第九讲最大公因数（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

基本概念 两个数共有的最大因数 连续除法 用余数逐步缩小范围 最大公因数 分解质因数 共同部分各取较小次数 应用与检验 平分、裁剪与相同余数 第九讲 最大公因数 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 列举和的公因数，求最大公因数。 解析：的约数为、、、、、；与共有的是、、、，最大为。 跟踪1 【模拟练习】 求与的最大公因数。 解析：，，没有共同质因数，所以最大公因数是。 例2 【模拟练习】 用分解质因数法求与的最大公因数。 解析：，。取共有部分。 跟踪2 【模拟练习】 求与的最大公因数。 解析：，，取共同部分得。 例3 【模拟练习】 用连续除法求与的最大公因数。 解析：，，。最后非零余数是。 跟踪3 【模拟练习】 求与的最大公因数。 解析：，，，，因此为。 例4 【模拟练习】 把支铅笔和块橡皮装成最多的相同礼包，全部用完。最多几包？每包各多少？ 解析：最大包数为。每包铅笔支、橡皮块。 跟踪4 【模拟练习】 把长厘米、宽厘米的长方形剪成边长为整数厘米的相同正方形，不剩余。每块边长最大多少？ 解析：边长必须同时整除与，最大公因数是，所以最大厘米。 例5 【模拟练习】 和除以同一个正整数时，都余。这个除数最大是多少？ 解析：先分别减去余数，得到和。除数必须是和的公因数，最大公因数是；而，余数符合条件，所以最大除数为。 跟踪5 【模拟练习】 两条丝带分别长厘米和厘米，剪成同样长的整段后各剩厘米。每段最长多少厘米？两条丝带分别剪出多少段？ 解析：剪出的整段总长分别是厘米和厘米。两数的最大公因数是，且剩余的厘米小于一段长度，因此每段最长厘米；分别剪出段和段。 分层训练 A组 基础巩固 1 【模拟练习】 判断与是否互质。 解析：，，最大公因数为，所以互质。 2 【模拟练习】 求与的最大公因数。 解析：，，所以为。 3 【模拟练习】 一个偶数能与互质吗？请说明理由。 解析：不能。偶数与都能被整除，所以它们至少有公因数，不是互质数。 B组 综合运用 4 【模拟练习】 求、、的最大公因数。 解析：前两个数最大公因数是；，所以三数最大公因数是。 5 【模拟练习】 长厘米、宽厘米的纸，裁成边长为整数厘米的相同正方形且无剩余，最少裁多少块？ 解析：正方形边长取最大公因数厘米，最少块数为。 6 【模拟练习】 不分解质因数，求与的最大公因数，并解释为什么可以先减去一个数。 解析：一个数同时整除和，就能整除差；反过来同时整除和，也能整除它们的和。所以最大公因数不变。再用余、余，得最大公因数为。 7 【模拟练习】 已知是正整数。和的最大公因数是多少？ 解析：是两数的公因数。去掉共同的后，与互质，没有更大的共同部分，因此最大公因数是。 C组 挑战思考 8 【模拟练习】 两个数分别是和，其中、是互质正整数。最大公因数是多少？ 解析：两数都有因数，提出这个共同部分后，与没有大于的共同因数，所以最大公因数恰为。 9 【模拟练习】 两个正整数的和是，最大公因数是。求这两个数的所有可能情况，不计顺序。 解析：两个数分别是的若干倍；把它们都除以，得到两个互质正整数，和为。不计顺序的正整数对为、、，只有互质。因此原数是和。 真题拓展 真题1 【2024年华数国际线上数学选拔赛小高组填空题第1题，改写】大于小于、分母是的最简分数共有多少个？ 解析：分子在至之间，且与互质。先保留个奇数，再排除其中的倍数，剩个。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九讲 最大公因数 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 活动课有支铅笔、块橡皮，要装成若干相同礼包，每种都恰好分完。装包可以，装包也可以，最多能装多少包？包数必须同时整除两个总数，这就是公因数的应用。 图示 共有 分割示意：长厘米、宽厘米，每小格边长厘米。 知识梳理 几个整数共有的约数叫公因数，其中最大的叫最大公因数。两个数最大公因数为时，称这两个数互质。 分解质因数后，只保留两数共有的质因数；每个共有质因数取较少的个数。 大数除以小数，不断用前一除数除以前一余数，直到余数为零；最后一次除法的除数就是最大公因数。 平均分成相同小组且每种都无剩余时，最大组数是各总数的最大公因数；每组数量还需分别用除法求。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 列举和的公因数，求最大公因数。 跟踪1 【模拟练习】 求与的最大公因数。 例2 【模拟练习】 用分解质因数法求与的最大公因数。 跟踪2 【模拟练习】 求与的最大公因数。 例3 【模拟练习】 用连续除法求与的最大公因数。 跟踪3 【模拟练习】 求与的最大公因数。 例4 【模拟练习】 把支铅笔和块橡皮装成最多的相同礼包，全部用完。最多几包？每包各多少？ 跟踪4 【模拟练习】 把长厘米、宽厘米的长方形剪成边长为整数厘米的相同正方形，不剩余。每块边长最大多少？ 例5 【模拟练习】 和除以同一个正整数时，都余。这个除数最大是多少？ 跟踪5 【模拟练习】 两条丝带分别长厘米和厘米，剪成同样长的整段后各剩厘米。每段最长多少厘米？两条丝带分别剪出多少段？ 分层训练 A组 基础巩固 1 【模拟练习】 判断与是否互质。 2 【模拟练习】 求与的最大公因数。 3 【模拟练习】 一个偶数能与互质吗？请说明理由。 B组 综合运用 4 【模拟练习】 求、、的最大公因数。 5 【模拟练习】 长厘米、宽厘米的纸，裁成边长为整数厘米的相同正方形且无剩余，最少裁多少块？ 6 【模拟练习】 不分解质因数，求与的最大公因数，并解释为什么可以先减去一个数。 7 【模拟练习】 已知是正整数。和的最大公因数是多少？ C组 挑战思考 8 【模拟练习】 两个数分别是和，其中、是互质正整数。最大公因数是多少？ 9 【模拟练习】 两个正整数的和是，最大公因数是。求这两个数的所有可能情况，不计顺序。 真题拓展 真题1 【2024年华数国际线上数学选拔赛小高组填空题第1题，改写】大于小于、分母是的最简分数共有多少个？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $