第28章 旋转单元自测培优卷- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第28章 旋转单元自测培优卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐一判断即可． 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角． 解：∵，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴旋转角等于． 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论：①；②点A的对称点是点；③；④，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】中心对称的两个图形全等，对应边、对应角都分别相等，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分． 解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，，， ①②③④正确 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知点关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数得出点的坐标，根据点在第四象限即可得出a的取值范围，然后在数轴上表示出来即可． 解：点关于原点的对称点， 则， ∵点在第四象限， ∴， 解得：， 在数轴上表示如下： 5．（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，，，再利用等腰三角形和直角三角形的性质分别求出，，最后利用角的和差即可求出的度数． 解：由旋转的性质得，，，， ，， ， 的度数为20度． 6．（2026·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，菱形的顶点的坐标为．若菱形绕点逆时针方向旋转，每秒旋转，则第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为（   ） A． B． C．（） D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标． 解：菱形的顶点，， 由中点坐标公式得D点坐标为． 每秒旋转，则点D旋转一周所需时间为：（秒）， ，即点D旋转253周，再额外旋转2秒， 初始D点坐标为，逆时针旋转后点D坐标为． 所以，第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 7．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解． 解：如图，过点A作AG⊥DE于G， 由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°，DE=， ∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°， ∵AG⊥DE， ∴DG=GE，∠GAF=30°， ∴AG=GE=，FG=， 在Rt△AGF中，由勾股定理，得 ，即， 解得：AF=, ∴CF=AC-AF=， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 8．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 【答案】C 【分析】根据旋转的性质求解即可． 解：如图： ∵点B的坐标为，∴，， A、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； B、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； C、若轴，点A的坐标为，则，该选项符合题意； D、若轴，点A的坐标为，则，该选项不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，第二象限内的点与另一点关于原点对称，则的值是_______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征列方程，结合点在第二象限的条件确定，的取值，代入计算即可． 解：∵点与点关于原点对称， ∴两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数， 可得，，解得， 整理方程得， 因式分解得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴点的横坐标小于，即，当时，，不符合第二象限点的要求，舍去， 当时，，符合条件， ∴，代入得． 10．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）点绕点顺时针旋转的点的坐标是_________． 【答案】 【分析】设旋转中心为点，所求旋转后的点为，通过构造直角三角形，利用旋转的性质证明三角形全等，再结合坐标关系计算得到点的坐标． 解：设旋转中心，旋转后点的对应点为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为． 由旋转的性质可知，，，因此，，可得． 在和中， 所以． 由坐标可得，，， 因此，， 可得点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】首先根据旋转的性质得到，，，然后求出，得到，最后利用勾股定理求解． 解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， ， ， ， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是中心对称图形，直线经过四边形的对称中心点，若，四边形的面积为，则________，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】 连接利用证明，结合全等三角形的对应边相等即可得到的长度； 根据全等三角形的判定定理证明，由全等三角形的面积相等推出，进而求解． 解：如图，连接，， ∵四边形是中心对称图形，对称中心是点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴ ． 13．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 【答案】 解：， 与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是。 化为一般式得． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____．    【答案】 【分析】由旋转得，而平分，所以垂直平分，则，而，可证明是等边三角形，由，求得，则，，由，得，求得，则，所以，且，由，得． 解：由旋转得， ∵的角平分线经过的中点， ∴，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，一个方格的边长为个单位长度，是经过某种变换后得到的图形． （1）请分别写出点与点，点与点，点与点的坐标； （2）已知是内一点，其坐标为，利用上述对应点之间的关系，写出点在中的对应点的坐标； （3）求出点和点之间的距离． 【答案】（1），；，；，；（2）；（3）点和点之间的距离为 【分析】（1）观察网格可得各点坐标； （2）观察对应点坐标，变换规律为横、纵坐标都互为相反数，即关于原点中心对称； （3）利用两点间距离公式计算两点距离． （1）解：由题图知，；，；，． （2）解：对比（1）中对应点坐标：，；，；，， 规律：对应点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即关于原点中心对称． ， 对应点坐标为． （3）解：已知点、点， ， 点和点之间的距离为． 16.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是正方形的边上一点，经顺时针旋转后与重合，连接． （1）旋转中心是点______，旋转角度为_______； （2）是怎样的三角形? （3）若正方形的边长为，，求的长度． 【答案】（1）； 90；（2）是等腰直角三角形；（3） 【分析】（1）利用旋转的定义得出旋转中心； 利用正方形的性质得出旋转角的度数即可； （2）利用旋转的性质以及等腰直角三角形的判定得出即可； （3）在中，利用勾股定理求出的长，再在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出的长． （1）解：∵经顺时针旋转后与重合， ∴旋转中心是点． ∵四边形是正方形， ∴． ∵经顺时针旋转后与重合， ∴旋转角为， ∴旋转角为． （2）解：由旋转的性质得：，， ∴是等腰直角三角形． （3）解：由正方形的性质，得，， ， ， ∴． 17.（8分）（26-27九年级上·湖北·期中）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得，使点落在边上，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理，得到，由旋转得，，，再结合等边对等角，求出，即可求度数． 解：，， ． 绕点逆时针旋转得到，点恰好在上， ，，， ， ． 18.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． （1）点，之间的距离是_________； （2）请在图中画出． 【答案】（1）；（2）如图，即为所求． （1）解：∵，，将点绕点逆时针旋转得到， ∴． ∵， ∴点，之间的距离是； （2）略 19.（8分）（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：与关于点O中心对称， ，，， ， 即， ，， ， 在和中， ， ． （2） 【分析】（1）根据与关于点O中心对称得到：，，，等角的补角相等，用证明，进而得到； （2）利用已知条件和第一问得到的结论，推导出，进而得到，设的边上的高为h，得到，列出四边形的面积表达式，代入求值即可． 解：（1）略 （2）解：是边上一点，且，与关于点O中心对称，由（1）得， ，， ， ． 设的边上的高为h， ， ， ． 20.（8分）（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， , ， ． 在和中， ， ． （2），证明如下： ， ． 点为的中点， ， ， ． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，结合的条件，利用证明； （2）由（1）中全等三角形的性质，得到，根据线段中点的定义，得到，再结合线段进行等量代换即可求解． 解：（1）略 （2）略 21.（10分）（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． （1）线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】（1）＝，⊥；；（2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）略 （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 旋转单元自测培优卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论：①；②点A的对称点是点；③；④，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知点关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 6．（2026·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，菱形的顶点的坐标为．若菱形绕点逆时针方向旋转，每秒旋转，则第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为（   ） A． B． C．（） D． 7．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，第二象限内的点与另一点关于原点对称，则的值是_______． 10．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）点绕点顺时针旋转的点的坐标是_________． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是中心对称图形，直线经过四边形的对称中心点，若，四边形的面积为，则________，四边形的面积为_________． 13．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____．    三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，一个方格的边长为个单位长度，是经过某种变换后得到的图形． （1）请分别写出点与点，点与点，点与点的坐标； （2）已知是内一点，其坐标为，利用上述对应点之间的关系，写出点在中的对应点的坐标； （3）求出点和点之间的距离． 16.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是正方形的边上一点，经顺时针旋转后与重合，连接． （1）旋转中心是点______，旋转角度为_______； （2）是怎样的三角形? （3）若正方形的边长为，，求的长度． 17.（8分）（26-27九年级上·湖北·期中）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得，使点落在边上，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，求的度数． 18.（8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． （1）点，之间的距离是_________； （2）请在图中画出． 19.（8分）（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 20.（8分）（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 21.（10分）（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． （1）线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 学科网（北京）股份有限公司 $