29.2.3圆周角 第1课时 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.2.2 圆心角 教学设计 （2026—2027学年 人教版义务教育教科书·数学 九年级上册） 课题名称 29.2.3 圆周角（第1课时） 课型 新授课 教学资源 多媒体课件、圆规、直尺、圆形纸片 教学内容解析 内 容 圆周角的概念：顶点在圆上，两边都与圆相交的角；圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 内容解析 本节是圆这一章的核心定理之一，它揭示了圆周角与圆心角之间的倍分关系，是后续研究圆与三角形、四边形综合问题的重要工具。圆周角定理的证明需要分三种情况讨论（圆心在角的一边上、内部、外部），体现了分类讨论的数学思想。 目标与目标解析 单元整体目标 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求： ① 理解圆周角的概念； ② 探索并证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③ 掌握圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆所对的圆周角是直角。 课时目标（核心素养导向） 1.（数学抽象）理解圆周角的概念：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 2.（逻辑推理）经历“观察—猜想—证明—分类讨论”的过程，探索并证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；体会分类讨论和化归思想。 3.（几何直观）掌握推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角。 4.（数学运算）能运用圆周角定理及其推论进行简单的角度计算与证明。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能在图中识别圆周角，指出两个特征——顶点在圆上、两边都与圆相交。 达成目标2的标志：学生能说出定理内容，能借助特殊情况（圆心在一边上）证明，并将另两种情况化归为特殊情况。 达成目标3的标志：学生能由直径推出所对圆周角为90°，由90°圆周角推出所对弦为直径。 达成目标4的标志：学生能在具体图形中求圆周角、圆心角的度数。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了圆的有关概念、圆心角定理、等腰三角形的性质与三角形外角性质，具备一定的观察、猜想和推理能力。 困惑点或探索点 ① 圆周角与圆心角的区别（顶点位置）容易混淆；② 定理证明需要分三种情况讨论，学生首次接触完全归纳法；③ 第二种、第三种情况如何化归为第一种情况是难点。 教学重难点 教学重点 ① 圆周角的概念； ② 圆周角定理及其推论。 教学难点 圆周角定理的证明——分三种情况讨论，以及后两种情况化归为第一种情况。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：圆周角定理建立了圆周角与圆心角之间的倍分关系，是圆中角度计算与证明的核心依据，也是后续学习圆内接四边形、点与圆位置关系的基础。 学什么：圆周角概念；圆周角定理；同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角是直角。 怎么学：采用“度量猜想—分类证明—化归一般—推论应用”的探究路径。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 环节一 复习导入 认识圆周角 （约5分钟） 【圆周角】 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。如图，∠BAC是圆周角，顶点A在圆上，两边AB、AC分别与圆交于B、C。 对比：圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上，两边都与圆相交。 判断：图中哪些角是圆周角？（两个条件缺一不可：顶点在圆上；两边都与圆相交） 师：展示图形，引导学生对比圆心角。 生：识别圆周角，指出顶点位置和两边特征。 学生能否说出圆周角的两个特征。 与圆心角对比建立圆周角概念，发展数学抽象。 环节二 探究定理 圆周角定理 （约18分钟） 【度量猜想】 如图，画出所对弧上的一个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，量一量它们的度数，你有什么发现？ 猜想：∠BAC = ∠BOC。 【证明——分三种情况】 情况1（圆心O在∠BAC的一边AB上）： ∵OA=OC，∴∠A=∠C（等边对等角）。 又∠BOC=∠A+∠C（三角形外角等于不相邻两内角和）， ∴∠BOC=2∠A，即∠A=∠BOC。 情况2、3（圆心在角的内部、外部）：作直径AD，化归为情况1的和或差即可证得。 【定理】 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 符号语言：∵∠BAC与∠BOC都对，∴∠BAC=∠BOC。 师：引导学生度量、猜想。 生：度量后发现∠BAC是∠BOC的一半。 师：示范情况1的证明。 生：体会为什么要分三种情况，后两种如何化归。 学生能否说出定理内容；能否理解三种情况和化归思想。 经历完整的“猜想—证明—分类讨论”过程，发展逻辑推理。 环节三 探究推论 直径与直角 （约8分钟） 【推论1】 同弧或等弧所对的圆周角相等。 理由：它们都等于所对圆心角的一半。 【推论2】 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 理由：半圆所对的圆心角是180°，所以圆周角是×180°=90°。 师：由定理直接推出推论。 生：说明理由，体会推论是定理的直接结果。 学生能否由直径想到直角，由直角想到直径。 建立直径与直角的互推，发展几何直观。 环节四 例题示范 巩固应用 （约8分钟） 【例】如图，⊙O的直径AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D。求BC、AD的长。 解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。 在Rt△ABC中，BC====8（cm）。 ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°。 又∠ABD=∠ACD=45°（同弧所对的圆周角相等），∠BAD=∠BCD=45°， ∴△ADB是等腰直角三角形，AD=BD。 ∴2AD²=AB²=100，AD==5（cm）。 师：示范”见直径想直角”。 生：体会圆周角定理推论的综合应用。 学生能否正确使用推论和勾股定理。 综合应用推论，培养运算与推理能力。 环节五 练习巩固 （约5分钟） 环节六 反思小结 布置作业 （约2分钟） 【练习】如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO=20°，求∠C的度数。（答案：70°。提示：OA=OB，∠OAB=20°，∠AOB=140°，∠C=∠AOB=70°） 【小结】圆周角=顶点在圆上两边与圆相交；定理：圆周角=圆心角的一半；同弧圆周角相等；直径↔直角。 【作业】必做题：教材习题29.2；选做题：教材本节练习。 师：出示练习题。 生：独立完成，板演。 学生能否正确运用定理求角度。 练习巩固定理与推论。 板书设计 29.2.3 圆周角（第1课时） 一、圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交 二、定理：圆周角=所对圆心角的一半（分三种情况证明） 三、推论：同弧圆周角相等；直径↔90° 四、方法：分类讨论、化归 教学反思（课后填写） 1. 学生是否理解圆周角与圆心角的区别？ 2. 学生是否能理解为什么要分三种情况证明定理？ 3. 学生能否灵活运用“直径所对圆周角是直角”？ 4. 学生常见错误有哪些？ 学科网（北京）股份有限公司 $