专题 29.2.1 垂直于弦的直径同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题 29.2.1 垂直于弦的直径同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】垂径定理概念辨析 2 【题型2】垂径定理直接求值 4 【题型3】垂径定理求值证明 8 三.拓展培优 15 【题型1】垂径定理推论应用 15 【题型2】实际应用（赵州桥模型） 20 【题型3】平行弦与同心圆中垂直径定理 24 【题型4】垂径定理综合求值证明 29 四.中考链接 36 五.自我评价 45 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 圆是______对称图形，任意一条____________所在直线都是圆的对称轴。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。 3. 垂径定理推论：平分弦（_________）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 运用垂径定理计算时，过圆心作弦的垂线可构造直角三角形，三角形三边分别为圆的半径、____________、圆心到弦的距离，利用____________建立方程求解。 【前置作业参考答案】 1. 轴；直径 2. 平分；平分 3. 不是直径 4. 弦长的一半；勾股定理 二.基础巩固 【题型1】垂径定理概念辨析 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）下列说法中，正确的是（　　） ①同圆中，所有的半径都相等； ②圆中的直径是弦，弦是直径； ③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心； ④相等的圆心角所对的弧相等． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了弦，垂径定理，圆心角与弧的关系等知识．熟练掌握弦，垂径定理，圆心角与弧的关系是解题的关键． 根据弦，垂径定理，圆心角与弧判断作答即可． 解：由题意知，同圆中，所有的半径都相等；①正确，故符合要求； 圆中的直径是弦，弦不一定是直径；②错误，故不符合要求； 在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；③正确，故符合要求； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；④错误，故不符合要求； 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意； D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【题型2】垂径定理直接求值 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）.如图，的直径，弦于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理．根据题意求出的长，运用勾股定理求出的长，然后根据垂径定理求出即可． 解：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵是直径，， ∴， 故选：C． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交于点C．若，求的半径． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：解∶连接，如图所示∶ ∵点D是的中点，， ∴， 设的半径为r，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得∶， 即， 解得∶， 即的半径为10． 3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，由题意得，根据勾股定理求出即可； 解：，且过的圆心； ． 的直径是． ， ， ， ∴， 解得， ∴的半径是 【题型3】垂径定理求值证明 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； （2）的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，    ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， 3．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，为的弦，半径，分别交于点E，F，且． （1）求证：． （2）作半径于点M，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接、、和，如下图，    在和中， ， ， 而，， ， ，， 在中， ， ， ． 即． ， （2） 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质， （1）连接、、和，根据题意可证得，得和，进一步得到，即可得出结论； （2）连接，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：（1）略 （2）连接，如图，    设，则， ． 于点M， ，， ， 在中，有，解得． ∴． 4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵C为弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）利用弧中点的定义可得，由垂径定理可得，由此可证明结论； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 设圆的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 三.拓展培优 【题型1】垂径定理推论应用 1.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作： （1）经过三点的圆弧所在圆的圆心坐标为______； （2）的半径为______（结果保留根号）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键； （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出即为所求． （1）解：如图，D为所求；， （2）解：连接， 在中，， 的半径为． 2.（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在半径为5的中，点是弦的中点，长为3，则 弦长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及中点定义、垂径定理的推论、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理的推论可知，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键． 解：连接，如图所示： 点是弦的中点， 由垂径定理的推论可知，且， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：D． 3.（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 4.（24-25九年级上·江苏苏州·期中）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点． （1）请用尺规作图画出该残片的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R 【答案】（1）如图，作线段的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）圆片的半径R为 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些性质和定理，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键； （1）作线段的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点T，利用勾股定理即可求解． 解：（1） 略 （2）连接交于点T， ， 在中， 整理得 所以 即圆片的半径R为． 【题型2】实际应用（赵州桥模型） 1.（25-26九年级上·安徽淮南·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． （1）直接判断与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】（1）；（2）19.4m 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键： （1）根据垂径定理即可得出结论； （2）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 解：（1）∵， ∴ （2）设主桥拱半径为R， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 答：这座石拱桥主桥拱半径为． 2.（25-26九年级上·天津河东·期末）赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理列方程求解半径是解题的关键． 先根据垂径定理求出，再结合拱高用勾股定理列出关于半径的方程，最后解方程即可得到圆的半径． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故选：B． 3.（2026·内蒙古呼和浩特·二模）赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为____m（结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，由题意可知，，，点是的中点，由垂径定理可知，，且，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 解：如图， 由题意可知，，，点是的中点， 由垂径定理可知，，且， 设半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 答：桥拱的半径约为． 故答案为：． 4.（25-26九年级上·吉林延边·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）． （1）直接写出与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】（1）；（2）这座石拱桥主桥拱半径约为 【分析】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键． （1）根据垂径定理即可得出结论； （2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案． （1）解：∵半径， ∴． （2）解:设主桥拱半径为， ∵，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 因此，这座石拱桥主桥拱半径约为． 【题型3】平行弦与同心圆中垂直径定理 1.（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． （1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 2.（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 3.（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 解：过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 4.（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． （1） 求证：． （2） 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 解：（1）略 （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 【题型4】垂径定理综合求值证明 1.（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）已知的直径垂直弦于点，连接并延长，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，点为的中点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，点在上运动（不包括端点），设的半径为，当四边形为平行四边形时，求的长．（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明：是直径，， ， ， ， 又， ； （2）证明：为的中点， ， ， ，即， ， ， 又， ． ， 又， ； （3） 【分析】（1）根据垂径定理可得，，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，结合对顶角的性质即可得出结论； （2）证明，得出，结合（1）中，即可得证； （3）连接，根据平行四边形、平行线的性质可得出，，根据圆周角定理可得出，进而得出，根据圆周角定理得出，根据等角对等边得出，结合（2）中，得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，在中，根据正弦定义求出，结合平行四边形的性质即可求解. 解：（1）略 （2）略 （3）解：在平行四边形中，， ， 如图，连接，则， ， ，即， ， ， 由（2）得， ， ， 在中，， ． 2.（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 解：如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 3.（24-25九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为________． 【答案】米/ 【分析】依题意，三点共圆，设圆弧的半径为，过点作交于点，进而根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，即可求解． 解：依题意，三点共圆，如图， 设圆弧的半径为，过点作交于点， ∵，， ∴， 在中， ∴ 解得： 故答案为：米． 4.（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若为的中点且，求⊙的半径． 【答案】（1）证明：∵与关于直线对称， ∴，； ∵为的圆心，， ∴， ∴； ∴， ∴四边形为菱形； （2） 【分析】本题考查了圆的垂径定理、轴对称的性质、菱形的判定定理以及勾股定理的应用，关键是结合轴对称性质得到线段的等量关系，利用垂径定理确定弦的中点，再通过设未知数结合勾股定理建立方程求解线段长度． （1）先根据轴对称的性质得到、，再由过圆心且，根据垂径定理推出，进而得到，由此证得四边形的四条边相等，依据四条边相等的四边形是菱形完成证明； （2）先由垂径定理求出的长度，结合为中点设，进而用表示出和半径，再在中根据勾股定理建立关于的方程，求解出的值后，代入计算即可得到⊙的半径． 解：（1）略 （2）解：设⊙的半径为， ∵，， ∴． ∵为的中点， ∴， 设，则． ∵与关于对称， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴．故⊙的半径为． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·湖北十堰·中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ）    A． B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长． 解：作于点M，    在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 2．（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 二、填空题 3．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 4．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； （2）的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 解：（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 6．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． （1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.2.1 垂直于弦的直径同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】垂径定理概念辨析 2 【题型2】垂径定理直接求值 3 【题型3】垂径定理求值证明 3 三.拓展培优 5 【题型1】垂径定理推论应用 5 【题型2】实际应用（赵州桥模型） 6 【题型3】平行弦与同心圆中垂直径定理 8 【题型4】垂径定理综合求值证明 9 四.中考链接 10 五.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 圆是______对称图形，任意一条____________所在直线都是圆的对称轴。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。 3. 垂径定理推论：平分弦（_________）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 运用垂径定理计算时，过圆心作弦的垂线可构造直角三角形，三角形三边分别为圆的半径、____________、圆心到弦的距离，利用____________建立方程求解。 二.基础巩固 【题型1】垂径定理概念辨析 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）下列说法中，正确的是（　　） ①同圆中，所有的半径都相等； ②圆中的直径是弦，弦是直径； ③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心； ④相等的圆心角所对的弧相等． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【题型2】垂径定理直接求值 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）.如图，的直径，弦于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交于点C．若，求的半径． 3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 【题型3】垂径定理求值证明 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 3．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，为的弦，半径，分别交于点E，F，且． （1）求证：． （2）作半径于点M，若，，求的长． 4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 三.拓展培优 【题型1】垂径定理推论应用 1.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作： （1）经过三点的圆弧所在圆的圆心坐标为______； （2）的半径为______（结果保留根号）． 2.（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在半径为5的中，点是弦的中点，长为3，则 弦长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 4.（24-25九年级上·江苏苏州·期中）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点． （1）请用尺规作图画出该残片的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R 【题型2】实际应用（赵州桥模型） 1.（25-26九年级上·安徽淮南·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． （1）直接判断与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 2.（25-26九年级上·天津河东·期末）赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 3.（2026·内蒙古呼和浩特·二模）赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为____m（结果保留整数）． 4.（25-26九年级上·吉林延边·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）． （1）直接写出与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 【题型3】平行弦与同心圆中垂直径定理 1.（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 2.（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 3.（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 4.（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． （1） 求证：． （2） 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【题型4】垂径定理综合求值证明 1.（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）已知的直径垂直弦于点，连接并延长，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，点为的中点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，点在上运动（不包括端点），设的半径为，当四边形为平行四边形时，求的长．（用含的代数式表示） 2.（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为________． 4.（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若为的中点且，求⊙的半径． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·湖北十堰·中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ）    A． B．7 C．8 D． 2．（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 二、填空题 3．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 4．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 6．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $