广东深圳市平冈中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二年级数学期中试卷覆盖解析几何（抛物线、椭圆、双曲线）、立体几何（斜三棱柱、折叠问题）、向量等核心模块，解答题如立体几何折叠问题（17题）、轨迹方程与切线（18题）、双曲线综合（19题），考查空间观念、推理能力和模型意识，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|抛物线准线、直线平行距离、斜三棱柱向量表示|单选基础巩固，多选综合辨析（如圆的公切线判断）| |填空题|3/15|椭圆方程参数范围、双曲线标准方程、圆与钝角点|聚焦概念辨析与计算能力| |解答题|5/77|向量运算、椭圆与直线位置关系、立体几何折叠（空间证明、夹角、距离）、轨迹方程、双曲线综合|17题折叠问题考查空间观念，18题轨迹方程体现模型意识，19题综合推理能力，贴合高考真题综合性趋势|

平冈中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A 0 A D & A BCD ACD 题号 11 答案 ACD 1.C【详解】抛物线方程为2=4y,可得221， y=-1 抛物线的准线为 2.A【详解】因为直线：x+@y+2=0、4:2x+4y+3=0 相互平行， 所以2a-4=0,解得a=2, :x+2y+2=02x+4y+4=0 所以 ,即1 4-3到5 d= 所以1、12之间的距离”√22+42,10 3.D【详解1瓜-MC+CG+GN-8C+G-C- ac-列+G号c-6-小6--5+ 4.B【详解】设P关于”=x-的对称点为(a,b)】 6-4-1b+4_a+6-1 则有a-6 22 解得： a=5,b=5,即P(5,5) 反射光线所在直线为P0:)-0--2 5-05-2, 答案第1页，共2页 整理得：5x-3y-10=0 5.A.【详解】由椭圆和双曲线定义，不妨设 PRI>IPF 根据椭圆和双曲线的定义可得： PF+PF=10 PF-PF2=4 PF+PF=10 联立上面两式PF-PF=4,解之得：PF=7,PF=3, 由椭圆的方程可得=V25-16=3,所以焦距 FF =2c=6 所以cos∠EP5= PF+PF-EE-49+9-36_22_11 2PF PF 2×7×34221. 6D【详)设468因为4，B两点在曲线C6+。 上， 左+上=1) 169 所以有 2+发=12) 用()式减去(2)式可得足+生+=0 169 169169 即：-≤++0-+）-0， 6 9 P(2,1) 因为点 是线段AB的中点， [+2=2 2 根据中点坐标公式可得 ,即 y+y2=1 2 x+x2=4y+y2=2 -xG+,-04+2-0-业-？ 代入 16 9 ,可得-x28, y-y2 .9 而x-x就是直线1的斜率k,所以直线I的斜率为8. 答案第2页，共2页 国为后)1，放点p在标面肉：所以有线a与箱圆相胶，满起柔什。 7.B【详解1曲线C:x=V-0-少+1即(x-1少+0-少=1x≥)表示如图所示的半圆， 又1：k-y-2=0 定点：(0-2) 当：-y-2=0与半圆相切时，圆心) 到直线距离为1，则 片. Vk2+1 82 当直线过如图点B(1,0)时，斜率为：k= 立拗k的取值范围息32 8.A【详解】设=3m,则F可=m,=2a+3mF8=3m 由双曲线定义得： F.B-FB=3m-m=2a 解得m=a, 所以=4如，M丽-5a,可=3a,则△AB5为直角三角形，且 ∠B=90° 在A8F5中，a+9a2=4c'→e=i0 2, 9.BCD【详解】对于选项A,当=或片=”时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B,当直线经过点(0,0 时，直线方程为y=2x,即2x-y=0, 当直线不经过点0,0)时，设在轴和y轴上截距都为a,则。+。=，解得a=3 则直线方程为+号1，即x+y-3-0,所以B正确： 对于选项C,圆G标准方程为x+1旷+少1，圆心为1,0)，半径5=1， 答案第3页，共2页 圆9的标准方程为x-2+-4=16,圆心为2,4)，半径5=4， 可知lCC=V-1-2+4=5,且5+5=5， C 所以圆C与圆C外切，所以有3条公切线，所以C正确： 对于选项D,根据双曲线定义可得PFP=2a=4.又P所=5】 所以PF=l威PF=9.又2=a+=16,c=4, E≥e+a=6或P2c-a=2,所以P=9, 而 ,所以D正确 10.ACD【详解】对于A,直三棱柱 BC-ABC中，B61平面BC,BCC平面4BC B⊥BC 故 由于AB=3,BC=4,AC=5,故AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC, ABB,A 为8n1B=B,B8C平面1B84,ABc平面 因 ABBA 所以BC上平面4 BB ABB A 因为M是棱8上一点，AMC平面 所以BC⊥AM,故A选项正确： 对于B,在直三棱柱 8C-4BC中，BB1M.8aC平面4CCA,MC平面1CGA.放8” 平面 ACCA 所以G4=%06 过a作BD14C,垂足为D,由等面积法得DB=4B,BC_12 AC 5 在直三棱柱 BC-4BC中，M之平面4BC.BDc平面BC,故M1BD, ,故 答案第4页，共2页 4∩AC=A,AC平面 CC,AACC平面 ACCA 因为 所以BDL平面 ACCA 所过wc4ac头3x5x卫，即四陵锥M-4CC4的体积为p,敌B选项跟 3 5 BA,BC,BB 对于C,由题知 两两垂直， ABC-ABC BA,BC,BB 所以直三棱柱 外接球与以 为邻边的长方体的外接 球 相同， 所以直三棱柱 BC-4BG外接球的直径为V3+4+3=34 ABC-ABC 所以直三棱柱 外接球的表面积为34坏，故C选项正确： ABB,A BBCC 对于D,将平面 展开，与平面 共面，得到如下 图的矩 ACCA 形 所以M4+MC≥AC=V72+3=V58 MA +MC 所以 的最小值为 V58 ,故D选项正确： Ⅱ.ACD【详解】不妨设渐近线为= a',M在第一象限，N在第三象 限， AMAN 对于A,由双曲线的对称性可得 为平行四边形，故 5ππ ∠AMA,=π- 66: 故A正确： 对于B,方法一：因为M在以5为直径的圆上，故FM1FBM且MO=C, 答案第5页，共2页 场+哈=2 设 则=b,故=a,故 M(xo,yo) xo a %=bMA2⊥AA M 44-后成w=w号即u4-254 由A得 故B错误； F A A2(H)F. 方法二：因为an∠M04, a,因为双曲线中，c2=a2+b2, 则cos∠M04=总，又因为以F5为直径的圆与C的一条新近线交于M、N,则OM=c 则若过点M往x抽作垂线，垂足为H则O=c吕=a=p,则点月与4()）重合，则ML上x轴。 则M4=ve2-a=b 方法三：在△OM4利用余弦定理知，M4f=OM+O4-20MlO4cos∠M04, 即MAf=c2+a2-2acg=,则M4=b, 则a44M为直角三角形，且∠4M4,-石，则2M4,=VMA,故B错误： 对于C,方法一：因为M0=MA+MA),放4M02=M+2MMi+M, 由B可知 4-64-29 323 故离心率e=V3 ，故C正确； MAlb=3 b=2W5 b2 方法二：因为AA,2a,则a 故C正确； 答案第6页，共2页 对于D,当a=5时，由C可知=下，故=V26 故b=2V6,故四边形N4MM,为2SaM46=2×)×2W6×2V2=8V5 2 故D正确， 12.@u0, m>0 【详解】解：方程，广。1表示椭圆，即方程兰+产 m2m-3 m'-(2m-3) 1表示椭圆，则(2m-3)小>0 (m≠-(2m-3)'解得 0<m<2且m小即me@,U0. 3 x2 13.3y2=1 【详解】解根据题意，双曲线的渐近线方程为少~了 可化为：士3y=0,则可设双曲线方程为 2-3y2=(2≠0) 将点6代入-3y=(a≠0)，得3-35=（≠0），即1=3， B O x2 故双曲线方程为：3少=】 14、a>3. 【详解】如图，设圆0：+y2=a2 当圆M上存在一点在圆O内时，∠APB为钝角， 所以点P在圆O内，等价于圆O与圆M相交，内切或内含， a+2>0M=N3+4=5,得a>3. 15.四4-50，②57,6)10 【详解】1)由a=22,2,a+6=(6,-3,2),得5=(a+万)-a=4-5,0), 答案第7页，共2页 (②由1)符5-a=2-7.-2),而=2me1/6-0, 因此c=2,-7,-2,所以l©=2+(-7y+(-2y=57 (3)由(4)知，1a=12,16=41,a.6=-2 由(（ka+b)1(a+2b）,得（ka+6)a+2b)=a+2ka-6+ā-6+2万 =12k-4k-2+82=8k+80=0,所以k=-10, 16.)证明过程见解析(2士，士2 【详解】(1)将直线！的方程代入椭圆C方程中，得 (1+2m2)x2-4mx-2=0 该-元二次方程根的判别式△=16m+81+2m小>0 所以直线与椭圆C总有两个不同交点： 4m -2 (2)设A(,y)B(G,】,则有5+51+2m1+2m, 2 4g,所以+m内-=+mG+-4西=+m 因为AB=45 41m -4-2-45 八1+2m2 1+2m2 3 m25m-=号. 1+2m2 所以m的值为±号 2√72W7 17.(1)证明见详解(2)73)7 【详解】(1)连接BD, 因为M,N分别是PD,PB的中点， 所以MNIIBD, 又因为MN￠平面BCDE,BDC平面BCDE, 答案第8页，共2页 所以MN∥平面BCDE: (2)因为图1中，DE L AB,所以图2中DE⊥BE,DE⊥PE, 又因为PE⊥EB, 以E为原点，ED,EB,EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 由题意， E(0,0,0),D(22,0,0,B(0,4,0),P(0,0,4),C22,2,0,MN2,02）,N(02,2） 所uCM-(5,-2,2,=(5,20) m-MC=-√2x-2y+2z=0 设平面MCN的法向量为m=(x,y,z)所以mM=-V2x+2y=0 令x=V2,则y=1,2=2, 所以平面MCN的法向量为m=(V5,12)】 因为DE⊥PE,PE⊥EB,DE∩EB=B,DEC面BCDE,EBC面BCDE, 所以PE⊥面BCDE, 所以平面BCDE的法向量为 E=(0,0,-4) 设平面MCN与平面BCDE夹角为B, 所以cos0=cosm,PE= m·PE P 2v6 mPE V2+1+4×47, 27 所以平面MCW与平面BCDE夹角余弦值为7： (3)由(2②)知，平面MCv的法向量为m-(2,12) 又PC=(22,2-4) 答案第9页，共2页 m-PdV2×22+1×2-2×4_2万 所以点p到平面MCv的距离为同 V2+1+4 7 149 18.(1)c+1+y2=9,(②27：65’5. 【详解】(1)由题意 得P8=3PA,所以PB=91PA 设P(月，因为点4-20).-10,0. 所以+10+=[G+2+],化简得c++产=9 所以曲线的方程为x+1+广=9 (2)由1)知，曲线E是圆心为E(10),半径=3的圆， d=1-0-1.2 所以圆心E(←1,0)到直线m:x-y-1=0的距离为：、 +()方2 根据垂径定理可得：MW=2P-d2=29-2=2V7 (3)圆++y=9的圆心日 、E(-1,0 0,半径=3 因为点巴为直线：x-y+6=0上一动点，则可设，1+6) 因为0C,QD 是圆+少+y2=9 切线， 所以ED⊥QD,EC⊥CO,所以C,D也在以EO为直径的圆上， t-1t+6 以E为直径的圆的圆心为2’2， 半径为7+++6可=2V2r+14+37 答案第10页，共2页 所以以EQ为直径的圆的方程为 〔生-2+47 即+y-(《-)x-(+6)y-t=0。 ①， (x+1)2+y2=9,x2+y2+2x-8=0 化为 ②， 由②一①整理得 t+1)x+(6+t)y+t-8=0 所以直线CD的方程为 (t+1)x+(6+t)y+t-8=0 xs-14 5 多 ,令x+y+1=0,解得9， t(x+y+1)+x+6y-8=01x+6y-8=0 149Y 所以直线CD过定点(5'5 x2、y2 =1 19.(1)2(2)①3；②证明见解析 bb=3, 【详解】(1)由题意可知aa 则3e-+-2 b2 (2)①解：直线AB的方程为y=x+5, y=x+5, x2 y2 联立a3a=l得2x2-10x-(25+3a2)=0, 答案第11页，共2页 △=300+24a2>0 设A(G,y)B5,乃)则5+3=55=25+3a 2 由-号D丽，得-号， 2 代入x+x2=5,xx2=- 25+3a2 2，得。-1 x2-y2 则C的方程为一3】 ②证明：设E(,,F(xy 的方程为少=c+m y=+m, 联立-号-1得6-)r-2-+3=0 △=12(m2-+3)>0,且3-k≠0， 考+= 2km 3-k2 ekr=当-3当3=1 因为 =x-24-2, 所以+m-30c+m-3)=(x-20k,-2) 即k-+[k(m-3)+2](s+x)+m2-6m+5=0 则收-刂[m-习0+-6m+5=0, 整理得4k2-2km-2m2+9m-9=0, 即2k-2m+32k+m-3)=0 因为点P不在直线1上，所以2k+m-3≠0，则2k-2m+3=0, 答案第12页，共2页 则m=k 2l:y=k(x+1)+ 故直线过定点（ 答案第13页，共2页 平冈中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：8：30-10：30 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（    ） A． B． C． D． 4．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 5、若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 （    ） A． B． C． D． 6．已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 7.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线方程为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 C．圆与圆恰有3条公切线 D．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点，若，则 10．在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（   ） A． B． 四棱锥的体积为6 C．直三棱柱外接球的表面积为 D．的最小值为 11．双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为 . 13．已知双曲线过点且渐近线为，则双曲线的标准方程为 . 14．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为 . 四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 16．（15分）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 17．（15分）如图1，已知梯形中，，是边的中点，，，将沿折起，使点到达点的位置，且，如图2，，分别是，的中点.   (1)求证：平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 18．（17分）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于M，N两点．求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 19．（17分）已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 平冈中学2025-2026学年第一学期期中数学考试试题第1页，共2页 平冈中学2025-2026学年第一学期期中数学考试试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $