29.2.3 第1课时 圆周角定理及其推论 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

29.2.3 圆周角 第1课时 教学设计 课题 圆周角定理及其推论 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第3课时（29.2共4课时：29.2.1垂直于弦的直径、29.2.2圆心角、29.2.3圆周角第1、2课时；本章共10课时） 课型 新授课 教学目标 1. 理解圆周角的概念，会辨认圆周角，体会“分类”“化归”“由特殊到一般”的数学思想；2. 经历圆周角定理的探究与证明过程，掌握定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，并能运用定理进行计算与证明；3. 掌握定理的两个推论：同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（或直径）所对的圆周角是直角、90°的圆周角所对的弦是直径，并能灵活运用，发展逻辑推理能力. 教学重点 圆周角定理及其推论的内容和初步运用. 教学难点 运用分类讨论思想，分三种位置关系证明圆周角定理；定理与推论的综合运用. 教学方法 类比探究、启发引导、讲练结合 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、量角器 课后练习 教材本节课后练习及习题 29.2 中与圆周角定理相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、温故知新 引出课题 一、温故知新，引出课题 【回顾】什么是圆心角？ 预设答案：顶点在圆心的角叫作圆心角（如上图）. 【师生活动】教师提出问题，全班学生回顾并作答，教师追问：一个三角形，当它内接于一个圆时，它的三个内角的顶点都落在圆上，那么这样的角与圆有怎样的位置关系？它们的大小又与圆心角有怎样的联系？由此引出本节课的研究对象，板书课题. 学生回顾圆心角的定义及特点，观察内接三角形的角与圆的位置关系，带着“角与圆心角有何关系”的疑问进入新课. 通过回忆圆心角的定义及特点，引发学生思考新问题，建立起新旧知识之间的联系，便于学生理解和接受. 二、类比探究 建构新知 二、类比探究，建构新知 1. 探究圆周角的概念 【观察思考】问题1：如图，△ABC 内接于⊙O，观察图中的∠A，它有什么特点？ 预设答案：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（两边与圆各另有一个公共点）. 【师生活动】教师以∠A 为例，引导学生观察它的顶点、两条边分别与圆的位置关系，进而归纳出圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 教师强调：圆周角必须同时满足两个条件——①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，两者缺一不可. 【辨一辨】判断下列各图中，哪些是圆周角？（是圆周角的填序号） 解析：对照圆周角的两个条件逐图检查：图（1）（6）中的角顶点在圆上且两边都与圆相交，是圆周角；图（2）顶点在圆内，图（3）顶点在圆外，图（4）顶点在圆上但有一边未与圆相交，图（5）顶点在圆心，均不符合. 答案：（1）（6） 2. 探究圆周角定理 【问题2】如图，△ABC 是等边三角形，⊙O 是它的外接圆. 你能发现∠BAC 和∠BOC 的大小有什么关系吗？ 预设答案：． 【师生活动】教师提出问题，引导学生思考：因为 △ABC 是等边三角形，所以∠BAC＝60°，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，从而∠BAC 恰为∠BOC 的一半．教师追问：当 △ABC 是任意三角形时，这个结论还成立吗？ 如图，△ABC 是⊙O 的任一内接三角形，继续探究∠BAC 和∠BOC 的大小关系. 【师生活动】教师组织学生动手测量（量角器），得出结论：．然后小组交流讨论，提出猜想. 【猜想】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【追问】你能证明这个猜想吗？ 【师生活动】教师提出问题后，先让学生在圆中画出同弧所对的圆心角和圆周角，引导学生观察圆心与圆周角的位置，发现圆心 O 与圆周角∠BAC 的位置关系有三种： （1）圆心在圆周角的一条边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部. 三种位置关系 【证明】第（1）种情况：圆心 O 在∠BAC 的一条边 AC 上. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠C．又∠BOC 是 △OAC 的外角，∴，∴ ． 【师生活动】教师带领学生分析第（1）种情况的证明思路，然后让学生自行完成第（2）（3）种情况的证明（提示：连接 AO 并延长，把（2）（3）化归为（1）），最终教师展示： 情形（2）（3） 第（2）种情形：圆心 O 在∠BAC 的内部. 连接 AO 并延长，交⊙O 于点 D. 由（1）的结论，得，，∴ ． 第（3）种情形：圆心 O 在∠BAC 的外部. 连接 AO 并延长，交⊙O 于点 D. 由（1）的结论，得，，∴ ． 【归纳】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【方法点拨】证明中先研究圆心在角的一边上这一特殊位置，再把另外两种位置通过“连接 AO 并延长”转化为特殊情形，这正是“由特殊到一般”与“化归”思想的体现；分类讨论时必须做到不重不漏. 【做一做】如图，在⊙O 中，∠BOC＝50°，求∠A 的大小. 答：． 3. 探究圆周角定理的推论 【问题3】“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”，那么同弧所对的圆周角呢？ 预设答案：相等. 证明：如图，连接 OA，OB. 由圆周角定理，得 ∠AC1B＝，∠AC2B＝，∠AC3B＝，∴∠AC1B＝∠AC2B＝∠AC3B． 【追问1】等弧所对的圆周角相等吗？ 【师生活动】教师提出问题，学生仿照前面的思路证明，教师展示过程. 证明：如图，连接 OA，OB，OC，OD. ∵弧AC＝弧BD，∴∠AOC＝∠BOD. 又 ，，∴∠ADC＝∠BAD． 结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 【追问2】反过来，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它们所对的弧相等吗？ 预设答案：相等. 【师生活动】教师引导学生理解：由圆周角相等可推出所对的圆心角相等，结合“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，可得在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 从而得出圆周角定理的推论： 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 【做一做】如图，AB 是直径，C 是圆上任意一点（不与 A、B 重合），则∠ACB＝　　　　　°. 预设答案：90. 【师生活动】教师提出问题，学生应用所学知识作答. 在学生得到结果后，教师追问：如果∠ACB＝90°，能得出 AB 是直径吗？引导学生得出答案后，归纳总结圆周角定理的另一个推论： 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 【归纳】 学生观察圆周角图形的特征，归纳定义并辨析正反例；动手测量特例与一般情形的角度，提出猜想；分三种位置关系讨论并完成定理证明，体会化归思想；探究同弧、等弧所对圆周角的关系得出推论1；借助直径特例得出推论2. 从特殊情形入手便于学生观察得出结论，再对一般情形进行合理猜想，使学生在学习新知的同时感知由特殊到一般的数学思想；通过证明使学生对圆周角定理的认识从感性上升到理性，培养学生的逻辑思维能力以及分类讨论的数学思想；让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系；由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论2. 三、学以致用 典例精讲 三、学以致用，典例精讲 【例】如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC、AD、BD 的长. 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系. 由 AB 是直径，可知圆周角∠ACB＝∠ADB＝90°；由圆周角∠ACD＝∠BCD，可知它们所对的弧相等，进而得到弦 AD＝BD. 解：如图，连接 OD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在 Rt△ABC 中，AB＝10，AC＝6，由勾股定理，得． ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴弧AD＝弧BD，∴AD＝BD. 在 Rt△ABD 中，，∴ ． ∴BC＝8，AD＝BD＝． 【方法点拨】见直径构造直角三角形是圆中的基本策略：直径所对的圆周角是直角，再结合勾股定理即可实现“斜弦、直角边”的互求；角平分线条件则常转化为“等弧”进而得到“等弦”. 学生在教师引导下分析例题的解题思路：先由直径得直角，再由勾股定理求 BC；由角平分线得等弧、等弦，最后在 Rt△ABD 中求 AD、BD，并尝试独立书写解题过程. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识，培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力；渗透“见直径想直角”“角平分线转等弧等弦”的基本策略. 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 （1）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是圆上的两点，若∠ABD＝40°，则∠BCD＝　　　　　°. 解析：∵∠ACD 与∠ABD 是同弧AD 所对的圆周角，∴∠ACD＝∠ABD＝40°. ∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝90°−40°＝50°. 答案：50 （2）如图，四边形 ABCD 的四个顶点在⊙O 上，找出图中分别与∠1、∠2、∠3、∠4 相等的角. 解：由同弧所对的圆周角相等，得∠1＝∠CBD，∠2＝∠ACB，∠3＝∠CAB，∠4＝∠ABD. （3）已知：如图，OA、OB、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB＝2∠BOC. 求证：∠ACB＝2∠BAC. 证明：∵∠ACB＝（弧AB 所对的圆周角等于圆心角的一半），∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝∠BOC. 又∵∠BOC＝2∠BAC（弧BC 所对），∴∠ACB＝2∠BAC. （4）证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知：△ABC 中，O 是 AC 边的中点，且．求证：△ABC 是直角三角形. 证明：由题意，得，即 △ABC 的三个顶点都在以点 O 为圆心、OA 的长为半径的圆上. ∵AC 是⊙O 的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ABC＝90°，即 △ABC 是直角三角形. （5）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，∠ACD＝60°，∠ADC＝70°，求∠APC 的度数. 解：如图，连接 BC，则∠ACB＝90°（AB 为直径），∠DCB＝∠ACB−∠ACD＝90°−60°＝30°. 又∵∠BAD＝∠DCB＝30°（同弧BD 所对的圆周角相等），∴在 △APD 中，∠APC 是它的一个外角，． ∴∠APC 的度数为 100°． 学生独立完成（1）（2）并集中订正；（3）（4）（5）由学生先独立书写证明过程，再板演交流，其余学生补充纠错，教师针对同弧等弧转化的关键步骤点拨. 通过随堂练习进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果；（1）题综合运用推论1 与推论2；（2）题训练“同弧所对圆周角相等”的识图能力；（3）题训练圆心角与圆周角的互化；（4）题以直角三角形的判定为载体，体会推论2 的逆向运用；（5）题综合直径、等弧与外角知识，培养学生综合分析能力，让学生获得成功体验. 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？ 【归纳】①圆周角的概念：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角；②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；④推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；⑤思想方法：由特殊到一般、分类讨论、化归（连接 AO 并延长化一般为特殊）、见直径构造直角三角形. 学生复述圆周角定理及其推论，结合三种位置关系说明分类证明的思路，同桌互查“见直径想直角”等基本策略. 梳理本节课的重点内容，加深对圆周角定理及其推论的理解，强化记忆，帮助学生形成知识网络. 六、布置作业 深化提高 六、布置作业，深化提高 教材本节课后练习及习题 29.2 中与圆周角定理及其推论相关的题目. 提示：求圆周角先找同弧或等弧；遇到直径，先想它所对的圆周角是直角；证明角相等优先考虑“同弧等弧”转化. 课后独立完成，写出“找弧—定角—计算/推理”三步，规范标注辅助线与推理依据. 加深认识，深化提高，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 圆周角定理及其推论 一、圆周角的概念 顶点在圆上且两边都与圆相交（两条件缺一不可） 二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 三、定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 四、思想方法 由特殊到一般、分类讨论、化归（连接 AO 并延长）、见直径想直角 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $