标1和互为相反数，符合关于轴对称的点的坐标特征， 所以，点和关于轴对称， 故选B． 　　答案　　　B 　　变式 15　　　点和点关于轴对称，则两点间的距离为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了平面直角坐标系点的坐标和关于轴对称的点的坐标规律，根据根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”得出对称点为，然后再根据两点间的距离即可求解，解题的关键是正确理解关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴两点间的距离为， 故选：． 　　答案　　　C 　　变式 16　　　在平面直角坐标系中，有，两点，则点A与点B关于（　　） A．x轴对称　　　　B．y轴对称　　　　 C．原点对称　　　　D．直线对称　　　 　　答案　　　A 　　变式 17　　　在平面直角坐标系中有一个轴对称图形只有一条对称轴，其中点和点是这个图形上的一对称点，若此图形上另有一点，则点的对称点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　先根据点　A(1,−2)　和点　A′　是这个图形上的一对称点找到相应的对称关系，再根据该对称关系找到点　B　的对称点的坐标即可． ∵点　A(1,−2)　和点　A′　是这个图形上的一对称点， ∴点A与点　A′关于直线对称， ∴点　B(,3)关于直线对称为（）， 故答案为：　． 　　答案　　　 点睛　此题考查轴对称的性质和轴对称与坐标的变化，找到对称轴是关键，难度一般． 微专题 2　坐标系中的对称作图 模块导学 坐标系中的对称作图 先算各顶点的对称点坐标，再描点连线；求面积用"外接矩形减去几个直角三角形"，或"水平宽乘铅垂高的一半"。 知识梳理 知识点 2　对称作图与面积计算（重点） ① 用坐标作对称图形的三步：求各顶点关于对称轴的对称点坐标 → 在坐标系中描出这些点 → 按原图顺序连线。 ② 只说"作出关于 y 轴对称的图形"，也可以直接用坐标规律算点，不必逐点作垂线，这是坐标系作图的优势。 ③ 求坐标系中的图形面积：常用割补法——用外接矩形面积减去四周的直角三角形面积。 ④ 也可用"水平宽×铅垂高÷2"：选一条水平边作底，量出第三个顶点到这条边的竖直距离作高。 ⑤ 对称不改变图形面积，可以先算原图面积，对称图形直接沿用。 ⑥ 平移与对称组合时按题目顺序逐次计算：先平移就先给坐标加位移，再按对称规律变号。 ⑦ 在坐标轴上找一点使两点到它的距离和最小：作其中一点关于这条轴的对称点，连对称点与另一点的直线与轴的交点即所求。 ⑧ 判断作图是否正确：检查对应点的连线是否垂直于对称轴、到轴的距离是否相等、图形形状大小是否一致。 注意　作图题要写清"如图，△A′B′C′即为所求"，并保留作图痕迹；坐标要写成 (x，y) 的形式。 易错　把对称点的坐标算对了，描点时却把横纵坐标写反，导致图形整体错位。 题型 1 作对称图形并写出坐标 　　例 1　　　如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标：＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）求的面积： （3）点与点关于轴对称，若，则点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）利用分割法求解即可． （3）先根据P，Q关于x轴对称，得到Q的坐标，再构建方程求解即可． （1）点C1的坐标（−2，1）． 故答案为：（−2，1）； （2）S△ABC＝−×1×3−×4×5−×2×5＝8.5． （3）∵点与点关于轴对称， ∴　， ∵， ∴||=6，解得：或a=-1， ∴P（5，3）或（−1，−3）． 故答案为：（5，3）或（−1，−3）． 　　答案　　　（1）如图，△A1B1C1即为所求．（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3） 点睛　本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型． 　　变式 1　　　如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，1)． （1）写出A的坐标　，并画出ABC； （2）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1； （3）联结AA1、BB1，四边形ABB1A1的面积为　． 思路分析　（1）根据点A的位置写出点A的坐标即可，再根据A，B，C的坐标画出三角形即可； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （3）利用梯形的面积公式求解即可． （1）略 （2）略 （3）四边形ABB1A1的面积==28， 故答案为：28； 　　答案　　　（1）如图，A(1，-4)，△ABC即为所求．（2）如图，△A1B1C1即为所求．（3）28． 点睛　本题考查了平面直角坐标系的知识，轴对称变换，梯形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，记住梯形的面积公式． 　　变式 2　　　如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． (2)的面积为＿＿＿＿＿＿． (3)在x轴上画一点P，使得的值最小（保留画图痕迹，不写画法）． 解：（1）画如图． 由图知，． （2） （3）如图，点P即为所求． 　　答案　　　(1)见解析，(2)(3)见解析 　　变式 3　　　在平面直角坐标系中的位置如下图所示，A，B，C三点在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 解：（1）如图，即为所求，点的坐标为． （2）如图，即为所求，点的坐标为． 　　答案　　　(1)见解析，(2)见解析， 　　变式 4　　　在平面直角坐标系中的位置如下图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标． (2)将向右平移6个单位，作出平移后的． (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请作出这条对称轴；若不是，请说明理由． 解：（1）如图所示，即为所求．，，． （2）如图所示，即为所求． （3）是．如图所示，直线l即为所求． 　　答案　　　(1)见解析，，，．(2)见解析(3)是，见解析 　　变式 5　　　如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． 思路分析　（1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到即为所求，根据图形得到点、、的坐标即可； （2）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，的长度即为的最小值． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)点，，(2)点的坐标是． 题型 2 求对称图形的面积 　　例 2　　　如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 思路分析　（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，写出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质，作答即可. （1）略 （2）略 （3）解：∵向下平移4个单位长度得到，和关于轴对称， ∴将向上平移4个单位，即可使与关于轴对称. 　　答案　　　(1)(2)；点的坐标为(3)向上平移4个单位 　　变式 6　　　如下图，在的网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请在图中画出x轴、y轴，并标出原点O． (2)画出关于直线l对称的． (3)若点在内，其关于直线l的对称点是，则点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 解：（1）如图． （2）如图，即为所求． （3） 　　答案　　　(1)见解析(2)见解析(3) 　　变式 7　　　如图，分别作点，关于直线a（直线a上各点的横坐标都为2）的对称点，．求： (1)点，的坐标； (2)四边形的面积． （1）解：如图： 直线可记为， 点，关于直线a的对称点，； （2）解：如图： ，， ，， 四边形的面积为． 　　答案　　　(1)(2)18 　　变式 8　　　如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 思路分析　本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． （1）略 （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 　　答案　　　(1)如图所示，即为所求；(2)(3)存在点，使得与全等，、和 　　变式 9　　　如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 思路分析　本题主要考查了轴对称作图，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关性质和作图步骤是解题的关键． （1）先画出点A、B、C关于对称的对应点，再依次连接即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于一点，再以该点和点B为圆心，大于该点到点B距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，交于点H，即为所求； （3）连接A、，与的交点即为所求点P． （1）略 （2）略 （3）略 　　答案　　　(1)如图所示，即为所求；(2)如图所示，即为所求；(3)如图所示，点P即为所求．AI 　　变式 10　　　如图，三个顶点的坐标分别为，，． 　　 (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 思路分析　本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P； （3）依据割补法即可求得的面积． （1）略 （2）解：作点关于x轴对称的点， 　　 由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值， 连接，则， 的值最小， 点P即为所求； （3）解：　． 　　答案　　　(1)解：即为所求，如图：　　；(2)如图，点P即为所求；　　(3) 题型 3 平移与对称的组合 　　例 3　　　将的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标均乘后得到，则（　　） A．与关于轴对称 B．是由沿轴的负方向平移一个单位长度得到的 C．与关于轴对称 D．是由沿轴的负方向平移一个单位长度得到的 解：的三个顶点横坐标不变，纵坐标均乘， 与的对应顶点横坐标相同，纵坐标互为相反数， 与关于轴对称． 　　答案　　　A 　　变式 11　　　　将点M（-5，y）向上平移6个单位长度后得到的点与点M关于x轴对称，则y的值是（　　） A．-6　　　　B．6　　　　 C．-3　　　　D．3　　　 思路分析　直接利用平移的性质得出平移后点的坐标，再利用关于x轴对称点的性质得出答案． ∵点M（-5，y）向上平移6个单位长度， ∴平移后的点为：（-5，）， ∵点M（-5，y）向上平移6个单位长度后所得到的点与点M关于x轴对称， ∴， 解得：y=-3． 故选：C． 　　答案　　　C 点睛　本题主要考查了关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标变为相反数，正确表示出平移后点的坐标是解题关键． 　　变式 12　　　在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　答案　　　B 　　变式 13　　　如图，把经过一定的变换得到．若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　答案　　　C 　　变式 14　　　如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为．若将作关于y轴的轴对称变换，得到，则点C的对应点的坐标为＿＿＿＿＿＿；再将向上平移1个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查坐标与图形变化-对称，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据轴对称，平移的性质画出三角形即可． 解：将作关于y轴的轴对称变换，得到，则点C的对应点的坐标为：； 再将向上平移1个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为：． 故答案为：，． 　　答案　　　　　　　 　　变式 15　　　如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线，结合图形的对称性列式计算即可． 解：作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 　　答案　　　 　　变式 16　　　如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，点在格线上且是边上一点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点是边上一点，在边上找点，使的值最小． 思路分析　（1）根据网格的特点作出关于的对称线段，进而找到与网格线的交点，即可求解； （2）找到关于的对称点，连接交于点，即可求解． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)如图①所示，点即为所作：(2)如图②所示，点即为所作 培优微专题 3　对称与动点最值 模块导学 对称与动点最值 坐标轴就是现成的对称轴，把同侧的点翻到另一侧，折线立刻变成直线；角内一点到两边的最短折线要作两次对称。 知识梳理 知识点 3　对称与最短路径（难点） ① 基本模型：在坐标轴上找一点 P，使 PA＋PB 最小；作 A 关于该轴的对称点 A′，连 A′B，与轴的交点即 P。 ② 依据：轴对称把"同侧"化为"异侧"，PA＝PA′，于是 PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，等号在三点共线时成立。 ③ 角内一点到两边的最短折线：分别作这点关于两边的对称点，连接两对称点，与两边的交点就是所求的两点。 ④ 求三角形周长最小：把两条动边分别作对称转移到一条直线上，周长最小值等于那条直线段的长度加定边。 ⑤ 求此时的角：定点确定后，用等腰三角形、对称性质与三角形内角和算出所求角。 ⑥ 折叠的本质是轴对称：折痕是对称轴，折叠前后的对应线段相等、对应角相等，落在坐标轴上时可直接用坐标规律。 ⑦ 折叠中的动点问题：先确定折痕位置（常是某条边的垂直平分线或角平分线），再把动点约束到折痕上转化。 注意　作对称点时要选与目标点在轴"同侧"的那个点，连线的交点才会落在轴上。 易错　直接把两点连起来求长度——那条线段未必经过坐标轴上的点。 易错　角内最短折线只作一次对称，必须两边各作一次，才能把三段折线拉成一条直线。 培优题型 1 折线最短与周长最小 　　例 1　　　如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（　　）． A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，，，因此，当，，，四点共线时，取到最小值．设，用和表示出和，作差得出结果． 解：如图，作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ∴， 当，，，四点共线时，取到最小值， 设此时点、的位置为，，设， 由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 1　　　如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可． 解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接， ∴此时，周长最小，为线段的长度， 根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 2　　　如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 思路分析　根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，根据即可得出答案． 解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， 则即为的周长最小值．作延长线， ∵ ∴共线，共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即，当的周长最小时，的度数为． 　　答案　　　 　　变式 3　　　如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为＿＿＿＿＿． 思路分析　根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称，　点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 　　答案　　　8 点睛　本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 　　变式 4　　　如图，　，　点、分别在射线、上，　，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、，　当点在直线上运动时，　则面积的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 　　答案　　　8 　　变式 5　　　如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　作点关于的对称点，连接，如图所示，由对称性及垂线段最短得到当时，能使最小，作出此时的图形数形结合表示出即可． 解：作点关于的对称点，连接，如图所示： ，则， 点为定点、点分别为、上的动点， 由垂线段最短可知，当时，能使最小， 过点作，垂足为点，且与交于点，如图所示： 此时三点共线， 在中，，，则， 　， 由对称性可知，则， ． 　　答案　　　 　　变式 6　　　如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）当的周长最小时，的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． （1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 　的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， 　，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 　　答案　　　　　　　 培优题型 2 折叠与最值的综合 　　例 2　　　如图，在中，，，，，是边上的动点（不与点重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，，当和在异侧时，面积的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 思路分析　由折叠性质可知，底边长度为，它的面积大小取决于点到的垂线段长度；底边固定，垂线段越长面积越大．结合、在异侧的条件，由垂线段相关性质可得：当、垂足、三点共线，且垂足在与之间时，到的垂线段最长，由此求出垂线段的最大值，即可算出面积最大值． 解：过点作，垂足为． ，，，， ， ． 由折叠可得　． 过点作于点，就是点到直线的距离，记为． ，底边不变，越大，面积越大． 连接， 在中，点和点在直线的异侧， 线段与直线相交，设交点为， ， ， ， ， ， ， 当且仅当点与点重合，且点与点重合时，两个不等式同时取等号， 即、、三点共线，且在与之间，此时取得最大值， ． 　　答案　　　 　　变式 7　　　如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 解：如图，连接， 由条件可知， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度也最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 　　答案　　　 　　变式 8　　　如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 思路分析　本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． （1）略 （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 　　答案　　　(1)证明：∵，，∴为等腰直角三角形，∵，根据等腰三角形的三线合一得，垂直平分线段，∴；(2)①② 　　变式 9　　　在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 思路分析　（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． （1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 10　　　如图1，中，，点P在内部，且， (1)求证：； (2)如图2，延长至D，交于于点F，点与D关于对称，连接、、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，，求的长． 思路分析　（1）根据等边对等角、角度互余和等角对等边即可求证； （2）利用对称性质证明，再利用三角形性内角和定理即可证明； （3）过点B作的平行线，结合可证明，得到对应边相等，再证得，利用全等形性质的边相等即可求得答案． （1）略 （2）略 （3）过点B作的平行线，交延长线于T，如图， 　　， 又， ， ∵，，， ∴ ，则点E是的中点， ． 　　答案　　　(1)证明：设，，，又，又，，(2)证明：连接，设，如图，　　点与点D关于对称，，，又，，，又，(3)8 点睛　本题主要考查全等三角形的判定和性质、等角对等边、等边对等角及对称性质，解题要找到角度代换，作出辅助线是解题的关键． 微专题 4　规律探究与实际情境 模块导学 规律探究与实际情境 连续变换先算前几次、找出周期再取余；实际情境题先建系、再定位，最后回到坐标作答。 知识梳理 知识点 4　规律探究与实际情境（重点） ① 连续变换题的通用解法：先按规则算出前 3～4 次变换后的坐标，观察是否回到原状，找出周期，再用总次数除以周期取余。 ② 关于同一条直线连续作两次对称，点回到原位，周期为 2。 ③ 先关于 x 轴、再关于 y 轴对称，相当于关于原点对称；再重复一次就回到原位，周期为 4。 ④ 关于两条平行直线连续对称，结果相当于一次平移，平移距离是两条直线间距的 2 倍。 ⑤ 取余时若余数为 0，说明正好落在周期的最后一步，不要误当成第一步。 ⑥ 图形整体翻转（如正方形沿 x 轴翻滚）类问题：先看一个周期内点移动的距离，再用总次数除以一个周期的次数。 ⑦ 用坐标描述位置：先确定原点与两条坐标轴的正方向，再按"向右为正、向上为正"读出横纵坐标。 ⑧ 实际情境中的对称：花园小路、棋盘、剪纸图案常把两条对称轴当作坐标轴，此时对称关系直接对应坐标变号。 ⑨ 已知一个点的坐标求其对称点：先判断它关于哪条轴对称（哪条小路、哪条格线），再按规律变号。 ⑩ 棋盘、方格类问题：把行列位置转成坐标，注意题目给定的两个已知点是用来确定原点与单位的。 ⑪ 剪纸、蝴蝶等轴对称实物：只要放入坐标系，就可以用"对应点坐标关于某条线对称"来建立方程。 注意　建系前先确认题目是否已给出坐标系；若要求自己建，应选图形的对称轴或某条边所在直线作坐标轴，计算最省力。 易错　忽略单位长度，把"格"直接当成坐标数值，导致整体比例错误。 题型 1 连续变换找规律 　　例 1　　　如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2026次，点依次落在点，，，，…，的位置上，则点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　探究规律，利用规律即可解决问题． 解：由题意，，，，，，，，， 每4个一循环， ∴． 　　答案　　　D 　　变式 1　　　规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移1个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换，表示点M先向右平移1个单位得到点，再将点关于x轴作轴对称从而得到点．若点经过“0101…01”共2026次变换后得到点，则点的坐标为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了坐标的变化规律,平移以及轴对称变化,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,根据平移以及轴对称的性质解决问题即可． 分析“0”变换和“1”变换的规律： 第1次“0”变换：点右移1个单位,得; 第2次“1”变换：关于x轴对称,得; 第3次“0”变换：右移1个单位,得; 第4次“1”变换：关于x轴对称,得; 观察可得,每2次变换,横坐标增加1,纵坐标在−1和1之间交替. 2026次变换共组,则： 横坐标：每组增1,故为; 纵坐标：偶数次变换后为是偶数,故为1. 所以坐标为。 故答案为： 　　答案　　　 点睛　本题关键是找出“”循环变换的规律,即每2次变换为一个周期,横坐标递增、纵坐标交替变化,通过总次数除以周期数确定坐标变化. 　　变式 2　　　如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，先作关于y轴对称的，再作关于x轴对称的，这样的过程称为“第1次变换”．作关于y轴对称的，再作关于x轴对称的，这样的过程称为“第2次变换”．“第2025次变换”后，的顶点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 画出图形，探究规律后解决问题即可． 解：如图，发现四次一个循环， ， 的坐标与相同，坐标为， 故答案为：． 　　答案　　　 题型 2 实际情境中的坐标定位 　　例 2　　　蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如图，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．1　　　　D．0　　　 思路分析　根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出代数式的值即可. 解：由题意， 解得， ∴. 　　答案　　　C 　　变式 3　　　小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　） A．（﹣2，1）　　　　B．（﹣1，1）　　　　 C．（1，﹣2）　　　　D．（﹣1，﹣2）　　　 解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴， 右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴， 则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形． 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 4　　　如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A，B，E（2，1），则点D的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 ∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（-4，6）， ∴D（4，6）， 故选B． 　　答案　　　B 　　变式 5　　　如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为（　　） 　　 A．(　-1，-2)　　　　B．(　1，-2)　　　　 C．(　-1，2)　　　　D．(　-2，-1)　　　 思路分析　先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到B（1，-2），然后根据关于y轴对称的点的坐标特征易得C点坐标． ∵x轴是△AOB的对称轴， ∴点A与点B关于x轴对称， 而点A的坐标为（1，2）， ∴B（1，-2）， ∵y轴是△BOC的对称轴， ∴点B与点C关于y轴对称， ∴C（-1，-2）． 故选：A． 　　答案　　　A 点睛　本题考查了坐标与图形变化之对称：关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于直线对称，则P（，b）⇒P（2m-，b），关于直线对称，P（，b）⇒P（，）． 　　变式 6　　　如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于直线对称的点的坐标特征来求解点的坐标即可． 关于直线对称，且直线上各点的横坐标都为1， 关于直线对称． 点的坐标为，设点坐标为， ， 解得，故点坐标为． 故选A． 　　答案　　　A 　　变式 7　　　某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵树，如图所示．A，B两处树的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系内．若点A的坐标为，则点B的坐标为（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　答案　　　A 　　变式 8　　　在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　答案　　　D 　　变式 9　　　如图，点关于，的对称点分别为，，连接，分别交，于点，，连接，，，若，，则的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿，的形状是＿＿＿＿＿＿＿＿三角形． 思路分析　点关于，的对称点分别为，，则，，，，，，结合图形和已知条件求解即可． 解：点关于，的对称点分别为，， ，， ； 点关于，的对称点分别为，， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形． 　　答案　　　　9　等腰直角 　　变式 10　　　已知正方形在坐标轴上的位置如图所示，x轴、y轴分别是正方形的两条对称轴．若点A的坐标为，则点B的坐标为＿＿＿＿＿＿，点C的坐标为＿＿＿＿＿＿，点D的坐标为＿＿＿＿＿＿． 　　答案　　　　　　　　　 　　变式 11　　　在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据关于成轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相加等于4，求解. 已知，两点关于直线对称， ， ， ， 故答案为：-2. 　　答案　　　 点睛　本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律. 1 学科网（北京）股份有限公司 $