第6讲·轴对称·培优讲义（图形的轴对称 画轴对称图形）（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第6讲·轴对称·培优讲义（图形的轴对称 画轴对称图形） （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解轴对称图形与轴对称的概念 · 掌握线段垂直平分线的性质与判定 · 掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律 · 会解决折叠问题中的角度与线段计算 · 掌握命题、逆命题的概念与真假判断 · 会画轴对称图形与对称轴 📚 知识梳理 ☆ 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形：沿某条直线折叠，直线两旁部分完全重合 对称轴是直线（不是线段、射线） 成轴对称的两个图形全等，但全等不一定成轴对称 对称轴垂直平分对应点连线 概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的是（　　） 答案：角、等腰三角形、圆等（沿对称轴能完全重合的图形） 解析：判断轴对称图形：能否找到一条直线，使图形沿其折叠后两部分完全重合。 ☆ 2.线段垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 判定：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上 垂直平分线把线段平分且垂直 常与等腰三角形性质结合求角度、线段 概念辨析例题：如图，直线l垂直平分线段AB，点P在l上，PA=5，则PB=？ 答案：PB=5 解析：由垂直平分线性质：l上的点到A、B距离相等，故PB=PA=5。 ☆ 3.坐标与图形变化——轴对称 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 关于原点对称：横纵坐标都互为相反数 平移后再对称、对称后再平移要按顺序操作 概念辨析例题：点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是？ 答案：(3,2) 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号：-2→2，故为(3,2)。 ☆ 4.折叠问题 折叠前后图形全等，对应边、对应角相等 折痕是对称轴，垂直平分对应点连线 折叠常与平行线、三角形内角和结合求角 设未知数列方程是求折叠线段长度的常用方法 概念辨析例题：将一张矩形纸片沿一条边折叠，使一个顶点落在对边上，折痕与边成45°角，求折叠角 答案：对应角相等，利用三角形内角和与平角关系可求 解析：折叠的本质是轴对称：重合部分全等，折痕为对称轴，据此建立角的关系。 ☆ 5.命题与逆命题 命题由条件和结论组成，可判断真假 逆命题：交换原命题的条件与结论 原命题为真，逆命题不一定为真 判断逆命题真假要举反例验证 概念辨析例题：命题“对顶角相等”的逆命题是？它是真命题吗？ 答案：逆命题：相等的角是对顶角；假命题 解析：逆命题交换条件结论；“相等的角不一定是对顶角”，如两直角相等但非对顶角。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 轴对称图形 沿直线折叠能完全重合 对称轴是直线 成轴对称 两图形沿对称轴完全重合 两图形全等，全等不一定轴对称 垂直平分线 垂直且平分线段的直线 线上的点到两端点距离相等 x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横不变、纵变号 y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵不变、横变号 折叠 折叠前后全等 折痕是对称轴 逆命题 交换条件与结论 真假需重新判断 ⚠️ 核心考点 【考点1】轴对称图形的识别与概念（第1-13题） · 找对称轴判断轴对称图形 · 区分轴对称图形与成轴对称 · 对称轴是直线 · 设计轴对称图案要利用对称性 1．（23-24八年级上·天津和平·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） （1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故（1）不正确，不符合题意； （2）轴对称图形的对称轴是一条直线，故（2）不正确，不符合题意； （3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，故（3）正确，符合题意； （4）全等的两个图形不一定成轴对称，故（4）不正确，不符合题意； （5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言，故（5）正确，符合题意； 综上：正确的有（3）（5），共2个， 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【答案】B 【知识点】画轴对称图形 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于画出图形. 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有三种位置，与成轴对称的格点三角形有3个， 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东日照·期中）下列结论：①三角形按边分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②两个图形关于某条直线对称，则对应边所在的直线一定交于一点；③能够完全重合的两个图形一定全等．其中正确的结论共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】三角形的分类、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了三角形的分类、轴对称的性质、全等的判定，根据三角形的分类、轴对称的性质、全等的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形，故①说法错误，不符合题意； 两个图形关于某直线对称，那么它们的对应线段或延长线可能平行，也可能相交，如果相交，那么交点一定在对称轴上，故②说法错误，不符合题意； 能够完全重合的两个图形一定全等，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有③，共1个， 故选：B． 4．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）下列分别表示“节水”“节能”、“回收”、“绿色食品”含义的四个标志的图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 【答案】 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【知识点】图形的平移、成轴对称的两个图形的识别 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）在中，于点，点关于的对称点为点，连接，若，，则的度数为________． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，对称的性质，根据题意分点在上和点在延长线上两种情况，画出示意图，结合三角形内角和定义即可解答． 【详解】解：如图，当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于的对称点为点，， ∴， ∴； 如图，当点在延长线上时， 同理，，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 9．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）如图，是矩形的对角线，利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，即为所求作的三角形； 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、画轴对称图形 【分析】以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； 10．（9.2轴对称（3）七年级数学下册苏教版2024）如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 【答案】(1) 相等的线段为：，，，，； 相等的角为：，，，，，，，，； (2)与，与 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质； （1）根据轴对称的性质确定相等的线段与相等的角即可； （2）由轴对称的性质可得：与，与，也都关于直线成轴对称． 【详解】（1）略 （2）解：与，与，也都关于直线成轴对称． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）作出如图所示轴对称图形的对称轴． 【答案】如图，直线即为所求． 【知识点】画对称轴 【详解】略 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图形中标出点、和关于直线的对称点． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】对称前后图形全等，各点、线段、角一一对应，形状、大小不变，据此找、和对应的点． 【详解】略 13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出的重心，并直接写出重心的坐标：（______，______）（保留画图痕迹） 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点即为所求，． 【知识点】重心的概念、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，重心．解决本题的关键是掌握轴对称的性质和重心的定义． （1）根据轴对称的性质作出点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）分别画边的中线和边的中线交于点，再写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 【考点2】线段垂直平分线的性质与判定（第14-34题） · 性质：线上点到两端点距离相等 · 判定：到两端点距离相等的点在线上 · 与等腰三角形等边对等角结合求角 · 尺规作垂直平分线保留痕迹 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据线段垂直平分线性质得，，，再根据的周长为得的长，再根据的周长为，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，先根据线段垂直平分线的性质得出，，再对各选项进行逐一分析即可，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，，故A正确，该选项不符合题意； 在和中， ， ∴，故C正确，该选项不符合题意； ∴，故B正确，该选项不符合题意； 不一定等于，故D错误，符合题意； 故选：D． 16．（018课时4轴对称（2）七年级数学下册苏教版2024）下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断． 【详解】解：①不是的中点，则不平分线段，故错误； ②直线经过线段的中点，且垂直于则是线段的垂直平分线，故错误； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线，故正确； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线，故正确． 故选：B． 17．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． ①先证明，进而依据“”判定和全等得可判断①；②根据得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此得，继而得周长为可判断②；③设的延长线交于点H，证明和是等腰直角三角形得，由此得是等腰直角三角形，则可判断③；④假设，根据得，再根据得，进而得是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾，由此得假设是错误的，据此可判断④． 【详解】解：①∵在中，分别为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即结论①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长为：， 故结论②正确； ③如图所示：设的延长线交于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾， ∴假设是错误的，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：B． 18．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为；． 19．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，垂直平分．若，，则的长为______． 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 20．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 21．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为_____ ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了尺规作图、三角形外角的性质、直角三角形的性质，利用三角形内角和定理可知，由作图可知是的平分线，所以可得，根据三角形外角的性质可以求出，根据直角三角形两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，， ，， ， 由作图可知是的平分线， ， 是的外角， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：2． 23．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为_______． 【答案】/25厘米 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，先由作图得出是中垂线，则，，得到的周长，进而可得答案． 【详解】解：由题意得到：是中垂线， ∴，， ∴， ∵的周长为，即， ∴周长． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是________． 【答案】125 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据周角的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴，即， ∴， ∵在中，I是三角形三条角平分线的交点 ∴平分平分， ∴，∠， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 26．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【答案】1 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：，， ∴垂直平分 ∵垂直平分， ， ∴； (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段的两个端点距离相等． （1）先证得垂直平分则，而垂直平分，则，等量代换即可证明； （2）由（1）得，而，再由三角形周长公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴的周长为 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】 解：如图，直线l即为所求作． 【知识点】作已知线段的垂直平分线、画对称轴 【分析】本题考查了画对称轴，作已知线段的垂直平分线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用尺规作出的垂直平分线即可． 【详解】略 29．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点E． (1)当时，___________； (2)当的周长为时，的长度是___________； (3)如果，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，即可得出答案； （2）由（1）得，结合的周长求出，即可得出答案； （3）由（2）得的周长，代入数据即可得出答案． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 又， ． 故答案为：． （2）解：由（1）得，， 的周长， 又， ． 故答案为：． （3）解：由（2）得，的周长， 又，， 的周长， 的周长是． 30．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，垂直平分．求证：．（提示：连接，） 【答案】证明：如图，连接， 垂直平分， ， 在和中，， ， ． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质 【分析】利用线段垂直平分线的性质求得，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】略 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，作边上的高，并延长至点M，使，连结，作边上的高线，并延长至点N，使，连结与相交于点G． (1)按照上述语句，补全图形； (2)与有何数量关系？请证明； (3)你补全的图形是轴对称图形吗？ 【答案】(1) 解：如图所示为所求： (2) 解：，证明如下： ∵， ∴垂直平分， 同理垂直平分， ∴， ∵， ∴； (3)补全的图形是轴对称图形，直线是它的对称轴 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据题中的要求画图就可； （2）从作图的过程中，易证垂直平分，垂直平分，推出，结合，即可得到； （3）根据轴对称图形的性质即可判断补全的图形是轴对称图形，直线是它的对称轴． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，作直线交于点H， 补全的图形是轴对称图形，直线是它的对称轴． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴直线垂直平分，即直线垂直平分， ∴补全的图形是轴对称图形，直线是它的对称轴． 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是的垂直平分线，点在上，连接，，，已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下， ∵是的垂直平分线，点为上一点， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的度数为． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质，即可解决问题； （）延长，利用三角形的外角性质求得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 33．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) 添加条件为： 证明：∵，， ∴； (2) 是，证明如下： 如图所示，延长、交于点P， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点E在的垂直平分线上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、线段垂直平分线的判定 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）添加条件为：，然后证明出即可； （2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）略 （2）略 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图）．请你用尺规作图的方法确定点P的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】 点即为所求： 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，点即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查——应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 【考点3】坐标与图形变化——轴对称（第35-44题） · 关于x轴对称：横不变纵变号 · 关于y轴对称：纵不变横变号 · 平移与对称按顺序逐步操作 · 动点规律题先求前几步找周期 35．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、坐标系中的对称 【分析】本题考查了坐标与对称，熟练掌握以上知识是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，分别求解即可. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，且， 解得：，， ∴， 故选；B． 36．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）点关于x轴对称的点N的纵坐标是___________. 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点的对称，根据关于x轴对称的点为，即可解题． 【详解】解：点关于x轴对称的点坐标为， 点N的纵坐标是． 故答案为：． 37．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在一个不完整的平面直角坐标系中，上、下两幅“娃娃脸”图案关于x轴对称．若上图中点A的坐标为，则下图中点B的坐标是 ___________ 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的特征，熟练掌握关于x轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．由题意得，点A和点B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的特征即可解答． 【详解】解：由题意得，点A和点B关于x轴对称， 又点A的坐标为， 点B的坐标是． 故答案为：． 38．（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的平移 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 39．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为___________． 【答案】，， 【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时， ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 41．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于坐标轴对称点的坐标规律，先确定初始点的坐标，再分析每次翻折后的坐标变化，找出翻折规律，最后计算第次翻折后的坐标即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴， 又∵正方形边长相等， ∴， ∴点初始坐标为． 接下来分析翻折规律： 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为，即回到初始坐标． …… ∵…， ∴第次翻折点对应的点与进行第次翻折后的点相同，对应坐标为． 故答案为：． 42．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的纵坐标为得出，求解即可； （2）由题意可得，求出的值即可得解； （3）根据对称的性质可得，，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， ∴， ∴，，即； （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）在直角坐标系中，把点先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，再把所得的点以轴为对称轴作轴对称变换，最终所得的像为点，求点的坐标． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据平移规则按题目变换要求求出对应的点坐标，最后根据最终所得的像为点列方程求解即可． 【详解】解：先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得，关于轴对称后坐标为，即为． ， 解得， 即的坐标为． 44．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点关于直线对称，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，则称点为点的“睿智点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点坐标为时，则点的“睿智点”的坐标为______； ②若点为点的“睿智点”，则的坐标为______； (2)如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“睿智点”； ②这些关联点组成的图形围成的面积是______． (3)如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“睿智点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①如图所示： ② (3) 【知识点】坐标系中的平移、坐标系中的对称、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“睿智点”变化规律. （1）①根据“睿智点”的定义求解即可；②设，根据“睿智点”的定义列方程即可求解； （2）①根据“睿智点”的定义得到当、、三点作为点时，设点的“睿智点”分别为、、，则，，，依次连接，，，则点所有的“睿智点”形成的图形为的三边；②求出的面积即可； （3）分别求出点关于、、、四点作为“点”时的“睿智点”坐标：，，，，则矩形四条边即为点的“睿智点”的轨迹，由点、，并且线段上存在点的“睿智点”，可知线段需与矩形四条边有交点，分情况：①当线段与有交点时，②当线段与有交点时，③当线段与有交点时，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得，， 点坐标为，点坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：； ②设， 由题意得， 解得， ， 故答案为：； （2）①点与点关于轴对称，， ， 当、、三点作为点时，设点的“睿智点”分别为、、， ，，， 如图，依次连接，，，则点所有的“睿智点”形成的图形为的三边； ②这些关联点组成的图形围成的面积是， 故答案为：； （3）根据，，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的“睿智点”坐标：，，，， 如图，矩形四条边即为点的“睿智点”的轨迹， 点、，并且线段上存在点的“睿智点”， 线段需与矩形四条边有交点， ①当线段与有交点时， ，无解，则没有交点， ②当线段与有交点时， ， 解得， ③当线段与有交点时， 或， 解得， 综上所述：当时，线段上存在点的“睿智点”． 【考点4】折叠问题与角度计算（第45-50题） · 折叠前后全等对应角相等 · 折痕即对称轴 · 结合内角和、补角列式求角 · 设未知数方程求线段 45．（23-24七年级下·全国·课后作业）剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（如图，先将纸折叠，然后剪纸，展开即得到图案），则下列四个图案，不能用上述方法剪出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠性质，折叠剪纸形成的图是轴对称图形．根据题意可得剪纸得到的图形都是轴对称图形，即可求解． 【详解】解：根据题意得：剪纸得到的图形都是轴对称图形，且D选项中的图形不是轴对称图形． 故D选项符合题意． 故选：D． 46．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，点D为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（    ）度． A．100 B．118 C．108 D．128 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角、折叠问题 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 47．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，将长方形纸片进行折叠，为折痕，点A与点、点B与点、点C与点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的补角、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，角的计算，掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得，，求出即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得，， ， ， 故选：C． 48．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为____________度． 【答案】54 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】此题考查了角的计算，根据翻折变换的性质得出对应的角相等是解题的关键．根据翻折的性质可知，，再根据平角的度数是，，继而即可求出答案． 【详解】解：根据翻折的性质可知，， 又， ， 又， ． 故答案为：54． 49．（25-26七年级下·全国·阶段检测）一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是____________． 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】通过折叠的性质得到，． 【详解】解：由折叠的性质可知，，． ，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，解决本题的关键是通过折叠性质找出角之间的关系． 【考点5】命题与逆命题（第51-52题） · 明确条件与结论 · 逆命题交换条件结论 · 举反例判断真假 50．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题的逆命题的概念．逆命题是将原命题的条件和结论互换后的命题，据此解答即可． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故选：B 51．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的证明、判断命题真假、互逆定理 【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和等于”是真命题，故不符合题意； C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意； 故选：D． 52．（24-25八年级下·广东河源·阶段检测）下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．全等三角形的对应角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题的真假性，先写出各选项的逆命题，再判断其真假，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、“若，则”的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，故逆命题不成立，不符合题意； 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，反例：两个相似但大小不同的三角形对应角相等，但未必全等，故逆命题不成立，不符合题意； 、“如果两个数相等，则它们的绝对值相等”的逆命题为“若两个数的绝对值相等，则它们相等”，反例：和的绝对值相等，但，故逆命题不成立，不符合题意； 、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，根据垂直平分线性质定理的逆定理，该命题成立，符合题意； 故选：． 💯 课后巩固 复习建议 · 对称轴是直线要记牢 · 垂直平分线性质判定成对记 · 坐标对称口诀：关于谁对称谁不变 · 折叠即轴对称全等 · 逆命题真假要重新验证 【作业1】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，分别为长方形的边，上的点，将长方形沿直线折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质以及平行线的性质，根据题意可得，则，结合已知可得，根据折叠的性质可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵长方形的对边平行， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【作业3】．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下面四个图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【作业4】．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路线问题等知识．分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，由，可知当当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小， 连接，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【作业5】．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了最短路线问题,垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【详解】解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 【作业6】．（2025七年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．则下列结论： ； 平分； ； ．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，角平分线的定义，由在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得，，继而求得： ； 平分； ；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∴， ∴， ∴平分，故正确； ∴， ∴，故正确； 由条件不能得出，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【作业7】．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在标有序号①②③④的小正方形中选择一个涂上阴影，与图中阴影部分构成轴对称图形，该小正方形的序号是______． 【答案】① 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，理解轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，将①涂上阴影即可与图中阴影部分构成轴对称图形． 故答案为：①． 【作业8】．（2022·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】利用关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特点为横坐标不变，纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴对称点的横坐标为，对称点的纵坐标为，即点关于轴的对称点坐标为． 【作业9】．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知的周长为13，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为__________________． 【答案】9 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题主要考查利用线段垂直平分线的性质求三角形的周长，熟练掌握即可解题．根据线段垂直平分线的性质进行等量转换，即可得解． 【详解】解： 的周长为13， ， 为的垂直平分线，， ，， ， 的周长为， 故答案为：9． 【作业10】．（25-26九年级下·重庆綦江·阶段检测）如图，在中，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是_______ ． 【答案】70 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，进而即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠得，， ∵ ∴， ∴． 【作业11】．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期末）在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是_________________； 【答案】0和8 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是0和8． 故答案为：0和8． 【作业12】．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是，则对应虚像顶部点Q的坐标是____． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特点，根据题意得出点与点关于轴对称，再根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，点与点关于轴对称， 火焰顶部点的坐标是， 对应虚像顶部点的坐标是， 故答案为：． 【作业13】．（2026·江苏无锡·一模）命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 【作业14】．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，已知与关于直线l对称．请在图中画出（点A，B，C的对称点分别为点，，）． 【答案】 解：如图所示，即为所求． 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题主要考查轴对称的定义，画出轴对称图形是解题的关键． 首先找到点A，B，C关于直线l的对称点，，，再依次连接点，，即可得到． 【详解】略 【作业15】．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示： 点即为所求． 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查基本尺规作图-线段的垂直平分线，根据题意在边上求作一点，使，可知是作线段的垂直平分线，由垂直平分线尺规作图按步骤求解即可得到答案，熟记基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】略 【作业16】．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，重叠部分是一个三角形，为折痕，已知，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴. 【作业17】．（23-24八年级上·广西百色·期中）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)若，则； (3)末位数字是0的数一定能被5整除． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等，是真命题 (2)若，则，是假命题 (3)能被5整除的数末位数字一定是0，是假命题 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】此题考查命题的逆命题，真假命题的定义， （1）写出逆命题，判定真假命题； （2）写出逆命题，判定真假命题； （3）写出逆命题，判定真假命题； 正确掌握逆命题的定义及真假命题的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同位角相等． 是真命题； （2）逆命题为：若，则． 是假命题； （3）逆命题为：能被5整除的数末位数字一定是0． 是假命题． 【作业18】．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 【答案】(1) 解：如图，即为所求，点，，的坐标分别为，，． (2)解：如图，点D即为所求． 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，利用轴对称求最短距离问题，熟练掌握利用轴对称的性质作图与求最短距离是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再首尾顺次连接即可，然后根据所作图形可得，，三个点坐标； （2）作出点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即是点D的位置，此时，最小，即可得到结论； 【详解】（1）略 （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲·轴对称·培优讲义（图形的轴对称 画轴对称图形） （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解轴对称图形与轴对称的概念 · 掌握线段垂直平分线的性质与判定 · 掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律 · 会解决折叠问题中的角度与线段计算 · 掌握命题、逆命题的概念与真假判断 · 会画轴对称图形与对称轴 📚 知识梳理 ☆ 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形：沿某条直线折叠，直线两旁部分完全重合 对称轴是直线（不是线段、射线） 成轴对称的两个图形全等，但全等不一定成轴对称 对称轴垂直平分对应点连线 概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的是（　　） 答案：角、等腰三角形、圆等（沿对称轴能完全重合的图形） 解析：判断轴对称图形：能否找到一条直线，使图形沿其折叠后两部分完全重合。 ☆ 2.线段垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 判定：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上 垂直平分线把线段平分且垂直 常与等腰三角形性质结合求角度、线段 概念辨析例题：如图，直线l垂直平分线段AB，点P在l上，PA=5，则PB=？ 答案：PB=5 解析：由垂直平分线性质：l上的点到A、B距离相等，故PB=PA=5。 ☆ 3.坐标与图形变化——轴对称 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 关于原点对称：横纵坐标都互为相反数 平移后再对称、对称后再平移要按顺序操作 概念辨析例题：点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是？ 答案：(3,2) 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号：-2→2，故为(3,2)。 ☆ 4.折叠问题 折叠前后图形全等，对应边、对应角相等 折痕是对称轴，垂直平分对应点连线 折叠常与平行线、三角形内角和结合求角 设未知数列方程是求折叠线段长度的常用方法 概念辨析例题：将一张矩形纸片沿一条边折叠，使一个顶点落在对边上，折痕与边成45°角，求折叠角 答案：对应角相等，利用三角形内角和与平角关系可求 解析：折叠的本质是轴对称：重合部分全等，折痕为对称轴，据此建立角的关系。 ☆ 5.命题与逆命题 命题由条件和结论组成，可判断真假 逆命题：交换原命题的条件与结论 原命题为真，逆命题不一定为真 判断逆命题真假要举反例验证 概念辨析例题：命题“对顶角相等”的逆命题是？它是真命题吗？ 答案：逆命题：相等的角是对顶角；假命题 解析：逆命题交换条件结论；“相等的角不一定是对顶角”，如两直角相等但非对顶角。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 轴对称图形 沿直线折叠能完全重合 对称轴是直线 成轴对称 两图形沿对称轴完全重合 两图形全等，全等不一定轴对称 垂直平分线 垂直且平分线段的直线 线上的点到两端点距离相等 x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横不变、纵变号 y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵不变、横变号 折叠 折叠前后全等 折痕是对称轴 逆命题 交换条件与结论 真假需重新判断 ⚠️ 核心考点 【考点1】轴对称图形的识别与概念（第1-13题） · 找对称轴判断轴对称图形 · 区分轴对称图形与成轴对称 · 对称轴是直线 · 设计轴对称图案要利用对称性 1．（23-24八年级上·天津和平·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） （1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 3．（23-24八年级上·山东日照·期中）下列结论：①三角形按边分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②两个图形关于某条直线对称，则对应边所在的直线一定交于一点；③能够完全重合的两个图形一定全等．其中正确的结论共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）下列分别表示“节水”“节能”、“回收”、“绿色食品”含义的四个标志的图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有__________只填写序号 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）在中，于点，点关于的对称点为点，连接，若，，则的度数为________． 9．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）如图，是矩形的对角线，利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹） 10．（9.2轴对称（3）七年级数学下册苏教版2024）如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）作出如图所示轴对称图形的对称轴． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图形中标出点、和关于直线的对称点． 13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出的重心，并直接写出重心的坐标：（______，______）（保留画图痕迹） 【考点2】线段垂直平分线的性质与判定（第14-34题） · 性质：线上点到两端点距离相等 · 判定：到两端点距离相等的点在线上 · 与等腰三角形等边对等角结合求角 · 尺规作垂直平分线保留痕迹 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 16．（018课时4轴对称（2）七年级数学下册苏教版2024）下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 18．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 19．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，垂直平分．若，，则的长为______． 20．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 21．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为_____ ． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 23．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为_______． 24．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为______． 25．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是________． 26．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 27．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 29．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点E． (1)当时，___________； (2)当的周长为时，的长度是___________； (3)如果，求的周长． 30．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，垂直平分．求证：．（提示：连接，） 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，作边上的高，并延长至点M，使，连结，作边上的高线，并延长至点N，使，连结与相交于点G． (1)按照上述语句，补全图形； (2)与有何数量关系？请证明； (3)你补全的图形是轴对称图形吗？ 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是的垂直平分线，点在上，连接，，，已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的度数． 33．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图）．请你用尺规作图的方法确定点P的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【考点3】坐标与图形变化——轴对称（第35-44题） · 关于x轴对称：横不变纵变号 · 关于y轴对称：纵不变横变号 · 平移与对称按顺序逐步操作 · 动点规律题先求前几步找周期 35．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 36．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）点关于x轴对称的点N的纵坐标是___________. 37．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在一个不完整的平面直角坐标系中，上、下两幅“娃娃脸”图案关于x轴对称．若上图中点A的坐标为，则下图中点B的坐标是 ___________ 38．（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 39．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） 40．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为___________． 41．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 42．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）在直角坐标系中，把点先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，再把所得的点以轴为对称轴作轴对称变换，最终所得的像为点，求点的坐标． 44．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点关于直线对称，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，则称点为点的“睿智点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点坐标为时，则点的“睿智点”的坐标为______； ②若点为点的“睿智点”，则的坐标为______； (2)如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“睿智点”； ②这些关联点组成的图形围成的面积是______． (3)如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“睿智点”，直接写出的取值范围． 【考点4】折叠问题与角度计算（第45-50题） · 折叠前后全等对应角相等 · 折痕即对称轴 · 结合内角和、补角列式求角 · 设未知数方程求线段 45．（23-24七年级下·全国·课后作业）剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（如图，先将纸折叠，然后剪纸，展开即得到图案），则下列四个图案，不能用上述方法剪出的是（　　） A． B． C． D． 46．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，点D为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（    ）度． A．100 B．118 C．108 D．128 47．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，将长方形纸片进行折叠，为折痕，点A与点、点B与点、点C与点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 48．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为____________度． 49．（25-26七年级下·全国·阶段检测）一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是____________． 【考点5】命题与逆命题（第51-52题） · 明确条件与结论 · 逆命题交换条件结论 · 举反例判断真假 50．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 51．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 52．（24-25八年级下·广东河源·阶段检测）下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．全等三角形的对应角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 💯 课后巩固 复习建议 · 对称轴是直线要记牢 · 垂直平分线性质判定成对记 · 坐标对称口诀：关于谁对称谁不变 · 折叠即轴对称全等 · 逆命题真假要重新验证 【作业1】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，分别为长方形的边，上的点，将长方形沿直线折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下面四个图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（2025七年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．则下列结论： ； 平分； ； ．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【作业7】．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在标有序号①②③④的小正方形中选择一个涂上阴影，与图中阴影部分构成轴对称图形，该小正方形的序号是______． 【作业8】．（2022·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 【作业9】．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知的周长为13，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为__________________． 【作业10】．（25-26九年级下·重庆綦江·阶段检测）如图，在中，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是_______ ． 【作业11】．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期末）在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是_________________； 【作业12】．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是，则对应虚像顶部点Q的坐标是____． 【作业13】．（2026·江苏无锡·一模）命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【作业14】．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，已知与关于直线l对称．请在图中画出（点A，B，C的对称点分别为点，，）． 【作业15】．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【作业16】．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，重叠部分是一个三角形，为折痕，已知，求的度数． 【作业17】．（23-24八年级上·广西百色·期中）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)若，则； (3)末位数字是0的数一定能被5整除． 【作业18】．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $