第七讲 质数与合数（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

第七讲 质数与合数 原卷版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 相同的正方形卡片要排成完整的长方形，每行张数和行数都是整数，旋转后视为同一种排法。拿 张时，只有 行 张这一种排法；拿 张时，还能排成 行 张或 行 张。排法对应的乘数，就是卡片总数的因数。 知识梳理 大于 的整数中，只有 和它本身两个正因数的叫质数；有两个以上正因数的叫合数。 既不是质数，也不是合数； 也不属于这两类。 是唯一的偶质数。大于 的偶数都有因数 ，都是合数；奇数不一定是质数，例如 。 判断一个数是否为质数，先尝试用较小的质数整除。如果找到了除 和它本身以外的因数，它是合数。因数成对出现时，可以先找到一个整数，让它与自身的积大于被判断的数；如果原数是合数，那么它的一对因数中，较小的因数一定比这个整数小。 方法工具箱 一 分解质因数：把合数写成几个质数相乘的形式，每一步的积都要等于原数。出现合数因数时继续拆分，最后相乘检验。 二 成对找因数：从 开始按较小因数有序尝试。两个因数相同只记一次；长方形排法如果规定旋转视为相同，交换长宽只算一种。 三 借助奇偶：除 以外的质数都是奇数。两个质数的和或差是奇数时，先考虑其中一个是否为 ，再核实另一个数是否为质数。 四 分类与枚举：先明确范围、是否允许重复以及是否计顺序，再按从小到大逐一检查。写出排除理由，保证不重不漏。 五 因数个数：质数的平方恰有三个正因数；反过来，恰有三个正因数的数也是质数的平方。两个不同质数的积、同一个质数连乘三次，恰有四个正因数。 易错辨析 误说：所有奇数都是质数。辨析： 是奇数，但有 、、 三个正因数，是合数。 误说：把 写成 ，就是分解质因数。辨析： 和 都是合数，需要继续分解为 。 误说：找到了两个质数的和或一个因数对就结束。辨析：题目要求所有可能时，要按范围有序检查，并排除重复。 例题与跟踪练习 例1 【分类与边界】 把 、、、 分成质数、合数和既不是质数也不是合数三类。 跟踪1 【分类与边界】 把 、、、 分成质数、合数和既不是质数也不是合数三类。 例2 【试除判断】 判断 和 是质数还是合数，并说明理由。 跟踪2 【试除判断】 判断 和 是质数还是合数，并说明理由。 例3 【分解质因数】 把 分解质因数，并解释为什么 还没有完成。 跟踪3 【分解质因数】 把 分解质因数，并用乘法检验。 例4 【奇偶推理】 两个质数的和是 ，求这两个质数。 跟踪4 【条件判断】 两个质数的和是 ，有这样的两个质数吗？ 例5 【有序枚举】 两个不同质数的和是 ，写出所有组合，不计顺序。 跟踪5 【有序枚举】 两个不同质数的和是 ，写出所有组合，不计顺序。 例6 【因数个数】 一个数恰有三个正因数，其中一个因数是 ，这个数是多少？ 跟踪6 【因数个数】 找出小于 且恰有三个正因数的所有正整数。 例7 【阵列与因数】 用 块相同的正方形拼成没有空缺的长方形，长和宽均为整块数，旋转视为同一种。共有几种排法？ 跟踪7 【阵列与因数】 用 块相同的正方形按上题规则拼长方形。长和宽不同的排法共有几种？ 例8 【因数表】 列出 的全部正因数，并求正因数个数。 跟踪8 【因数表】 列出 的全部正因数，并求正因数个数。 分层训练 A组 基础巩固 1 填空：最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇合数是（ ）。 2 在 到 之间（不含端点）找出全部质数。 3 判断：“所有奇数都是质数。”如果不对，给出一个反例。 4 单选：下列各数中恰有两个正因数的是哪一个？ A. 　B. 　C. 　D. 5 把 分解质因数。 6 写出 的全部正因数，并数一数有几个。 B组 综合运用 7 用数字卡片 、、 各一次组成三位数。哪些组成的数一定是合数？说明理由。 8 一个两位质数，十位数字与个位数字的和是 。写出所有可能。 9 一个合数的最小质因数是 ，另一个质因数是 ，且只含这两个不同的质因数。这个数最小是多少？ 10 有 张卡片，每袋装同样多且全部装完。袋数和每袋张数都大于 ，袋数是质数。袋数可能是多少？ 11 两个不同质数的积是 ，求这两个质数。 12 某个数的质因数分解写成 。它能否被 整除？能否被 整除？说明理由。 C组 挑战思考 13 两个不同质数的和是 ，写出所有不计顺序的组合。 14 连续三个大于 的整数中，能否有三个质数？说明理由。 15 一个数恰有三个正因数，且在 到 之间。求这个数。 16 找出小于 且恰有四个正因数的所有正整数。 17 两个质数的差是 ，求所有可能的质数组合。 18 有三个质数，它们的和是 ，且互不相同。找出所有不计顺序的组合。 综合探究 探究1 小组设计一个“质数口令”：选一个两位数，把十位数字与个位数字交换，两个数都必须是质数。请写出所有满足条件、十位数字小于个位数字的口令，并说明找全的方法。 探究2 一组相同小方块不超过 块，排成长方形时，旋转视为同一种。恰有三种不同排法，而且其中一种是正方形。求所有可能的方块总数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 质数与合数 解析版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 相同的正方形卡片要排成完整的长方形，每行张数和行数都是整数，旋转后视为同一种排法。拿 张时，只有 行 张这一种排法；拿 张时，还能排成 行 张或 行 张。排法对应的乘数，就是卡片总数的因数。 知识梳理 大于 的整数中，只有 和它本身两个正因数的叫质数；有两个以上正因数的叫合数。 既不是质数，也不是合数； 也不属于这两类。 是唯一的偶质数。大于 的偶数都有因数 ，都是合数；奇数不一定是质数，例如 。 判断一个数是否为质数，先尝试用较小的质数整除。如果找到了除 和它本身以外的因数，它是合数。因数成对出现时，可以先找到一个整数，让它与自身的积大于被判断的数；如果原数是合数，那么它的一对因数中，较小的因数一定比这个整数小。 方法工具箱 一 分解质因数：把合数写成几个质数相乘的形式，每一步的积都要等于原数。出现合数因数时继续拆分，最后相乘检验。 二 成对找因数：从 开始按较小因数有序尝试。两个因数相同只记一次；长方形排法如果规定旋转视为相同，交换长宽只算一种。 三 借助奇偶：除 以外的质数都是奇数。两个质数的和或差是奇数时，先考虑其中一个是否为 ，再核实另一个数是否为质数。 四 分类与枚举：先明确范围、是否允许重复以及是否计顺序，再按从小到大逐一检查。写出排除理由，保证不重不漏。 五 因数个数：质数的平方恰有三个正因数；反过来，恰有三个正因数的数也是质数的平方。两个不同质数的积、同一个质数连乘三次，恰有四个正因数。 易错辨析 误说：所有奇数都是质数。辨析： 是奇数，但有 、、 三个正因数，是合数。 误说：把 写成 ，就是分解质因数。辨析： 和 都是合数，需要继续分解为 。 误说：找到了两个质数的和或一个因数对就结束。辨析：题目要求所有可能时，要按范围有序检查，并排除重复。 例题与跟踪练习 例1 【分类与边界】 把 、、、 分成质数、合数和既不是质数也不是合数三类。 【答案】质数：、；合数：；两类都不是：。 【解析】 和 各只有两个正因数； 可写成 ； 只有一个正因数。 跟踪1 【分类与边界】 把 、、、 分成质数、合数和既不是质数也不是合数三类。 【答案】质数：、；合数：；两类都不是：。 【解析】、 都只有两个正因数； 有因数 ； 不属于大于 的整数，因此两类都不是。 例2 【试除判断】 判断 和 是质数还是合数，并说明理由。 【答案】 是合数， 是质数。 【解析】。 不能被 、、、 整除； 大于 ，若 是合数，除 和自身外的一对因数中较小的一个必小于 ，所以 是质数。 跟踪2 【试除判断】 判断 和 是质数还是合数，并说明理由。 【答案】 是合数， 是质数。 【解析】。 不能被 、、、 整除； 大于 ，所以无需再试更大的因数。 例3 【分解质因数】 把 分解质因数，并解释为什么 还没有完成。 【答案】。 【解析】，而 。 是合数，必须继续分解，直到每个因数都是质数。 跟踪3 【分解质因数】 把 分解质因数，并用乘法检验。 【答案】。 【解析】，最后四个因数都是质数；反过来相乘得 。 例4 【奇偶推理】 两个质数的和是 ，求这两个质数。 【答案】 和 。 【解析】和为奇数，两数一奇一偶；唯一的偶质数是 ，另一个是 ， 是质数。 跟踪4 【条件判断】 两个质数的和是 ，有这样的两个质数吗？ 【答案】没有。 【解析】和为奇数，则其中一个是 ，另一个应是 ；，是合数，因此不存在。 例5 【有序枚举】 两个不同质数的和是 ，写出所有组合，不计顺序。 【答案】 和 ； 和 。 【解析】按较小的质数枚举： 对应 ， 对应 ，都不符合； 对应 ， 对应 ， 对应 ， 对应 ；较小数不超过 ，已找全。 跟踪5 【有序枚举】 两个不同质数的和是 ，写出所有组合，不计顺序。 【答案】 和 ； 和 ； 和 ； 和 。 【解析】按不超过 的质数 、、、、、、 依次检验，对应数为 、、、、、、，符合的有四组。 例6 【因数个数】 一个数恰有三个正因数，其中一个因数是 ，这个数是多少？ 【答案】。 【解析】若 是该数本身，它只有 和 两个因数，排除；故 是中间因数。若配对因数不是 ，则至少有 、、配对因数和原数四个不同因数；所以这个数是 。 跟踪6 【因数个数】 找出小于 且恰有三个正因数的所有正整数。 【答案】、、、。 【解析】恰有三个正因数的数只能是质数的平方：除 和本身外只有一个因数，该因数与自身配对，且必须是质数。小于 的相应平方为 、、、。 例7 【阵列与因数】 用 块相同的正方形拼成没有空缺的长方形，长和宽均为整块数，旋转视为同一种。共有几种排法？ 【答案】 种。 【解析】按较短边枚举因数对：、、、，共四种。之后因数对只是调换方向。 跟踪7 【阵列与因数】 用 块相同的正方形按上题规则拼长方形。长和宽不同的排法共有几种？ 【答案】 种。 【解析】因数对为 、、、、。排除长宽相等的 ，剩四种。 例8 【因数表】 列出 的全部正因数，并求正因数个数。 【答案】、、、、、、、、、、、，共 个。 【解析】由小到大配对： 和 、 和 、 和 、 和 、 和 、 和 。较小因数已超过 后，后面的配对重复。 跟踪8 【因数表】 列出 的全部正因数，并求正因数个数。 【答案】、、、、、，共 个。 【解析】因数对是 和 、 和 、 和 ，共三对，没有重复，所以有六个。 分层训练 A组 基础巩固 1 填空：最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇合数是（ ）。 【答案】；；。 【解析】 有两个正因数； 有 、、 三个正因数；小于 且大于 的奇数 、、 都是质数。 2 在 到 之间（不含端点）找出全部质数。 【答案】、、、。 【解析】依次检查 至 ；偶数中没有质数，、、、、 等均有除 和本身外的因数。 3 判断：“所有奇数都是质数。”如果不对，给出一个反例。 【答案】不对，例如 。 【解析】 是奇数，但 ，有 、、 三个正因数，是合数。 4 单选：下列各数中恰有两个正因数的是哪一个？ A. 　B. 　C. 　D. 【答案】C。 【解析】 只有一个正因数；，； 只有 和 两个正因数。 5 把 分解质因数。 【答案】。 【解析】，再把 分成 ，把 分成 ，所得因数全是质数。 6 写出 的全部正因数，并数一数有几个。 【答案】、、、、、、、，共 个。 【解析】按因数对列出： 和 、 和 、 和 、 和 。 B组 综合运用 7 用数字卡片 、、 各一次组成三位数。哪些组成的数一定是合数？说明理由。 【答案】全部 个数都是合数。 【解析】任意排列的各位数字和都是 ，均能被 整除；它们都是三位数，大于 ，因此都是合数。 8 一个两位质数，十位数字与个位数字的和是 。写出所有可能。 【答案】为 和 。 【解析】候选两位数为 、、、、、、；去掉偶数和 ，检验 、 均为质数。 9 一个合数的最小质因数是 ，另一个质因数是 ，且只含这两个不同的质因数。这个数最小是多少？ 【答案】。 【解析】要含 和 ，至少是 ； 符合所有条件。 10 有 张卡片，每袋装同样多且全部装完。袋数和每袋张数都大于 ，袋数是质数。袋数可能是多少？ 【答案】、 或 。 【解析】，质数袋数必须是 的质因数。分别每袋装 、、 张，都符合。 11 两个不同质数的积是 ，求这两个质数。 【答案】 和 。 【解析】， 和 均为质数。 12 某个数的质因数分解写成 。它能否被 整除？能否被 整除？说明理由。 【答案】能被 整除，不能被 整除。 【解析】，原数的乘积中包含这些因数；，而原数只有一个因数 ，原数是 ，不能被 整除。 C组 挑战思考 13 两个不同质数的和是 ，写出所有不计顺序的组合。 【答案】 和 ； 和 ； 和 ； 和 。 【解析】较小质数不超过 ，依次检验 、、、、、、、、；对应 、、、、、、、、，符合的有四组。 14 连续三个大于 的整数中，能否有三个质数？说明理由。 【答案】不能。 【解析】三个连续整数中至少有一个偶数。如果这个偶数大于 ，它是合数；如果它是 ，三个大于 的连续整数只能从 开始，其中 是合数。 15 一个数恰有三个正因数，且在 到 之间。求这个数。 【答案】。 【解析】恰有三个正因数的数是质数的平方。，；中间的整数为 、，而 是合数；， 是质数，符合。 16 找出小于 且恰有四个正因数的所有正整数。 【答案】、、、、、、、、、、、、、。 【解析】恰有四个因数的数有两类：两个不同质数的积，或同一质数连乘三次。前一类按较小质数逐一枚举；后一类小于 的有 和 。合并后如答案所示。 17 两个质数的差是 ，求所有可能的质数组合。 【答案】 和 。 【解析】差为奇数，两数一奇一偶；偶质数只能是 ，较大的数是 ，符合条件。 18 有三个质数，它们的和是 ，且互不相同。找出所有不计顺序的组合。 【答案】、、；、、。 【解析】三个奇数的和为奇数，而 是偶数，所以必须有 。其余两个不同质数的和是 ，由小到大枚举，得到 和 、 和 。 综合探究 探究1 小组设计一个“质数口令”：选一个两位数，把十位数字与个位数字交换，两个数都必须是质数。请写出所有满足条件、十位数字小于个位数字的口令，并说明找全的方法。 【答案】、、、。 【解析】两位质数的个位只能是 、、、；交换后仍为两位质数，因此十位也只能从这四个数字中选。按十位小于个位枚举 、、、、、；其中 交换得 ， 本身是合数，其余交换后均为质数。 探究2 一组相同小方块不超过 块，排成长方形时，旋转视为同一种。恰有三种不同排法，而且其中一种是正方形。求所有可能的方块总数。 【答案】。 【解析】正方形的一对因数相同，其余因数成不同的配对。恰有三种排法时，正因数共 个。 可逐一检查不超过 的平方数：、、、、、、；其中 的因数对为 、、， 的因数对为 、、、、，共五种，故 不符合。因此只有 符合。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $