精品解析：山东省济南市历下区燕山中学2025-2026学年上学期9月月考九年级数学试题

济南燕山中学九年级月考数学试题 一、单选题 1. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把化成，再代值计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴＝＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了代数式求值的有关计算，熟练掌握代数式求值的有关计算是解题的关键． 2. 下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个正五边形 B. 任意两个平行四边形 C. 任意两个菱形 D. 任意两个矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个正五边形对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意； B、任意两个平行四边形对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，故不一定相似，不符合题意， C、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似； D、任意两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似； 故选：A 【点睛】本题考查的是相似多边形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 3. 在一次班会活动中，男生、女生各派一个代表进行了一次摸球游戏，输方表演节目，游戏规则是：用布袋装进个珠子，其中两个红色，两个蓝色，除颜色外其余特征相同，若同时从此袋中任取两个珠子，那么摸到都是同色珠子的就获胜，则男生表演节目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法得出同时摸出两个球的所有颜色的情况，再根据概率公式解答． 【详解】解：根据列举法得： 颜色相同的情况共有4种，所有情况为12种， 根据概率公式，男生表演节目的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查了概利用树状图求概率，解题的关键是掌握：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ． 4. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. 如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，对顶角相等，由，，则，所以，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 8. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 【答案】A 【解析】 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 9. 如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C. 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质. 10. 如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.通过证明 ，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确； 由勾股定理可求. ，可以判断④错误； 分别求出、即可判断③，即可求解. 【详解】解：∵矩形和矩形，，， ， ， ， ， ，故①错误； 如图: 设与交于点， ， ， 又 ， ， ，故②正确； 如图，连接， ， ，， ， ，，， ， ，故④错误； 如图，过点作 于， 于， ， ∴四边形APGN是矩形， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是②③. 故选A 二、填空题 11. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，=，则=______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ， ∴==． 故答案为:． 12. 在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级___________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【解析】 【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由上图可知， 甲班优先选择场地的概率， 乙班优先选择场地的概率， 故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等， 这种选择场地的方法对两个班级公平． 【点睛】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键． 13. 如图，是的中线，于点C，，且，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 延长交的延长线于点F，证明，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 14. 如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________． 【答案】． 【解析】 【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键． 15. 如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格中，是格点三角形（三角形的三个顶点是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点P的坐标是 _____． 【答案】（1，4）或（3，4） 【解析】 【分析】运用相似三角形的判定及性质定理可知对应或，且相似比为，再根据图分别写出两个点P的坐标即可． 【详解】如图： 此时，对应或，且相似比为， ∴格点P的坐标是（1，4）或（3，4） 故答案为：（1，4）或（3，4） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 16. 如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 17. 如图，在中，，，，是边上一点，，过点的直线将分成两部分，使所分成的三角形与相似．若直线与另一边的交点为点，则的长为______． 【答案】2或或3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分三种情况讨论，即，，．由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：如图1，若，则． ． ． ． 如图2，若，则． ． ． 如图3，若，且， 则． ． ． ． 故答案为：2或或3 三、解答题 18. 为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______； （2）图中的度数是_______，并把图2条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______； （4）测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲乙的概率． 【答案】（1）人 （2）； 补全条形统计图如下： （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． （1）利用B级的人数除其所占百分比即可求解； （2）利用A级人数除总人数，得出其所占比例，再乘360°即得出的大小；利用C级的人数所占百分比乘抽样测试的总人数即可求出C级的人数，从而可补全统计图； （3）求出不及格的人数所占比例，再乘九年级学生总数即可求解； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 （人） ∴本次抽样测试的学生人数是40人， 故答案为：； 【小问2详解】 ． 故答案为：； C级的人数为（人） 【小问3详解】 （人） ∴估计不及格的人数为3600人， 故答案为：3600人； 【小问4详解】 根据题意列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 甲、乙 乙、丙 乙、丁 丙 甲、丙 乙、丙 丙、丁 丁 甲、丁 乙、丁 丙、丁 由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲乙的有2种， ∴选中甲乙的概率为． 19. 如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，利用余角的性质得到，即可证得； （2）根据矩形的性质得到，求出，利用相似三角形的性质得到，代入数值求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握各定理并进行推理论证是解题的关键． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动． （1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？ 【答案】（1）4秒；（2）或秒 【解析】 【分析】（1）分别表示出线段MC和线段CN的长后利用S△MCN=S△ABC列出方程求解； （2）设运动时间为t s，△MCN与△ABC相似，当△MCN与△ABC相似时，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的， 则有MC=2x，NC=8-x， ∴×2x（8-x）＝×8×10×， 解得x1=x2=4， 答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的； （2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似， ∵∠C＝∠C， ∴可分为两种情况： ①， 即， 解得t=； ②，即， 解得t＝． 答：经过或秒，△MCN与△ABC相似． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南燕山中学九年级月考数学试题 一、单选题 1. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个正五边形 B. 任意两个平行四边形 C. 任意两个菱形 D. 任意两个矩形 3. 在一次班会活动中，男生、女生各派一个代表进行了一次摸球游戏，输方表演节目，游戏规则是：用布袋装进个珠子，其中两个红色，两个蓝色，除颜色外其余特征相同，若同时从此袋中任取两个珠子，那么摸到都是同色珠子的就获胜，则男生表演节目的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. 如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 9. 如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，=，则=______． 12. 在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级___________（填“公平”或“不公平”）． 13. 如图，是的中线，于点C，，且，则的长为________． 14. 如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________． 15. 如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格中，是格点三角形（三角形的三个顶点是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点P的坐标是 _____． 16. 如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 17. 如图，在中，，，，是边上一点，，过点的直线将分成两部分，使所分成的三角形与相似．若直线与另一边的交点为点，则的长为______． 三、解答题 18. 为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______； （2）图中的度数是_______，并把图2条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______； （4）测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲乙的概率． 19. 如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． （1）求证：； （2）当时，求的长． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动． （1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $