精品解析：山东济南市东方双语实验学校2026-2027学年上学期九年级学情自测数学试题

济南东方双语实验学校九年级月考数学试题 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 若（），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ∵ ∴ 原式． 故选C． 2. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、，图象的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C、当时，，函数图象与轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、，开口向上，有最小值，最大值为，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，已知，，，则的长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质，由开口方向确定  的符号，由对称轴确定  与  的关系，由与  轴交点确定  的符号，结合特殊点的函数值进行判断． 【详解】解：  抛物线开口向下，  ．   对称轴是直线 ，  ，即 ，  ，故 C 选项正确．  ， ．   抛物线与  轴交点在  轴上方，  ．  ，故 A 选项错误． 由图可知，当  时，， 即 ． 将  代入得 ，即 ，故 D 选项错误． 根据抛物线的对称性，当  时，，则当  时 ， 即 ，故 B 选项错误． 7. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选A． 8. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为，书架长为，则的长（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，根据题意得出，，，证明，根据相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键． 【详解】解：由题知，，，， ∵∠，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故选：． 9. 定义：若点在某个函数的图象上，且点的纵坐标是横坐标的2倍，则称点为该函数的一个“倍点”．已知关于的二次函数对于任意实数都有两个不同的“倍点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“倍点”定义将代入二次函数解析式，转化为一元二次方程根的个数问题，结合判别式恒正与二次函数性质求解的范围． 【详解】解：由“倍点”定义得，代入，得 整理得． ∵ 该函数是关于的二次函数， ∴ ． ∵ 对任意实数都有两个不同的“倍点”， ∴ 关于的一元二次方程对任意都有两个不相等的实数根， ∴ 判别式对任意实数恒成立． 整理得对任意实数恒成立． ∵ 关于的二次函数开口向上， ∴ 要使函数值恒大于0，需其与横轴无交点，即判别式小于0． ∴ ， 化简得， 即． 由二次函数的图像可知，开口向上，当时，， 解得：， ∴二次函数与横轴交于和， ∴ 当时，； ∴ 当时，关于的二次函数对于任意实数都有两个不同的“倍点”． 10. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可得，可判断结论①；代入计算，可判断结论②；由正方形的性质可知，得到，再由得到，算出后可推出，可判断结论③；证明，再根据，可判断结论④． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∴，故结论②正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确的结论个数为． 二、填空题（共4小题）（每小题4分，共5小题，共20分） 11. 如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 12. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象直接进行求解． 【详解】解：根据不等式可知：一次函数的图象需在二次函数的图象上方， ∴由图象可知：当时，满足； 故答案为． 13. 下表是二次函数 图象上部分点的对应值： x 0 1 2 3 y 6 1 则当 时，______． 【答案】1 【解析】 【分析】二次函数图象为轴对称图形，根据和的y值相同，可知对称轴为直线，和关于对称，根据表格直接写结果． 【详解】由表格知对称轴为直线， 根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称， 故． 14. 如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 15. 如图，在菱形中，上有一点E，连接，将沿翻折使点A的对应点落在上，连接，．若，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】延长交于点G，作交于点F，由菱形的性质得，，，则，由翻折得，所以，则，所以，则再证明，可推导出，再证明，得，则，由，，求得，再证明，得，求得，则，再证明，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长交于点G，作交于点F， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键 三、解答题（共10小题，共90分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． （3）在线段上找一点使得． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，并分别延长，相交于点P，即可得出答案； （2）根据位似的性质作图，运用位似比即可解答； （3）取格点，连接交于点，可得，则． 【小问1详解】 解：如图，连接，，并分别延长，相交于点P， 则P点为位似中心， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 已知，二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … … … … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是__________． 【答案】（1）二次函数的解析式为 （2）①函数图象如下图： ②或 【解析】 【分析】（1）将表格中的点的坐标代入，可得，，，即可得二次函数的解析式； （2）①描点连线，画出函数图象即可； ②函数图象开口向上，由函数图象与轴的交点坐标，结合的取值范围，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：①略 ②函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，， 当时，的取值范围是或． 18. 如图，在中，点D是上一点，且，，， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴． ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：抛物线可化为． ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是． ∴， ∴． 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 略 21. 隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【答案】天堂的高度约为 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，先得出四边形和四边形都是矩形，进而可得的长，再证出，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∵，，，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 答：天堂的高度约为． 22. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】（1）； （2）小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 略． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； （3），是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据得，解不等式组即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； 【小问3详解】 解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， ∴， ∴． 24. 某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动．了解到纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们生活中常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图①），展开后，折痕两侧的每个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸．纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【问题探究】 （1）如图①，纸的较长边与较短边的比值为_____________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【拓展应用】 （3）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图③，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据相似多边形的性质可得，再根据矩形的性质等量代换即可求解； （2）连接交于点，交于点，由折叠知，，先证明，可得，可得，再证明，根据相似的性质结合折叠的性质设，可得，，最后根据的勾股定理可得，最后等量代换即可求解； （3）由（1）可知，可得，设，，再结合矩形的性质和折叠的性质得，，根据勾股定理求出，，、为等腰直角三角形，进而求出，然后根据平行求出，运用性质解出、，最后利用勾股定理推出，结合三角形的面积公式和，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将纸沿它的一条对称轴折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点，交于点，由折叠知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由（1）可知，， ∴， 设，， 由折叠可得，，，，，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 如图在平面直角坐标系中，点在抛物线上，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，当轴时，连接，已知点M为线段上的一个点，过点M作直线轴交抛物线于点N；当点M的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）若，将该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分记为图象G，设图象G的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，当时，请求出m的取值范围． 【答案】（1） （2）点M的坐标为时，线段的长度最大，最大值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值等知识，熟练掌握这些知识是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设，则可得M的坐标，从而可表示出，即可求得其最大值，从而求得点M的坐标； （3）确定抛物线的对称轴为直线，分；；三种情况考虑即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵轴，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把点A、P的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴M的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； 此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线，其对称轴为直线，最大值为4； 当时，如图2-1； 此时图象G的最低点为点B，最高点为点P， ∴，则，不合题意； 当时，如图2-2； 过点B作y轴的垂线交抛物线于点E，由（2）知，点E的横坐标为2， 此时图象G的最低点为点B或点E（P与E重合时），最高点为抛物线的顶点C， ∴， 则； 当时，如图2-3； 此时图象G的最低点为点P，最高点为抛物线的顶点C， ∴， ∴，不合题意； 综上，满足条件的m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南东方双语实验学校九年级月考数学试题 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 若（），则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 3. 如图，已知，，，则的长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（ ）． A. B. C. D. 6. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为，书架长为，则的长（　　） A. B. C. D. 9. 定义：若点在某个函数的图象上，且点的纵坐标是横坐标的2倍，则称点为该函数的一个“倍点”．已知关于的二次函数对于任意实数都有两个不同的“倍点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共4小题）（每小题4分，共5小题，共20分） 11. 如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 12. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 13. 下表是二次函数 图象上部分点的对应值： x 0 1 2 3 y 6 1 则当 时，______． 14. 如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是________． 15. 如图，在菱形中，上有一点E，连接，将沿翻折使点A的对应点落在上，连接，．若，则_______． 三、解答题（共10小题，共90分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． （3）在线段上找一点使得． 17. 已知，二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … … … … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是__________． 18. 如图，在中，点D是上一点，且，，， （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 21. 隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 22. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； （3），是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 24. 某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动．了解到纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们生活中常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图①），展开后，折痕两侧的每个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸．纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【问题探究】 （1）如图①，纸的较长边与较短边的比值为_____________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【拓展应用】 （3）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图③，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 25. 如图在平面直角坐标系中，点在抛物线上，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，当轴时，连接，已知点M为线段上的一个点，过点M作直线轴交抛物线于点N；当点M的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）若，将该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分记为图象G，设图象G的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，当时，请求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $