广东省深圳市多校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段质量监测数学试题

2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测数学试题 参考答案 题号 2 9 4 5 6 7 6 9 10 答案 C B A D C A D A AB BC 题号 11 答案 ACD 1.C 【分析】根据空间向量模长的公式计算即可. 【详解】1.己知A(2,2,3),B(1,2,1),则AB=√13 2.B 【详解】直线1的斜率k= 9-1 =4. 2-0 3.【答案】A 【知识点】空间位置关系的向量证明 【详解】选项A,若直线a/1a,直线a的方向向量a平行于平面a,而平面a的法向量iLau,因此a⊥， 故A正确 选项B,若直线方向向量a/仍，则直线a/b,不是a⊥b,故B错误， 选项C,若平面a⊥B，则两个平面的法向量i⊥m,故C错误。 选项D,若直线b⊥a,则直线b的方向向量与平面a的法向量平行，不是垂直，故D错误 故选：A. 4.D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点：截距不为0用截距式设出 方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：a,b,则a+b=0 ①a=b=0,则直线过原点，则直线方程为：x-2y=0 ②a≠0，b≠0则6=-4，则设直线方程为：+二=1，即2+1=1，则a=1,÷直线方程为：x-y=1 a-a a-a 综上所述：该直线方程为x-2y=0或x-y=1 故选：D 5.C 【详解】已知点A(2,l,O)在平面α上，连接平面内点A和待求点P,得到向量 AP=(2-2,1-1,6-0)=(0,0,6) 答案第1页（共10页） 点到平面的距离公式为：点与平面内任意一点构成的向量，在平面法向量方向上的投影的绝对值，即 AP.n d= 因为Ap.=0×2+0×(-1)+6×2=12,同=√2+(-2+2=5=3， 所以点P到平面a的距离为：d=2-4 3 6.A 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积. 【详解】四面体ABCD的棱长都是4， ∴.四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， ,点M为棱AD的中点， M=号0， .CM-AB.Ci+AM)C+C-cos60+Dcos60 =-4x4×1+4xx4x1=-4, 1 2 2 2 故选：A. 7.D 【分析】作出图形，数形结合可得出直线I的斜率的取值范围. 【详解】过点P作PC⊥AB,垂足为点C,如图所示： B 股直线交线段B于点M,设直线U的率为k,且k1+山，k中 0-2 当点M在从点A运动到点C(不包括点C)时，直线I的倾斜角逐渐增大， 此时-1=kM≤k<0; 当点M在从点C运动到点B时，直线I的倾斜角逐渐增大，此时0≤k≤kB=I 综上所述，直线1的斜率的取值范围是[-1，] 答案第2页（共10页） 故选：D 8.A 【分析】以A为坐标原点，AB、AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，求P关于直线BC及y轴的对 称点，两点间距离即为所求 【详解】以A为坐标原点，AB、AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，因为△ABC为等腰直角三角形， 其中∠BAC=90°，且AB=2,则lC:x+y-2=0,点P(I,O),所以点P关于y轴的对称点为(-1,0)，设 点P关于直线1✉x+y-2=0的对称点为B,,则之1且+之-2-=0，解得B2,则 2 2 PO+OR+RP=PO+OR+RP=PB=10 【点睛】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光线的反射原理的应用，要根据光线的 反射原理，将折现问题转化为直线问题求解 9.AB 【分析】判断A,求得直线斜率可得倾斜角：判断B,由截距定义计算；判断C,作出图象，根据图象判 断；判断D,由直线平行的条件判断. 【详解】直线：x-y+2=0可化为y=x+2, 对于A,直线的斜率为1，所以倾斜角为子故A正确： 对于B,当x=0时，y=2,所以在y轴上的截距为2，故B正确： 对于C,作出直线I的图象如下： 2 由图象可知直线I经过第一、二、三象限，故C错误： 对于D,直线x+y-1=0的斜率为-1，与直线I不平行，故D错误. 故选：AB 10.BC 【分析】通过反例可说明A错误：根据空间向量共面定理可知B正确：根据投影向量的求法可知C正确； 根据ā.b≠0可确定直线与平面位置关系，知D错误 【详解】对于A,若d=(1,0,0),b=(0,l,0),c=(0,0,1),则a.b=b.c=0, 满足a⊥b,c⊥b,此时a与c不平行，A错误： 答案第3页（共10页） 对于B,:OP=O1+2OB0C且)+名-L=l,:P,4B,C四点共面，B正确： 3 236 …b= 对于C.在方的投影向量为N6化1,2)22少9 C正确： 对于D,ab=-8-2-2=-12,∴.a与b不垂直，∴l与a不平行且不在a内，D错误. 故选：BC 11.ACD 【分析】根据己知建系求出平面ACM的法向量得出m⊥BC进而判断A;利用向量法求出线面角判断D, 利用线面垂直得AE⊥平面CBB,C,求出四棱锥的高计算判断B;根据侧面展开图求出BQ+CQ的最小值 判断C 【详解】 2小 A C B B 以点A为坐标原点，AC、AB、AA,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xz, 则A(0,0,0),A(0,0,2),B(0,2,0),M(0,1,0),C(2,0,0),C(2,0,2), 则4M=(0,1,-2),AC=(2,0,-2),BC=（2,-2,2) 对于A,设平面ACM的一个法向量为m=(x,y,z), m·AM=0my-2z=0 由 ,得 m-4C=0’2x-2z=0 令x=1,则y=2,z=1,所以平面ACM的一个法向量为m=(1,2,1) ∴.m·BC=2-4+2=0,BC4平面A,CM,所以BC/1平面ACM,故A选项正确： 对于D,设直线AB与平面ACM所成角为O, m·AB AB=(0,2,0),所以sin0= 46 m AB V6x23,故D正确， 答案第4页（共10页） 对于B,过点A作AE⊥BC,垂足为E,又因为BB⊥平面ABC,AEC平面ABC, 所以AE⊥BB,BC∩BB=B,BC,BBc平面CBB,C,所以AE⊥平面CBB,C, 因为AAI/BB,BBc平面CBBC,AA丈平面CBBC,所以AAI/平面CBBC, 所以点A和点Q到平面CBB,C距离相同， 因为∠BAC=90,AB=AC=2,所以BC=2√2，AE=V4-2=√2， 所以四棱催Q-C8AC的体积为5×c2x22x5-弩放B错误： B A 对于C,展开侧面得出矩形CBBC,当连接BC交AA,于Q时， B0+C2的最小值为BC=VBB2+(4C+AB)2=V22+4=2W5,故C正确， 故选：ACD 12.2 【详解】直线3x+4y-3=0与直线3x+4y+7=0平行， 则它们之间的距离是 -3-71=2 V32+42 13.5 【分析】由斜率得AB⊥BC,从而可得AC是直角三角形的斜边，从而三角形面积. 【样】w-写-安-2.6ac18L0c,5=aABq=5 故答案为：5. 14.6 答案第5页（共10页） 【分析】设正方体外接球球心为O,把PM,PW用PO,OM,ON表示并计算数量积后可得. 【详解】设正方体外接球球心为O,外接球半径为3， 设正方体边长为a,√3a=6,a=25,即P0l=V5 PM.PN=(PO+OM).(PO+ON)=PO +OM.ON=PO-923-9=-6 故答案为：6. 15.【详解】(1)因为向量a=(1,0,1),b=(2,-2,0), -2分 所以2ā+b=(2,0,2)+(2,-2,0)=(4,-2,2).-- -4分 (2)由题意，向量a=(1,0,1),b=(2,-2,0), .a=V2+0+12=V2,b=V22+(-2)2+02=2√2---8分 (3)因为a.b=1×2+0×(-2)+1×0=2,--10分 所以cos0=a-6.2 1 1ab2x222, --12分 由0e0,,可得0= -------13分 3 16.【详解】(1)由A(4,0),C(0,3), 得所在的直线的斜率kc= 3-03 0-44’ 3分 所以4C所在的直线的方程：y-3=-3x,即3x+4y-12=0,4分 4 所以边AC所在的直线的一般式方程：3x+4y-12=0;---5分 (2)由A(4,0),B(6,7),C(0,3), 得BC的中点M坐标为(3,5)，---6分 AM所在的直线的斜率k4c= 5-0 =-5,-----8分 3-4 所以中线AM所在直线的方程：y-5=-5(x-3),即5x+y-20=0,----9分 所以中线AM所在直线的一般式方程为5x+y-20=0;---10分 (3)由A(4,0),B(6,7),C(0,3)得，边AB的斜率k= 7-07 6-42’-11分 所以边B上的高所在直线的斜率k=子12分 所以AB上的高所在直线的方程为：y-3=-2x,-14分 71 答案第6页（共10页） 即2x+7y-21=0, 所以边AB上的高所在直线的一般式方程为2x+7y-21=0. -15分 17.【详解】(1)如图建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)、C(2,2,0)、P(0,0,2)、B(2,0,0)、D(0,2,0),----1分 则AC=(2,2,0)、AP=(0,0,2)、BP=（-2,0,2)、DP=(0,-2,2),-2分 m.AC=2x+2y=0 设平面APC的法向量为m=(x,y,z),则 ，所以m=(-1,0）, -.4分 m.AP=2z=0 i.BP=-2a+2c=0 设平面PBD的法向量为n=(a,b,c),则 ,所以n=(1,1,),-6分 m.DP=-2b+2c=0 所以mn=0,所以平面PAC⊥平面PBD.-7分 ZA D 82--- B X (2)因为点M为棱PC的中点，所以M(1,l,1) -9分 所以BM=(-1,1,1),----11分 G.BM 1 设直线BM与平面PBD所成角为O,所以sinB= -14分 所以直线BM与平面PBD所成角的正弦值为3 -15分 18.【分析】(1)要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式， 求出定点坐标： (2)直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂 直于直线时，可求最大距离： (3)根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数 的值，从而得到直线方程， (1)证明：由直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1整理可得： 答案第7页（共10页） ay-2ar-y+3x-1=0,即a(y-2x)+(-y+3x-1)=0,-----2分 则由P-2x=0 x=1 -y+3x-1=0'即 y=21 -----4分 故直线1过定点Q1,2)；-5分 (2)当动直线1满足定点Q(1,2)与直线外点P(2,1)的连线垂直于1时， P(2,1)到直线1的距离最大，-- --6分 _2-1=-1,则k=l； 因为ke=1-2 --7分 因为1：(a-1y=(2a-3)x+1,故k=2a-3=l,解得a=2:…8分 a-1 (3)由l:(a-1)y=(2a-3)x+1可得： 20-3:当x=0时，y= 1 当y=0时，x= a-: -10分 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 1 >0 2a-3 解得1<a<2 3 -----12分 1 ->0 a- 此时三角形面积为S= 2(2a2-5a+3 -13分 要使面积取最小值，只需取y=2a2-5a+3的最小值即可； 南y=22-5a+3=2a--可知 --14分 48 当a时，y-2d-5+3氟技小值令此时面取绿小怡8-20-0问 2 -----16分 比时直线方程为任-少-(2x经小+1，甲2x+y-4=0.17分 I9.【详解】(I)由题意，因为四边形ABCD,ABEF均为正方形，所以AB⊥BC,AB⊥BE, 又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD⌒平面ABEF=AB,BCC平面ABCD 所以BC⊥平面ABEF.因BEC面ABEF,所以BE⊥BC,即直线BA,BE,BC两两垂直，----1分 故可以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 答案第8页（共10页） 因为正方形ABCD,ABEF的边长为1，所以B(O,0,0),A(1,0,0) 所以BA=(1,0,0), -.-2分 --3分 -4分 又BA为平面CBE的法向量，MNd平面CBE,所以MNII平面CBE.-- ----5分 7分 因a∈0，)，故当a=2时，MN取得最小值5 -9分 (3)由(2)，当MW的长最小时，a=2 2 t.Mgo》N22小aoao.4uooy ---------10分 w-3》w-(》西 设平面MNA的法向量为m=(x,,Z), m⊥MW mw-=0 则 → ,可取m=(1,1,1),---12分 m⊥AM AM=-1x 1 +23=0 设平面MWB的法向量为1=(x2,y2,z2), n⊥MW M=1 则 22=0 ，可取7=（-1,1,1)--------14分 n⊥BM a-+=0 设平面MNA与平面MNB所成的角为O, 答案第9页（共10页） 则cosg=os(m川= m-1+1+11 mn5x33’ 散平面MNA与平面MWB夹角的余弦值为，-17分 答案第10页（共10页）2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测 数学试题 时间：120分钟满分：150分命题人：白先龙尹仁忠审核人：白婷婷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答 题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的 答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知A(2,2,3),B(-1,2,1),则AB=() A.3 B.13 c.13 D.V12 2.已知直线1经过点A(0,1),B(2,9),则直线1的斜率为() A.-4 B.4 D.5 3.直线a,b的方向向量分别为ā，五，平面a,B的法向量分别为元，i,下列结论正确的是() A.若a/la,则a⊥i B.若a/b,则a⊥b C.若a上P,则l D.若b⊥x,则b⊥元 4.过点A(2,1)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为() A.x-y=1 B.x+y=3 C.x-2y=0或x+y=3 D.x-2y=0或x-y=1 5.已知平面a经过点A(2,1,0),其一个法向量为n=(2,-1,2),则点P(2,1,6)到平面a的距离为() A.2 B.3 C.4 D.6 6.如图，已知四面体ABCD的棱长都是4，M为棱AD的中点，则AB.CM的值() A.4 B.-2 C.2 D.4 7.已知A(2,-3)、B(2,),若直线1经过点P(0,-1),且与线段AB有交点，则1的斜 率的取值范围为() A.(-oo,-2]U[2,+o∞) B.[-2,2] C.（-o,-1]U[1,+o）D.[-1,1 试卷第1页（共4页） 8.如图，己知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，且AB=2,光线从AB边上的中点P出发， 经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长 PO+OR+RP=() A.V10 B.√5 C.2W10 D.10 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.关于直线kx-y+2=0,下列说法正确的有() A.直线I的倾斜角为 B.直线I在y轴上的截距为2 C.直线I经过第一、三、四象限 D.直线I与直线x+y-1=0平行 10.关于空间向量，以下说法正确的是() A.若非零向量a,b,c满足ā⊥b,c⊥b,则al B.若对空间中任意一点0，有0P-01+号05-。0C,则P,4BC四点共面 6 c,若空间向量ā=(@L小，万-(L2,则a在6上的技影向量为公行 D.己知直线l的方向向量为d=(2,1,-1),平面a的法向量为b=（-4,-2,2),则1Wa或1ca 11.在直三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，AB=AC=AA=2.点M为线段AB中点，点Q为棱 A4上的动点.则下列选项正确的是() A.BCI1平面ACM B.四棱锥Q-CBB,C的体积为16 C.BQ+CQ的最小值为2√5 D.直线AB与平面4CM所成角的正弦值为V6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线3x+4y-3=0与直线3x+4y+7=0平行，则它们之间的距离是 13.若A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC的面积为 14.已知正方体ABCD-ABCD的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正方体表面上任 意一点，则PMPN的最小值为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知向量=(1,0,1)，b=(2,-2,0),求： (1)2a+b: (2),5: (3)求ā与b的夹角0. 16.(本小题15分) 己知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,0),B(6,7),C(0,3) (1)求边AC所在的直线的一般式方程： (2)求BC边上的中线AM所在直线的一般式方程： (③)求边AB上的高所在直线的一般式方程. 17.(本小题15分) 四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形，PA=AB=2. (1)求证：平面PAC⊥平面PBD; P (2)设点M为棱PC的中点，求直线BM与平面PBD所成角的正弦值 M D 试卷第3页，共4页 18.(本小题17分) 已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1. (1①求证：直线1过定点： (2)若P(2,)到直线I的距离最大，求a的值： (3)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求1的方程. 19.(本小题17分) 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活 动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN长度保持相等，记 CM=BN=a(0<a<2). (1)求证：MW/平面CBE: (②)求MN的长，并求其最小值： D (3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MWB夹角的余弦值. 试卷第4项，共4页