第28章 旋转（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 新教材人教版八年级旋转单元拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖旋转性质、中心对称、坐标变换等，结合魔术、蜂窝等情境设计，适配单元复习与能力分层评价。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|旋转识别（扑克牌旋转）、旋转角度计算、中心对称与平移辨析|以魔术情境（第1题）考查旋转对称，结合正六边形（第4题）强化空间观念| |填空题|6/18|旋转定值问题、中心对称点坐标、旋转后线段计算|通过直角三角形旋转（第11题）培养推理能力，结合坐标系（第13题）落实几何直观| |解答题|7/72|旋转作图、性质探究（光谱六边形）、创新点定义应用|设计蜂窝“光谱六边形”探究（第21题），融合模型意识与创新思维，贴合中考综合题趋势|

第28章 旋转·拔尖卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌（方块4、黑桃5、梅花6、红桃7）放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，这一张牌是（     ） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【答案】A 【分析】认真观察和思考发现，由于左边这四张牌与右边的牌完全相同．似乎没有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中心对称图形． 【详解】解：图（1）与图（2）中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌是中心对称图形， 而图中只有方块4是中心对称图形，故方块4被旋转过． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 3．（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 【答案】A 【分析】本题以正六边形为载体，结合其被对角线分割为个全等的等边三角形的性质，利用平移、旋转、轴对称、中心对称的定义，逐一分析各选项中四边形的变换是否成立，判断错误的变换． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个全等的等边三角形， 各边长相等，各中心角为． 对于选项A： 四边形关于点中心对称，对应点为，，，得到的图形为四边形，而非四边形，故A项说法错误． 对于选项B： 将四边形沿射线方向平移线段的长度， 点，点，点，点，可得到四边形，故B项说法正确． 对于选项C： 将四边形绕点逆时针旋转， 点，点，点，可得到四边形，故C项说法变换正确． 对于选项D： 作过点且垂直于的直线为对称轴，四边形关于该直线轴对称，点，点，点，可得到四边形，故D项说法正确． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理求出，由O为矩形的对称中心，得，再根据推出，是的中位线，则，最后计算四边形的周长． 【详解】解： ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵O为矩形的对称中心， ∴O为矩形对角线的交点， ∴， ∵，O为的中点， ∴E为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为：． 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期中）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． ∴． 8．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用求得，进而可得，则可得，进而可求得，，则可得点的坐标为 ，再根据旋转的性质得到规律，进而可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图：    ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同， 第2026次旋转结束时，点的坐标为. 9．（2026·江苏南京·二模）如图，线段a，b的端点和A，B，C都是方格纸上的格点，已知下列变换：①沿直线翻折；②绕点A按顺时针方向旋转；③绕点B按顺时针方向旋转；④绕点C按顺时针方向旋转．其中，能使线段a经过一种变换后与线段b重合的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按变换的方式作图，再根据图形判定即可． 【详解】解：∵线段a，b关于直线对称， ∴线段a沿直线翻折后与线段b重合，①符合； 如下图所示，线段a，b的夹角是，线段a绕点A按逆时针方向旋转与线段b重合，②不符合； 线段a绕点B按顺时针方向旋转，如下图所示，旋转后与线段b重合，③符合； 线段a绕点C按顺时针方向旋转，如下图所示，旋转后与线段b不重合，④不符合； 综上分析可得，符合条件的变换是：①③． 10．如图1是一个由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，其中，．连接，，，交于点，图中阴影部分形如美丽的风车，如图2，其中，．当风车四个叶片面积都相等时，菱形的边长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据题意和图形拼接特点，推断出 共线， 共线，利用全等三角形性质得出线段长度关系；设菱形边长为 ，表示出相关线段长；利用三角形面积公式及中点性质，根据“风车四个叶片面积都相等”建立方程求解． 【详解】解：∵由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，，， ∴，，菱形， ，， 设菱形的边长为，则， ， 分别过作菱形四边垂线，垂足分别为， ∵菱形， ∴平分， ∴， 同理可得， 设， ∴，，，， ∵风车四个叶片面积都相等， ∴， 解得， ∴菱形的边长为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，已知直角三角形中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为，如图2，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，则m的值为__________． 【答案】/ 【分析】由旋转的性质可得，，则，进而得出，，则，因为为定值，则的系数为0，即可求出m的值． 【详解】解：三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为， ，， ， ，， ， 在旋转过程中，与始终满足为定值， ， 解得：． 12．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的性质求出点的坐标，再结合点在第三象限列出关于m的不等式，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 13．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】先过点作轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得出的度数，由旋转的性质得出，，结合点在上得出，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， 点落在线段上， ， ， 在中，由勾股定理得． 15．在等腰中，已知，是内一点，使，，，则边的长为_____． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接得到等腰，利用勾股定理求出长后通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，进而求出，过点作，交的延长线于，在中利用三角函数求出、长，进而求出长，在中利用勾股定理求出长，最后在等腰中，由求出长即可． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得，连接， ∴，，， ∴， 在中，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形 ∴， ∴， 过点作，交的延长线于， 则， 在中，，， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，设直线交于点，先推导出，平分，，得到是等边三角形，进而推导出，得到，同理可得，求出，得到，根据勾股定理，求出，在中，根据勾股定理，求出，即可求出． 【详解】解：连接，设直线交于点，如图， ∵，分别为菱形和菱形的对称中心， ∴过点，，过点， 四边形，四边形是菱形，是的中点，， ，平分， 点在的延长线上，， ， ． 四边形是菱形， ，， ∴， 是等边三角形 是菱形的对称中心， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 四边形是菱形，， 平分，， ， ∴， ∴， ， 在中，， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的；（点、、的对应点分别为、、） (2)将绕着点顺时针旋转得到，画出并写出点的坐标．（点、的对应点分别为、） 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2)如图所示，即为所求， 【分析】（1）根据关于原点对称的点，横、纵坐标都变为原坐标的相反数，可得点关于原点中心对称的点，，，依次连接，即可得到． （2）结合网格的直角特性，分别将点绕点顺时针旋转，得到点，，再顺次连接点，，即可得到，根据作图即可得到，． 【详解】（1）略； （2）略． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的中心对称作图与旋转变换作图，解题的关键点是利用关于原点对称的点的坐标规律，结合网格的直角特性确定旋转后的对应点位置，连线得到目标图形． 18．（8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 【答案】(1)既是轴对称图形，又是中心对称图形； (2) 设计的图形如图③、图④所示（答案不唯一）． 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，掌握中心对称的性质是解题关键． （1）观察图①和图②，发现它们既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）根据轴对称和中心对称的特征，在图③④中设计出既是轴对称又是中心对称的图形即可． 【详解】（1）解：既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）略 19．（10分）（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形． (1)如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数． (2)如图，当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，正方形的性质，推出为等腰三角形，进而求出的度数，利用角的和差关系即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长，证明为等边三角形即可得出结果. 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∵正方形，点落在的延长线上， ∴， ∴点落在线段上， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， 连接，则，， 由题意，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴. 20．（10分）（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标都为整数，则称该点为“整点”．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都是整点，其坐标分别为，，．与关于整点成中心对称． (1)在网格中作出； (2)直接写出内部（不含边界）的“整点”坐标； (3)若在网格区域内（包含边界）存在“整点”，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）利用中心对称点坐标公式求出，，，描点连线作图； ​（2）通过观察所作的，找出三角形内部整点； ​（3）分是平行四边形的边、对角线讨论，通过线段平移求点，舍去超出网格的点． 【详解】（1）解：根据中心对称的性质，若点关于点对称的点为，则， ，即，， ∴关于对称的点：， 关于对称的点：， 关于对称的点：， 在网格中描出，，，再依次连接即可得到； （2）通过观察所作的，内部的整点为，； （3）若是平行四边形的边，则：，， 情况1：把平移到处，即先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，同样的，把也向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，就能与重合，此时，如图： 情况2：把平移到处，即先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，同样的，把也向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，就能与重合，此时，不在网格区域内，不符合题意， 若是平行四边形的对角线，则，，把平移到处，即先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，同样的把先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，就能与重合，此时，如图： 21．（12分）（25-26九年级下·湖南长沙·期中）小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． (1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（    ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（    ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（    ） (2)【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． (3)【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 【答案】(1)√；×；√ (2) 证明：连接， ，， ，， ， ； (3) 【分析】（1）由题意得三组对边平行且相等，可构造中心对称结构，三条正对角线交于同一点且被该点平分，由此判断①③正确，由题意仅知三组对边平行无法得出邻角和为，故②不正确； （2）连接，根据、得、，进而可得即得证； （3）如图，作，，得“正光谱六边形”，根据等腰三角形面积公式计算其直角边长为，设“正光谱六边形”的边长为，根据图中得，解得，根据计算“正光谱六边形”的面积即可． 【详解】（1）①√ ；②× ；③ √； （2）略 （3）解：如图，作，，， 设“正光谱六边形”的边长为， 等腰直角三角形的面积为， 等腰直角三角形的直角边长为， ，即， ， 该“正光谱六边形”的面积为． 22．（12分）按要求完成下列各题： (1)如图①，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证，猜想之间的数量关系是 ； (2)如图②，在四边形中，，点E、F分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)如图②，之间的数量关系是； 证明：在线段上取线段，连接，得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，则重合，得，再证明，结合图形，由线段和差计算即可求解； （2）在线段上取线段，连接，得，再证明，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：之间的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴如图①，将绕点A逆时针旋转，则重合，得， 则， ∴，即点D，E，F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 23．（14分）（25-26八年级下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； (2)如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点，；②； (2)或． 【分析】（1）①先将正方形四顶点绕分别顺、逆时针旋转，得到点的全部边界范围，再对比三个给定点坐标，判断落在范围内的点即为创新点．②求出旋转后点的完整矩形区域，再求直线与该正方形有交点时的最值，进而确定的取值． （2先把正方形四顶点绕顺、逆时针旋转，得到含参数的点正方形区域，再联立直线与正方形边界，求解直线与区域存在交点时的临界值，最终整合的取值范围． 【详解】（1）解：①如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， ∵正方形的顶点坐标，，，， ∴由旋转可得、、、，点、、、， 结合图形可得点在正方形上，点不在正方形上，也不在正方形上，点在正方形上， ∴正方形的“创新点”是点，； ②由（）①得将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 综上，的取值范围为； （2）解：∵正方形的顶点坐标，，，， ∴正方形的对角线交点，点到正方形各边的距离都是， 如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、， ∴、、、，点、、、， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点； 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点， 综上，当或时，直线上存在点，使点为正方形的创新点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 旋转·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌（方块4、黑桃5、梅花6、红桃7）放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，这一张牌是（     ） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期中）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏南京·二模）如图，线段a，b的端点和A，B，C都是方格纸上的格点，已知下列变换：①沿直线翻折；②绕点A按顺时针方向旋转；③绕点B按顺时针方向旋转；④绕点C按顺时针方向旋转．其中，能使线段a经过一种变换后与线段b重合的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图1是一个由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，其中，．连接，，，交于点，图中阴影部分形如美丽的风车，如图2，其中，．当风车四个叶片面积都相等时，菱形的边长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，已知直角三角形中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为，如图2，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，则m的值为__________． 12．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 13．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 15．在等腰中，已知，是内一点，使，，，则边的长为_____． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的；（点、、的对应点分别为、、） (2)将绕着点顺时针旋转得到，画出并写出点的坐标．（点、的对应点分别为、） 18．（8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 19．（10分）（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形． (1)如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数． (2)如图，当时，求的长． 20．（10分）（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标都为整数，则称该点为“整点”．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都是整点，其坐标分别为，，．与关于整点成中心对称． (1)在网格中作出； (2)直接写出内部（不含边界）的“整点”坐标； (3)若在网格区域内（包含边界）存在“整点”，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 21．（12分）（25-26九年级下·湖南长沙·期中）小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． (1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（    ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（    ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（    ） (2)【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． (3)【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 22．（12分）按要求完成下列各题： (1)如图①，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证，猜想之间的数量关系是 ； (2)如图②，在四边形中，，点E、F分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 23．（14分）（25-26八年级下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； (2)如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $