专题 29.2.2 圆心角同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题 29.2.2 圆心角同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标 1 学习重点 1 学习难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】圆的旋转（中心）对称性 2 【知识点二】圆心角的定义 2 【知识点三】同圆或等圆中圆心角、弧、弦关系定理 2 【知识点四】同圆或等圆中圆心角、弧、弦推论拓展 2 三、题型精析【夯实基础】 3 【题型1】圆心角概念辨析 3 【题型2】圆心角‑弧‑弦等量关系基础运算 4 【题型3】基础几何证明 5 四、题型精析（综合提升） 6 【题型1】利用等弧求圆心角度数计算 6 【题型2】弦、弦心距综合证明 7 【题型3】结合半径（弧）中点条件全等证明求值 9 五、 中考链接 10 一.学习目标重难点 学习目标 1. 理解圆的旋转对称性、中心对称性，精准掌握圆心角的定义，能快速识别圆心角，区分圆心角与圆周角。 2. 熟练掌握同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的等量关系定理及推论，牢记定理使用的核心前提条件。 3. 能够运用定理完成角度计算、线段相等、弧相等的几何证明，规范书写几何解题步骤。 4. 结合垂径定理、全等三角形知识，解决圆心角相关综合几何题型，适配基础及中档中考题型。 学习重点 圆心角的定义；同圆或等圆中圆心角、弧、弦的互推关系定理。 学习难点 定理“同圆或等圆”前提的灵活运用；区分弧相等与弧度数相等的差异；综合题型的逻辑推理与步骤书写。 二.知识梳理与解读 【知识点一】圆的旋转（中心）对称性 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。同时圆具备旋转不变性：将圆绕圆心旋转任意角度，旋转后的图形都能与原圆完全重合。圆心角、弧、弦的等量关系定理，正是基于圆的旋转不变性推导得出。 ⚠️ 易错警示：圆的中心对称特指旋转180°重合，而旋转不变性是旋转任意角度均可重合，二者概念不同，不可混淆。 【知识点二】圆心角的定义 顶点在圆心，两边均为圆的半径、且与圆相交的角，叫做圆心角。几何标准表示：如，顶点为圆心，为圆的半径。 ⚠️ 易错警示：圆心角判定唯一标准：顶点必须在圆心。顶点在圆上、圆内（非圆心）、圆外的角，均不是圆心角。 【知识点三】同圆或等圆中圆心角、弧、弦关系定理 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 几何标准表述：在中，若，则，。 ⚠️ 易错警示：定理必须满足同圆或等圆前提，若两个圆大小不等，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，此为高频易错点。 【知识点四】同圆或等圆中圆心角、弧、弦推论拓展 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中，知一推二：任意一组量相等，其余两组对应量全部相等。 1. 弦相等对应圆心角相等、对应弧相等； 2. 弧相等对应圆心角相等、对应弦相等； 3. 圆心角相等对应弦相等、对应弧相等。 ⚠️ 易错警示：弧相等，弧的度数一定相等；但弧的度数相等，弧不一定相等（不同大小的圆，等度数弧长度不同）。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】圆心角概念辨析 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级下·山东·课后作业）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 解题归纳：判定圆心角核心：顶点在圆心；运用定理必须优先验证“同圆或等圆”前提，无前提则定理不成立。 易错纠正：忽略定理前提条件；混淆圆心角与圆周角的概念，判断失误。 【题型2】圆心角‑弧‑弦等量关系基础运算 【例题2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点在上，D是的中点，若，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·广东·阶段检测）如图，是的直径，，交于点E，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，，，则的度数是______°．    【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 解题归纳：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量可双向互推，一组相等则三组对应相等，是本节基础核心考点。 易错纠正：未区分圆的大小，直接对不同圆套用等量关系定理，导致结论错误。 【题型3】基础几何证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，AB，CD是的两条弦． （1）如果，那么________，________． （2）如果，那么________，________． （3）如果，那么________，________． 【变式3】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： （1）； （2）． 解题归纳：弧、弦、圆心角可灵活转化，几何证明需严格书写定理依据，明确“同圆或等圆”前提。 易错纠正：证明过程跳步，缺失定理前提说明，逻辑不严谨，扣分严重。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】利用等弧求圆心角度数计算 【例题1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的两条直径，E为上一点，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【变式3】（2026·河北邯郸·三模）某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带，（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段，且交于点E，交于点G，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 解题归纳：等弧对等圆心角，结合圆周360°、直径平角180°，通过角度和差、比例分配求解圆心角度数。 易错纠正：无法利用弧的比例分配角度，忽略直径对应的平角关系，导致计算错误。 【题型2】弦、弦心距综合证明 【例题2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【变式2】（25-26九年级上·江苏·期中）如图，中，，截三条边所得弦长相等，则________． 【变式3】（2026·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 解题归纳：结合垂径定理与圆心角、弧、弦定理，通过三角形全等可证明弦心距相等，实现知识点综合运用。 易错纠正：直接得出弦心距相等结论，无定理、全等推导过程，证明步骤不完整。 【题型3】结合半径（弧）中点条件全等证明求值 【例题3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【变式1】（2026·广东广州·二模）如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃陇南·一模）如图，为的直径，C、D为上位于直径异侧的两点，C是弧的中点，连接、，交于点P，若，则的度数为______． 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，点在以为直径的半上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：四边形是菱形． 解题归纳：弧相等推导圆心角相等，结合同圆半径相等、线段中点性质，通过SAS证明三角形全等，证得线段相等。 易错纠正：默认中点线段相等，未书写“同圆半径相等、中点定义”等依据，逻辑不严谨。 5、 中考链接 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 2．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 4．（2026·宁夏银川·二模）如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 三、解答题 5．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图形中，连接，求证：． 6．（2026·甘肃兰州·中考真题）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． （1）问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． （2）拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.2.2 圆心角同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标 1 学习重点 1 学习难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】圆的旋转（中心）对称性 2 【知识点二】圆心角的定义 2 【知识点三】同圆或等圆中圆心角、弧、弦关系定理 2 【知识点四】同圆或等圆中圆心角、弧、弦推论拓展 2 三、题型精析【夯实基础】 3 【题型1】圆心角概念辨析 3 【题型2】圆心角‑弧‑弦等量关系基础运算 4 【题型3】基础几何证明 8 四、题型精析（综合提升） 10 【题型1】利用等弧求圆心角度数计算 10 【题型2】弦、弦心距综合证明 14 【题型3】结合半径（弧）中点条件全等证明求值 18 五、 中考链接 23 一.学习目标重难点 学习目标 1. 理解圆的旋转对称性、中心对称性，精准掌握圆心角的定义，能快速识别圆心角，区分圆心角与圆周角。 2. 熟练掌握同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的等量关系定理及推论，牢记定理使用的核心前提条件。 3. 能够运用定理完成角度计算、线段相等、弧相等的几何证明，规范书写几何解题步骤。 4. 结合垂径定理、全等三角形知识，解决圆心角相关综合几何题型，适配基础及中档中考题型。 学习重点 圆心角的定义；同圆或等圆中圆心角、弧、弦的互推关系定理。 学习难点 定理“同圆或等圆”前提的灵活运用；区分弧相等与弧度数相等的差异；综合题型的逻辑推理与步骤书写。 二.知识梳理与解读 【知识点一】圆的旋转（中心）对称性 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。同时圆具备旋转不变性：将圆绕圆心旋转任意角度，旋转后的图形都能与原圆完全重合。圆心角、弧、弦的等量关系定理，正是基于圆的旋转不变性推导得出。 ⚠️ 易错警示：圆的中心对称特指旋转180°重合，而旋转不变性是旋转任意角度均可重合，二者概念不同，不可混淆。 【知识点二】圆心角的定义 顶点在圆心，两边均为圆的半径、且与圆相交的角，叫做圆心角。几何标准表示：如，顶点为圆心，为圆的半径。 ⚠️ 易错警示：圆心角判定唯一标准：顶点必须在圆心。顶点在圆上、圆内（非圆心）、圆外的角，均不是圆心角。 【知识点三】同圆或等圆中圆心角、弧、弦关系定理 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 几何标准表述：在中，若，则，。 ⚠️ 易错警示：定理必须满足同圆或等圆前提，若两个圆大小不等，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，此为高频易错点。 【知识点四】同圆或等圆中圆心角、弧、弦推论拓展 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中，知一推二：任意一组量相等，其余两组对应量全部相等。 1. 弦相等对应圆心角相等、对应弧相等； 2. 弧相等对应圆心角相等、对应弦相等； 3. 圆心角相等对应弦相等、对应弧相等。 ⚠️ 易错警示：弧相等，弧的度数一定相等；但弧的度数相等，弧不一定相等（不同大小的圆，等度数弧长度不同）。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】圆心角概念辨析 【例题1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 【变式2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 解：图中是圆心角 故选：A． 【变式3】（25-26六年级下·山东·课后作业）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 解题归纳：判定圆心角核心：顶点在圆心；运用定理必须优先验证“同圆或等圆”前提，无前提则定理不成立。 易错纠正：忽略定理前提条件；混淆圆心角与圆周角的概念，判断失误。 【题型2】圆心角‑弧‑弦等量关系基础运算 【例题2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点在上，D是的中点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接，求出，再利用圆周角定理可得结论． 解：如图，连接， 是的中点， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·广东·阶段检测）如图，是的直径，，交于点E，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理的推论和勾股定理的知识，根据垂径定理的推论可知垂直平分，再根据勾股定理计算长度即可． 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴垂直平分， ∴， 由勾股定理可知， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，，，则的度数是______°．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键． 解：， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）根据垂径定理得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长； 2.利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出，然后利用得到． （1）解：∵， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 解题归纳：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量可双向互推，一组相等则三组对应相等，是本节基础核心考点。 易错纠正：未区分圆的大小，直接对不同圆套用等量关系定理，导致结论错误。 【题型3】基础几何证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 【答案】证明：是的中点， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了同圆中弧、弦的关系，掌握在同圆中等弦对等弧，等弧对等弦是解题的关键． 首先由是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 解：在中，， ，故①正确； 为公共弧， ， ，，故②③④正确． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，AB，CD是的两条弦． （1）如果，那么________，________． （2）如果，那么________，________． （3）如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．再将文字语言转化成符号语言即可． 解：（1）如果，那么，； 故答案为：，； （2）如果，那么，； 故答案为：，； （3）如果，那么，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 解：（1）略 （2）略 解题归纳：弧、弦、圆心角可灵活转化，几何证明需严格书写定理依据，明确“同圆或等圆”前提。 易错纠正：证明过程跳步，缺失定理前提说明，逻辑不严谨，扣分严重。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】利用等弧求圆心角度数计算 【例题1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． （1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的两条直径，E为上一点，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，进而求出的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求解． 解：连接，如图所示： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2026·河北邯郸·三模）某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带，（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段，且交于点E，交于点G，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：如图（1），连接． ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，设的半径为，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 解：（1）略 （2）解：如图（2），连接，设的半径为． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得， 故的半径为． 解题归纳：等弧对等圆心角，结合圆周360°、直径平角180°，通过角度和差、比例分配求解圆心角度数。 易错纠正：无法利用弧的比例分配角度，忽略直径对应的平角关系，导致计算错误。 【题型2】弦、弦心距综合证明 【例题2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 解：略 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏·期中）如图，中，，截三条边所得弦长相等，则________． 【答案】/110度 【分析】如图所示，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得，再根据角平分线的判定定理得，然后根据三角内角和定理求得答案． 解：过点分别作，垂足分别是，记：，如图所示， 截三条边所得弦长相等， 点到三角形三条边的距离相等即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的相关定理、角平分线的判定定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理和三角形的内角和定理等定理是解答此题的关键． 【变式3】（2026·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵直径于P， ∴， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2） 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证； （2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 解：（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴． 解题归纳：结合垂径定理与圆心角、弧、弦定理，通过三角形全等可证明弦心距相等，实现知识点综合运用。 易错纠正：直接得出弦心距相等结论，无定理、全等推导过程，证明步骤不完整。 【题型3】结合半径（弧）中点条件全等证明求值 【例题3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 解：（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 【变式1】（2026·广东广州·二模）如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，根据弦、弧、圆心角的关系得出和为等边三角形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出、的长，利用菱形的面积公式即可求解． 解：如图，连接，交于点， ∵为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·甘肃陇南·一模）如图，为的直径，C、D为上位于直径异侧的两点，C是弧的中点，连接、，交于点P，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接、，根据弧相等，得到圆心角，利用圆周角定理得出，根据等边对等角可得，最后利用三角形外角的性质求解即可． 解：如图，连接、， 为的直径，C是弧的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，点在以为直径的半上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）解：如图，作垂直平分线交于点，则即为所求； （2）证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（）作垂直平分线交于点，则即为所求； （）连接，，证明是等边三角形，则有，由作图可知，所以，故有，从而可证是等边三角形，得，然后通过菱形的判定方法即可求证． 解：（1）略 （2）略 解题归纳：弧相等推导圆心角相等，结合同圆半径相等、线段中点性质，通过SAS证明三角形全等，证得线段相等。 易错纠正：默认中点线段相等，未书写“同圆半径相等、中点定义”等依据，逻辑不严谨。 5、 中考链接 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 2．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 解：如图，作于，作于， 平分 在与中 二、填空题 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·宁夏银川·二模）如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 三、解答题 5．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图形中，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】1）作交于点，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，进而得出，即可证明． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 6．（2026·甘肃兰州·中考真题）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． （1）问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． （2）拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【答案】（1）①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：，得到的圆心角，在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧，故点，，，将四等分． （2）圆周八等分如图所示： 【分析】（1）①过点O作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，此时，得到的圆心角， 根据相等的圆心角所对的弧相等，即可证明四等分． （2）根据（1）的解题思路，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要分别作第一问中四个圆心角的角平分线，形成八个相等的圆心角，得到八段相等的圆弧，即可使圆八等分．具体作法：分别以点B，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接，交于点F，同理，分别以点A，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点H，再分别以点B，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点G，最后分别以点A，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点E，此时，八个圆心角大小相等，得到八段相等的圆弧，即完成八等分． 解：（1）略． （2）略． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $