专题 29.2.3 圆周角同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题29.2.3圆周角同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026一2027学年人教版九年级数学上册（双减分层核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 二.基础巩固…。 .2 【题型1】圆周角概念辨析… 2 【题型2】圆周角定理基础计算与证明 3 【题型3】直径圆周角推论基础应用.… .7 三拓展培优.…………….……………………………11 【题型1】圆周角定理综合计算. 【题型2】圆内接四边形角度计算. .15 【题型3】圆周角定理及推论综合求值证明. .21 四.中考链接 .30 五.自我评价 .41 一 知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1.顶点在 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 3.同弧或等弧所对的圆周角 4.半圆（或直径）所对的圆周角是 90°的圆周角所对的弦是 5.圆内接四边形的对角 【前置作业参考答案】 1.圆上 2.一半 3.相等 4.90°；直径 5.互补 二，基础巩固 【题型1】圆周角概念辨析 1.(九下第三章圆圆的有关性质确定圆的条件)下列各图中的∠1为圆周角的是（) A 【答案】C 解：根据圆周角的定义，选项C中的∠I为圆周角 2.(25-26九年级上·吉林长春·期中)下列图中是圆周角的是() 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义. 根据圆周角的定义（角的项点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可. 解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意： B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意： D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意： 故选：B 【题型2】圆周角定理基础计算与证明 1.(25-26九年级上·内蒙古乌兰察布期中)(1)解方程：x2-3x-6=0 (2)如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E连接AC、OC、BC, ∠A=40°.求∠OCE的度数， B 【答案】 4-3E,53-丽 2 2 (2 10°1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键 (1)利用公式法解方程即可； (2)由圆周角定理可得∠COE的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案. 解：(1)x2-3x-6=0 .a=1,b=-3,c=6 ..△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-6)=33>0 x=-b±vF-4ae_3t53 2a 2 解得： 3+V33.3-V33 -，X2= 2 2 (2).∠A=40° ∴.∠BOC=2∠A=80° ·,·AB⊥CD .∴.∠AEC=90° .∠0CE=90°-∠C0E=10 2.(2026山东淄博三模)如图，点A,B,C,D在⊙O上，四边形OABC是菱形，则∠D 的度数是( A.45° B.50° C.60° D.65 【答案】C 【分析】连接OB,利用菱形性质得到OA=AB,结合半径相等推导出△AOB、△BOC为等边 三角形，求出圆心角∠AOC,再依据圆周角定理求出∠D. 解：连接OB ,'四边形OABC是菱形， ∴.OA=AB ·.:OA=OB=OC, .∴OA=AB=OB ,.△AOB是等边三角形， .∴.∠A0B=60° 同理可得∠BOC=60° .·.∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°， KD=)∠A0C=600 3.(25-26九年级上·贵州黔东南·期末)如图，AB是⊙0的直径，点GD在圆上，若 ∠B=28°，则∠D=度 B 【答案】28 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解 解：.∠B=28° .∴.∠D=∠B=28° 28 故答案为： 4.(24-25九年级下·河南南阳开学考试)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的一条弦， AB⊥CD,连接AC,OD (1)求证：∠BOD=2∠A: (2)若∠CAB=30°，AB=4,则CD的长 B D 【答案】(1)证明：连接OC,如图所示， B .'AB⊥CD,AB是⊙O的直径， ∴.BC=BD ..∠BOD=∠BOC BC=BC, .∴.∠BOC=2∠A .∴.∠BOD=2∠A: (2)2V5 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定 理及勾股定理是解题的关键。 (1)连接OC,根据垂径定理得出BC=BD,证明∠BOD=∠BOC,由圆周角定理得 ∠BOC=2∠A,即可得出结论； (2)由垂径定理得∠OCE=90°-60°=30°，CD=2CE,根据直角三角形的性质得出 OE=)0C=1,根据勾股定理得出CE=V2-P=5,即可得出答案. 2 解：(1)略 (2)解：.AB=4, .∴.OC=OA=OB=2, .·∠A=30° .∴.∠C0E=2∠A=60° ,'AB⊥CD,AB是直径， ..∠0CE=90°-60°=30°，CD=2CE, .OE-0c-1, .CE=v22-12-5, CD=2CE=23 【题型3】直径圆周角推论基础应用 1.(25-26九年级上·江苏盐城期中)如图，AB是⊙O的直径，点A,B,C,D在⊙O上， ∠ABC=53°，求∠CDB的度数. B D 【答案】∠CDB=37 【分析】本题考查了圆周角定理和圆周角定理的推论，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理 是解题关键 先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而可得∠CAB=90°-∠ABC=37°，再根 据圆周角定理求解即可得 解：AB是直径， .∠ACB=90° 又，∠ABC=53° ∴.∠CAB=90°-∠ABC=37° BC=BC. ∴.∠CDB=∠CAB=37° 2.(2026湖南张家界·模拟预测)如图，BC是⊙O的直径，A,D是⊙O上的两点，连接AB ,AD,BD,若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是() B D A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 【分析】连接AC,利用圆周角定理得出∠ACB=∠ADB,根据直径所对圆周角为直角得出 ∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求解. 解：如图，连接AC, A B C D ",'∠ADB与∠ACB都是AB所对的圆周角， .∴.∠ACB=∠ADB=70° .BC是⊙O的直径， .∴∠BAC=90° .∠4BC=90°-∠ACB=90°-70°=20 3.(25-26九年级上·河北·单元复习)如图，圆内四边形ABCD满足：AD⊥DC,∠ADB=60° ,∠ACD=45°，CD=60,则AB= A B D 【答案】30v6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形.根据圆周角定理可得AC为直径，可 求出AC=60N2,在Rt△ACB中，解直角三角形，即可求解. 解：，AD⊥DC,即∠ADC=90°， .AC为直径 .∠ACD=45°，CD=60 .∴.∠ACD=∠CAD=45° .'AD=CD=60 .AC=60√2」 ·.'∠ACB=∠ADB=60° .AB=4C×sin∠ACB=60N2×Y5=30N6. 30√6 故答案为： 4.(24-25九年级上·福建厦门期中)如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙0，交 BC边于点D,交CA的延长线于点E,连结AD,DE. E B (1)求证：BD=CD; (2)若AB=5,AD=3,求DE的长 【答案】(1)证明：：AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90° 即AD⊥BC, AB=AC. ∴.BD=CD (2)4 【分析】本题考了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等干这条 弧所对的圆心角的一半：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，9°的圆周角所对的弦是直 径，也考查了等腰三角形的性质 (1)根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形三线合一即可得到BD=CD; (2)先利用勾股定理计算出BD=CD=4,再由等腰三角形和圆周角定理证明∠E=∠C,所 以DE=DC 解：(1)略 (2)解：在RtAADB中， .AB=5 AD=3 .BD=VAB2-AD2=V52-32=4. ∴.CD=4 .AB=AC ∴.∠B=∠C ∠B=∠E .∠E=∠C .DE=DC=4 三.拓展培优 【题型1】圆周角定理综合计算 1.(第二十九章追梦综合演练卷)如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC,垂足为点 E且4B与AC的长度为方程x2-9x+18=0的两个根(AB>AC),⊙0是△ABC的外接圆. (1)求⊙0的半径； (2)计算BE的长 A B 【答案】 (1) 32;(2) 34 【分析】(1)连接OB,解方程求出AC、AB,根据勾股定理求出半径； (2)根据题意得到△AEC为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可」 (1)解：连接OB B 解方程x2-9x+18=0,得1=3，，2=6， ..AC=3 AB=6 ,∠AOB=2∠C=90° ∴△AOB为等腰直角三角形 ∴0B2+0A=AB2,即20B2=62, ∴.OB=3V2.即⊙0的半径为3√2. (2)解：∠C=45°，AE⊥BC, ∴△AEC为等腰直角三角形 3v2 ∴由勾股定理得AE= 2 :BE-VAR-AB-34 2 2.(第二十九章圆高效同步练习29.2.3圆周角第2课时圆内接多边形)已知△ABC内接于⊙0 ,OD⊥AC于点D,如果∠COD=32°，那么∠B的度数为（) A.16 B.32° C.16°或164° D.32°或148° 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角∠AOC的度数，再分点B在优弧、劣弧AC两种情况，利用 圆周角定理和圆内接四边形的性质计算∠B的度数 解：连接OA .'OA=OC,OD⊥AC .,∠A0C=2∠C0D=64° 当点B在优弧AC上时，∠B=)∠A0C=32 2 当点B在劣弧AC上，如图点E的位置时，∠B=180°-32°=148° B A 3.(2026陕西西安·模拟预测)如图OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC, AC平分∠OAB,则∠AOC=。. 【答案】135° 【分析】设∠BOC=a,先利用圆周角定理求出∠CAB,根据∠AOB=2∠BOC,求出∠AOB ，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可. 解：设∠BOC=a, ·∠40B=2LB0C=2a' ∠CMB=1∠BOC= 2 2 .OA=OB ∴201B=080-2a）=90-a, .AC平分∠OAB, 1 .90°-a=2×5a, 解得u=45° ∠A0C=2a+a=3a=135o 4.(2026安徽安庆二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB为直径，点D在AB上，且 AD=AC,延长CD交⊙O于点E,连接OC,OE (1)求证：∠A=∠BOE (2)若∠A=30°，AB=8,求CE的长. B 【答案】(1)证明：，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点， .∠ACB=90° ∴.∠ACD=90°-∠BCE .AD=AC, .,∠ACD=∠ADC .'∠CAB+∠ACD+∠ADC=180° .∠CAB+2(90°-∠BCE)=180°，即∠CAB+180°-2∠BCE=180°， .∴.∠CAB=2∠BCD ·.'∠BOE=2∠BCE .∠A=∠BOE (2)4V2 【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则∠ACD=90°-∠BCD,再利用等腰三角形 的性质和三角形内角和定理得到∠CAB+2(90°-∠BCE)=180°，进而得到∠CAB=2∠BCD, 再利用圆周角定理可得结论： (2)连接OC,利用(1)的结论和圆周角定理得到∠B0E=∠A=30°，∠COB=60°，可得 ∠COE=90°，然后利用勾股定理计算CE的长即可. 解：(1)路 (2)解：如图，连接OC, B 由(1)可知∠BOE=∠A=30° ".·∠BOC=2∠A=60° ..∠CAB=30° .∴.∠COE=∠BOC+∠BOE=90° .AB=8 .∴.0C=0E=4 CE=0C2+0B=4N2 【题型2】圆内接四边形角度计算 1.(2026广东东莞一模)如图，在⊙0中，点A、B、C、D为圆周的四等分点，AE为切 线，连接ED,并延长交⊙O于点F,连接BF交AC于点G. (1)求证：AD平分∠CAE: (2)求证：△ADE≌△ABG, G 【答案】(1)证明：点A、B、C、D为圆周的四等分点 ∴·∠C4D所对的弧长为圆周长的4， .∴.∠CAD=45° .AE为⊙O的切线， .∴.∠CAE=90° .∠CAD=∠CAE, ∴.AD平分∠CAE; (2)证明：，‘AD平分∠CAE; .∴.∠DAE=∠CAD=45° ,'点A、B、C、D为圆周的四等分点， .AD=AB,∠BAC=∠CAD=45°， .∴.∠BAC=∠DAE=45° ,'四边形ABFD为圆内接四边形， .∴.∠ABG+∠FDA=180°， 又'，'∠ADE+∠FDA=180° .∠ADE=∠ABG 又，'AD=AB,∠BAC=∠DAE .∴.△ADE≌△ABG(ASA) 【分析】(1)由点A、B、C、D为圆周的四等分点，得出∠CAD=45°，根据切线的性质， 得∠CAE=90°，即可证出AD平分∠CAE: (2)由点A、B、C、D为圆周的四等分点，得出∠BAC=∠DAE=45°，AD=AB,根据圆内 接四边形得∠ADE=∠GBA,即可通过ASA证明△ADE≌AABG. 解：(1)路 (2)略 2.(26-27九年级江苏·暑假作业)如图，在⊙0中，AB‖CD,∠BCD=100°，E为⊙0上的 任意一点，A,B,C,D是⊙0上的四个点，则∠AEC的角度为() A.110° B.70° C.80° D.100° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出∠ABC的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可. 解：，AB‖CD,∠BCD=100° ..∠ABC=180°-∠BCD=80°， “,∵四边形AECB是圆内接四边形， .∴.∠AEC+∠ABC=180° .∠ABC=100 3.(2026江苏扬州·中考真题)如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，点D在BC上， ∠ABC=20°，则∠CDB=° D B 【答案】110 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB=90°，利用三角形内角和定理求出 ∠CAB的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解. 解：AB是⊙O的直径 ∴.∠ACB=90° :∠ABC=20° ∴.∠CAB=90°-∠ABC=70° ~四边形ACDB内接于⊙O ∴.∠CDB+∠CAB=180° .∠CDB=180°-70°=110° 4.(25-26九年级上·广西崇左·阶段检测)如图，AB、AC是⊙0的两条弦，且AB=AC,点D 是BC的中点，连接并延长BD、CD,分别交AC、AB的延长线于点E、F. (1)求证：DF=DE: (2)若BD=6,CE=8,∠ABE=90°，求四边形ABDC的面积 E ●O 【答案】(1)证明：连接AD, 刀 ,点D是BC的中点， .'.CD=BD ∴CD=BD 在△CAD和△BAD中 (AC=AB AD=AD CD=BD ∴.△CAD2△BAD(SSS), .∴∠ACD=∠ABD .∴.∠DCE=∠DBF 在△CED和△BFD中 ∠DCE=∠DBF CD=DB ∠CDE=∠BDF ∴.ACED≌aBFD(ASA), .'DF DE (2)72 【分析】(1)先证明△CAD≌△BAD(SSS),可得∠ACD=∠ABD,再证明△CED≌△BFD( ASA),可得DF=DE: (2)先利用圆内接四边形的性质得出∠ABD+∠ACD=180°，从而可得∠ACD=90°，干是有 ∠ECD=∠DBF=90°，再利用勾股定理求得DE,从而可求得EB,设AB=AC=x,然后利 用勾股定理得到关于x的方程求得AB=I2,再求出SABD,结合△CAD≌△BAD,可求得 SW边形ABC, 解：(1)路 (2)解：，·∠ABE=90°即∠ABD=90° .∴.∠DBF=180°-∠ABD=90° ·,'四边形ABDC是圆内接四边形 .∴.∠ABD+∠ACD=180° ∴.90°+∠ACD=180° .,∠ACD=90° .∴.∠ECD=∠DBF=90° .CD=BD.BD=6. ..CD=BD=6 又CE=8, .DE=VCD2+CE2=V6+82=10. .∴.EB=DE+BD=10+6=16 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2, 设AB=AC=x,则x2+162=(x+8)2, 解得x=12, .‘.AB=12 二Sn= xABXBD-x12x6-36 2 2 ·,'ACAD≌ABAD :Sg造形0C=2S,MD=2×36=72 【点睛】本题考查了全等的性质和 综合SSS),全等的性质和ASA (AAS)综合( SSS ASA AAS 或者)，已知圆内接四边形求角度，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌 握上述知识点并能运用来求解 【题型3】圆周角定理及推论综合求值证明 1.(25-26九年级上·浙江温州期中)如图，⊙0是等腰直角三角形ABC的外接圆，D是直线 AB下方的圆上一动点，∠ABD的角平分线交CD于点E,连接AE. (1)若AD=3,BD=4, ①求AB的长； ②求CE的长； (2)探究线段AD、BD、CD三者间的数量关系，并加以证明. ◇ D 【答案】①①6=5：②CR=52 )：(2)(4D+BD}=2CD2,证明如下3 :AC=BC.∠ACB=90° 如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得△CBF, F D 即△ACD≌△BCF .AD=BF,∠DAC=∠CBF :四边形ACBD为圆的内接四边形， .∴.∠DAC+∠DBC=180° ∴.∠CBF+∠DBC=180° 即点D、BF三点共线. .∴.DF=DB+BF .∠DCF=90° ∴.DF2=CD2+CF2 ∴(AD+BD)2=2CD2 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质定理，勾股定理，直径定理，等腰直角三角形的 性质，旋转的性质，圆周角定理等内容，解题的关键是掌握以上性质. ()①根据直径定理得出直角，然后利用勾股定理求解即可； 5V2 ②利用等腰直角三角形的性质得出相等边和角的度数，然后利用勾股定理求出BC= 2 根 据圆周角定理得出∠BEC=∠EBC,根据等边对等角即可求解； (2)捋△ACD绕点C逆时针旋转90°得△CBF,得出相等边，根据圆内接四边形的性质得出 点D、B、F三点共线，然后利用勾股定理得出结论即可. (1)解：①等腰直角三角形ABC内接⊙O, .AB为圆的直径， ∴.∠ADB=90° 由勾股定理得AB=VAD+BD=5; ②在等腰直角三角形ABC中， AC=BC.∠ABC=∠BAC=45° 由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即2BC2=25, 解得BC=5V2 2 (负值已舍)， 在⊙O中，∠BAC=∠BDC=45°， :BE为∠ABD的角平分线， ∴.∠ABE=∠DBE :∠BEC=∠BDC+∠DBE ∠CBE=∠ABC+∠ABE ∴.∠BEC=∠EBC CE=BC=AC=5 2 (2)略 2.(25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测)如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品 某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点A(∠A=30)放在圆上，两边与圆的交点分别 记为点B,C,测得BC的长为l0cm,则铜镜的直径为() B A.10cm B.20cm C.10v3cm D.203cm 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关 键，连接OB,OC,BC,根据圆周角定理得出∠BOC=2LA=60°，进而得出△BOC是等边三角 形，即可求解 解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O连接OB,OC,BC, B .∠A=30° .∴.∠BOC=2∠A=60° ·,·OB=OC,BC=10cm .∴.△BOC是等边三角形 .∴.OB=OC=BC=10cm .'.该铜镜的直径为20cm. 故选：B 7W3 3.(2025:重庆·二模)如图，AABC内接于半径为3的o0:BD1AC于点D延长BD交 ⊙O于点E,M为ABE的中点，连接OM交AC于点F,若AC=8,∠C=60°，AB>2BC, 则DE= OF= 135 【答案】 6 2-3 【分析】连接OA,OB,过点O作OG⊥AB干点G,利用圆周角定理及推论得出 ∠E=∠C=60°，∠AOB=2∠E=120°，利用垂径定理求出 0G=04-75 6,AG=3OG=5,AB=2AG=7'由∠CBD=30。, 得出 BC=2CD' 利用 BD2222D2,列式求出CD=之或2，结合AB>2BC·得CD=2,得出 AD=13 再利用∠EAD=30: 即可求出DE=13 6:连接 M'AM'AO'OE' 延长 MO交AE于点H,利用M为ABE的中点，得出OM垂直平分AE,可得AH=EH, AE⊥OH 求出W-46=1B5 6, 再利用 4E1OH'∠E4D=30°·求出HF=6在 Rt△AOH中，求出OH=3 :利用0F=H-OH即可求解。 解：如图，连接OA,OB,过点O作OG⊥AB于点G, D QF G 0A=0B=7 ， .∠C=60°，AB=AB .∴.∠E=∠C=60°， .∠AOB=2∠E=120°， 0A=0B=75 3，OG⊥AB .∴.∠OAG=∠OBG=30°，AG=BG, ∴0G=0A=7 6,AG=V30G=7 2 .AB=2AG=7, .BD⊥AC,∠C=60°， .∠CBD=30°， .∴.BC=2CD .BD⊥AC .'BD2=AB2-AD2=BC2-CD2 ,AC=8 即72-(8-CD2=(2CD}-CD2 3.5 解得：CD=2或2 AB>2BC, c ..CD<7 .'.CD=3 .AD=AC-CD= 2 .∠E=60°，BD⊥AC, .∴.∠EAD=30°， ∴，AE=2DE, .'AD2=AE2-DE2 =3DE2 得DB=I3V3 6 (负值舍)； 如图，连接EM,AM,AO,OE,延长MO交AE于点H, D ,'M为ABE的中点， .∴.AM=EM, ,A0=E0 ∴.OM垂直平分AE, ∴.AH=EH,AE⊥OH, AE=2DE=13 3 4号c-1 6 .'AE⊥OH,∠EAD=30° .∴AF=2HF. .'AH2=AF2-HF2=3HF2 得F-13 (负值舍)， 在Rt△4OH中，OH=VA02-AH=3 ..OF=HF-OH=13_3_2 623 13vV32 故答案为：63 30° 【点睛】本题考查圆周角定理及推论，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，含角的直角三 角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定 是解题的关键 4.(2025·内蒙古包头·模拟预测)在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为E. (1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC; (2)如图2，若AB=6,CD=8,DF是圆的直径，连接CF,求OO的半径， D B D B E 图1 图2 【答案】 (1)证明：.：∠BAD=90° ,.BD是⊙O的直径 ·.AC⊥BD ,∴.AB=BC .∴.∠ADB=∠CDB .∴.DB平分∠ADC; (2)5 【分析】()根据垂径定理的推论证明即可； (2)连接FC,首先得到∠AED=∠DCF=90°，然后得到∠ADB=∠CDF,推出AB=CF, 得到CF=AB=6,然后利用勾股定理求解即可. 解：(1)略 (2)解：如图2，连接FC, D B 图2 ·DF是⊙O的直径 .∴.∠DCF=90° ·.'AC⊥BD .∴∠AED=∠DCF=90° .'∠DAE=∠F .∠ADB=∠CDF, .'AB=CF .',CF=AB=6 .CD=8, ..DF=CD2+CF2 =10, .⊙0的半径是5. 90° 【点睛】此题考查了垂径定理的推论， 角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等， 勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点 四.中考链接 一、单选题 1.(2026甘肃临夏·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，∠E=35°，则∠BOD=() A.80° B.100° C.120° D.110° 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠AOD=2∠E 由圆周角定理得到∠AOD=2∠E=70°，由邻补角的性质求出∠BOD=180°-70°=110° 解：：∠E=35° ∴.∠AOD=2∠E=70° ∴.∠B0D=180°-70°=110° 故选：D 2.(2026山东青岛·中考真题)如图，AD是⊙O的直径，B,C,E是⊙0上的三点 ∠B=112°，则∠E的度数为(） A.20° B.22° C.30° D.32° 【答案】B 【分析】连接BD,根据直径所对圆周角是直角得出∠ABD=9O°，进而求出∠CBD,最后利 用同弧所对圆周角相等求解. 解：连接BD D E ,'AD是⊙O的直径， .∴.∠ABD=90° .·∠ABC=112° .∠CBD=112°-90°=22° ,∠E与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， .∴.∠E=∠CBD=22° 3.(2026四川泸州·中考真题)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,AD ,BD,BC,若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=() B A.45° B.55° C.60° D.65° 【答案】B 【分析】由题意易得∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD=40°，然后可得 ∠DAB=90°-∠ABD=50°=∠BCD,进而根据三角形外角的性质进行求解即可. 解：，AB是⊙O的直径 ..∠ADB=90° ,'∠ABD=∠ACD=40° .∴.∠DAB=90°-∠ABD=50°=∠BCD ·,'∠AEC=∠BCD+∠CBE=65 .∠CBE=65°-∠BCD=15° .∴.∠CBD=∠ABD+∠CBE=55 二、填空题 4.(2026江苏徐州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，弦CD‖4B,若∠CAB=65°，则 ∠BCD= B 【答案】25 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，利用三角形内角和求出∠ABC的 度数，再根据平行线的性质即可求解. 解：，AB是OO的直径 ..∠ACB=90° .∠CAB=65°， .∴.∠ABC=90°-65°=25° ·,·CDI AB ∴.∠BCD=∠ABC=25° 5.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，在⊙O中，AB=AC,∠ABC=70°，则∠BOC= 【答案】80° 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=70°，再通过三角形 内角和定理可得∠A=40°，最后由圆周角定理即可求解 解：AB=AC, ∴，AB=AC, ,∴.∠ABC=∠ACB=70° .∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=40° .∠BOC=2∠A=80° 6.(2025江苏南京·中考真题)如图，扇形OAB的圆心角为260°，若点P在该扇形内，则 ∠APB的度数的范围是 【答案】50°<∠APB<140° 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长AP交圆O于点C则由圆周角 定理得∠C=)∠A0B=50°，再分两种情况讨论求解即可 解：延长AP交圆O干点C连接BC,如图所示： 力 O ,扇形OAB的圆心角为260° .∴.圆心角∠A0B=360°-260°=100° 根据圆周角定理得：∠C=)∠40B=50° 当点P在扇形内部AO延长线上时，则∠APB>∠C=50°： 当点P在扇形内部线段AO上时，连接AB, B ·.OA=OB .∴.∠0AB=∠0BA=(180°-100)÷2=40° .∴.∠OBP<∠OBA=40° '.'∠APB=∠AOB+∠OBP=100°+∠OBP .∴.∠APB<140° 故答案为：50°<∠APB<140°， 三、解答题 7.(2025:贵州中考真题)如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为BC的中点，DE为⊙O的 切线交AB的延长线于点E.连接CD,BD (1)点O与AB的位置关系是，线段CD与线段BD的数量关系是_； (2)过E点作EF⊥AE,与AD的延长线交于点F.根据题意补全图形，判断△DEF的形 状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为3，DE=4,求CD的长. B 【答案】(1)O在线段AB上；CD=BD;;(2)解：补图如下，△DEF为等腰三角形，理 由如下： D B 连接OD ,DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E, .∴.∠ODE=90° .∴.∠ADO+∠EDF=90° .OA=OD ..∠OAD=∠ODA .∴.∠DAO+∠EDF=90° .AE⊥EF, .∠F+∠DAO=90°， ∴.∠F=∠EDF, .'ED=EF, ∴，△EDF是等腰三角形； 6V5 (3)CD= 【分析】(1)根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案： (2)补图如下，连接OD,证明∠AD0+∠EDF=90°，∠DAO+∠EDF=90°，结合 ∠F+∠DAO=90°，可得∠F=∠EDF,进-步可得结论； ③)如图.过D作DHLAR于H求解OE=V+年-5Dn- 5 0H-V0n-D7-号a=3-}-g可得D=am+m-6 5， 从而可得答案 (1)解：·.∠ACB是直角， ∴.AB为直径 O为圆心， ∴.O在线段AB上； ,'D为BC的中点， ,∴.CD=BD ..CD=BD (2)略 (3)解：如图，过D作DH⊥AB于H, D ,⊙0的半径为3，DE=4,∠ODE=90° ∴.0E=32+4=5, -ODx DE-2DIIxOE .x3x4-x5x Dl : DH=12 5 ..OH =JOD-DH29 ， .BH=39=6 -55 BD-BI+DHE 5, ·CD=BD=6 5 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，孤，圆心角之间的关系，切 线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键 8.(2025四川遂宁·中考真题)我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么 这个四边形叫这个圆的内接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个 四边形是这个圆的“邻等内接四边形”. (1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边 形.其中是邻等内接四边形的有一（填序号）· ① ② ③ ④ (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB=3,AC=4,AB=AD, 求四边形ABCD的面积 B 【答案】(1)③：(2)7.68 【分析】(1)根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答。 ②先根据勾设定短第出C=VA+4C=5,设OH=x4仙-x,结合勾没定理整 理得BO2-OH2=AB2-AH,代入数值得x=0.7,再证明OH是△BDC的中位线，则 DC=2HO=1.4,分别算出S△c和S△BDM,即可作答 (1)解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③： (2)解：.·∠BAC=90°，AB=3,AC=4, .∴.BC=VAB2+AC2=5, ",'四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90° ,A,B,C,D四点共圆，且BC为直径. 把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙O上， 连接BD,AO,相交于点H, BC=5, .B0=OA= 2 设OH=x AH= 一X ..AB=AD. .∴.AO⊥BD,BH=DH 则在Rt△ABH中，BH2=AB2-AH2 在RtaBOH中，BH2=BO2-OH2, .BO2-OH2 =AB2-AH2 m=-8 解得x=0.7, .∴.AH=2.5-0.7=1.8 则BH=V32-1.82=2.4 即BD=2.4×2=4.8, ,BC是直径， .LBDC=90°， .BH=DH,BO=OC .OH是△BDC的中位线， .DC=2H0=1.4 则Smx=方BDxDC=分48x14=36 2 S=×BDxH=)X48x1.8=432 2 ∴.四边形ABCD的面积=Sc+SM=3.36+4.32=7.68 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正 确掌握相关性质内容是解题的关键， 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 口顺利口有困难 拓展培优 口顺利口☐有困难 中考链接 口顺利口有困难 专题 29.2.3 圆周角同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 1 【题型1】圆周角概念辨析 1 【题型2】圆周角定理基础计算与证明 2 【题型3】直径圆周角推论基础应用 3 三.拓展培优 4 【题型1】圆周角定理综合计算 4 【题型2】圆内接四边形角度计算 5 【题型3】圆周角定理及推论综合求值证明 7 四.中考链接 8 五.自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 顶点在________，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________。 3. 同弧或等弧所对的圆周角________。 4. 半圆（或直径）所对的圆周角是________；的圆周角所对的弦是________。 5. 圆内接四边形的对角________。 二.基础巩固 【题型1】圆周角概念辨析 1．（九下第三章圆圆的有关性质确定圆的条件）下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】圆周角定理基础计算与证明 1.（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）解方程： （2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数． 2.（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则______度． 4.（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． （1）求证：； （2）若，，则的长． 【题型3】直径圆周角推论基础应用 1.（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 2.（2026·湖南张家界·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·河北·单元复习）如图，圆内四边形满足：，，，则__________．    4.（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连结，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 三.拓展培优 【题型1】圆周角定理综合计算 1.（第二十九章追梦综合演练卷）如图，在钝角中，，，垂足为点E，且与的长度为方程的两个根，是的外接圆． （1）求的半径； （2）计算的长． 2.（第二十九章圆高效同步练习29.2.3圆周角第2课时圆内接多边形）已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 3.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 4.（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【题型2】圆内接四边形角度计算 1.（2026·广东东莞·一模）如图，在中，点、、、为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点，连接交于点． （1）求证：平分； （2）求证：． 2.（26-27九年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 4.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的两条弦，且，点D是的中点，连接并延长、，分别交、的延长线于点E、F． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的面积． 【题型3】圆周角定理及推论综合求值证明 1.（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接． （1）若，， ①求的长； ②求的长； （2）探究线段、、三者间的数量关系，并加以证明． 2.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·重庆·二模）如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则_________， _________． 4.（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 5．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在中，，，则______． 6．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 三、解答题 7．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． （1）点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； （2）过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 8．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． （1）请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． （2）如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $