精品解析：山东济南商河县实验中学2026-2027学年上学期九年级9月 数学学情自测试题

九年级数学月考考试试题 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、方程中未知数最高次数为1，不是一元二次方程； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； C、方程中是分式，不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程是只含有一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，是一元二次方程． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 3. 把等式，写成比例式，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：， 或或，故A，B，D正确； 由得，故C不正确． 故选：C． 4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0，以及根的判别式与根的个数的关系：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，据此计算求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 又∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 解得， 综上，的取值范围是． 6. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：赛程共天，每天安排场， 总安排场数为（场）． 参赛的每个队之间都要比赛一场， 每队比赛场数为场，总比赛场数为场， 满足的关系式为． 8. 如图，在矩形中，，在边上适当选定一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上一点处，且的面积是，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．根据三角形面积公式可以求出，，设，在中利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是由翻折 ，， 在中，，设， ， ， ， ． 故选：B 9. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：在菱形中， ∴,,, ∵, ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 10. 如图，边长为的正方形，对角线相交于点，点为边上一动点（不与点，点重合），交于点，点为中点．给出如下四个结论：①；②点在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点在运动过程中，当时，．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①易证得，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，长度变化，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③先求得，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； ∴，故①正确； ②∵的值随着点E从到运动，长度发生变化， ∴面积发生变化；故②错误； ③∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴周长的最小值为；故③正确； ④如图，连接， ∵，G为中点． ∴， 当， 则，是等边三角形， ∴ ，故④正确； 综上，①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例设参数表示和，代入所求式子化简计算即可． 【详解】解： 可设，（） 将，代入 得． 12. 如图，在矩形中，，，为上的一点，平分，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°，BC=AD=10， ∴∠DEC=∠ADE， ∵ED平分∠AEC， ∴∠DEC=∠AED， ∴∠ADE=∠AED， ∴AE=AD=10， 在直角△ABE中，BE===8， ∴CE=BC-BE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确求得AE的长是关键． 13. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，理解中点四边形，掌握中位线的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为： ． 14. 如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质求出，根据勾股定理得到，然后根据解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则一定等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，将绕点A顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，， 将绕点A顺时针旋转至，如图： 由旋转可得，，，，，， ， 点H，B，C三点共线， ，，， ， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 三、解答题（本题共9道大题，共90分） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6） 【答案】（1） （2）． （3）． （4）方程没有实数根． （5）． （6）． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）先整理，利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可； （5）先整理，利用因式分解法解方程即可； （6）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：； ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ． 【小问4详解】 解：， ， ∴方程没有实数根． 【小问5详解】 解：， ， ， 或， ． 【小问6详解】 解：， ， 或， ． 17. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】略 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长． 【答案】6． 【解析】 【分析】由矩形的性质得出AO=BO= BD，再证明△AOB为等边三角形，得出BO=AB，即可求出BD． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=BD， 又∵∠AOB=60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴BO=AB=3， ∴BD=2BO=6． 19. 如图，有一矩形花坛，其长为30m、宽为20m，在其中修相互垂直的两条等宽小道，若剩余面积为，小道的宽为多少米？ 【答案】小道的宽为米 【解析】 【分析】构造方程即可求解． 【详解】解：设小道的宽为米， 得， 解得：，（舍去） 答：小道的宽为米． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴AE=AB，CF=CD， ∴AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形， 理由如下： 由（1）可得BE=DF， 又∵AB∥CD， ∴BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， 连接EF， 在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴DF∥AE，DF=AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴EF∥AD， ∵∠ADB是直角， ∴AD⊥BD， ∴EF⊥BD， 又∵四边形BFDE是平行四边形， ∴四边形BFDE是菱形． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF； （2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BEDF是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范围． （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根可得，可得关于m的不等式，求解即可； （2）利用根与系数的关系可得，，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， ∵， ∴， 解得：， ∵由（1）得， ∴舍去， ∴． 22. 商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． （1）求该商品销售量的月增长率； （2）该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 【答案】（1）该该商品销售量的月增长率为； （2）该商品的实际售价应定为66元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求得等量关系是解题的关键． （1）设该商品销售量的月增长率为x，可根据2月份到4月份销售量的月增长率相同，列方程，即可解答； （2）设该商品的实际售价为y元，可得销售数量为件，即可解答． 【小问1详解】 解：设该商品销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该该商品销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该商品的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， （不合题意，舍去）， 答：该商品的实际售价应定为66元. 23. 已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式表示的值， ， （2）求几秒后，的面积等于？ （3）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；； （2）2或3秒后的面积等于； （3）存在，当时，面积最大为． 【解析】 【分析】（1）根据点的移动速度表示出，然后根据线段的和差表示出即可； （2）根据（1）中用t的代数式表示出的和，结合三角形的面积公式即得关于t的方程，解方程即得结果； （3）根据三角形的面积公式可用t的代数式表示出，再利用配方法和非负数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：设经过t秒以后面积为6， 根据题意，得：， 整理得：， 解得或； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，，， ∴， ∴2或3秒后的面积等于； 【小问3详解】 解：存在； 由题意得：， ∵， ∴， ∴当时，面积最大为． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考考试试题 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 把等式，写成比例式，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，在边上适当选定一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上一点处，且的面积是，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 如图，边长为的正方形，对角线相交于点，点为边上一动点（不与点，点重合），交于点，点为中点．给出如下四个结论：①；②点在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点在运动过程中，当时，．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知，则________． 12. 如图，在矩形中，，，为上的一点，平分，则的长为______． 13. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为________． 14. 如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 15. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则一定等于________． 三、解答题（本题共9道大题，共90分） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6） 17. 如图，．求证：． 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长． 19. 如图，有一矩形花坛，其长为30m、宽为20m，在其中修相互垂直的两条等宽小道，若剩余面积为，小道的宽为多少米？ 20. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范围． （2）若，求m的值． 22. 商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． （1）求该商品销售量的月增长率； （2）该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 23. 已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式表示的值， ， （2）求几秒后，的面积等于？ （3）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $