上海市三林中学2026-2027学年高二上学期10月阶段一教学质量检测数学试卷

三林中学2026学年第一学期阶段一教学质量检测 高二数学 命题人：沈曹昀 审题人：顾伟 逻辑思维：沈曹昀 2026.10 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 点在直线上，可用集合符号表示为______． 2. 命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 3. 如图所示，的斜二测直观图为等腰直角，其中，则的面积为_____. 4. 空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 5. 三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有______条. 6. 如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______． 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为______． 8. 线段在平面的一侧，它的两个端点、到平面的距离分别为14cm和2cm，则此线段中点到平面的距离为___________． 9. 已知点为所在平面外一点，如果、、与平面所成角都相等，点在平面的投影在内，那么是的______. 10. 已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 11. 2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是______． 12. 《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖臑”.从正方体的8个顶点中选择4个顶点，可组成__________个不同的“鳖臑”. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分） 13. 记异面直线所成角的取值范围为集合，直线与平面所成角的取值范围为集合，二面角的取值范围为集合，则下列关于这三个集合之间的关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（ ）次. A. 0 B. 2 C. 4 D. 12 16. 如图，把一个棱长为1的正方体分成个棱长为的小正方体，挖去位于正方体六个面正中心的6个小正方体以及位于正方体正中心的1个小正方体，剩下20个小正方体，称为第1级图形.再对第1级图形中剩下的每一个小正方体重复上述操作，得到第2级图形……如此无限操作下去，最终得到的图形称为门格海绵.记第级图形的体积为，表面积为. ①把原正方体细分为个最小正方体，第级图形占据其中个，被挖去个； ②随着的增大，逐渐增大且趋近于正无穷，逐渐减小； ③从第2级图形起，内部出现了6个面都不外露的小正方体； ④门格海绵完整保留了原正方体的8个顶点和12条棱. 其中正确结论的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，.求该圆柱的体积与表面积. 18. 如图，在四面体中，，，分别为棱，，上异于端点的点，且. （1）求证：平面平面； （2）在线段上取点（不在端点），连接，证明：若点为线段与的交点，则. 19. 如图，在正方体中，． （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成的角． 20. 如图，在正方体中，棱长为1，为棱的中点. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）若为棱上的一点，且平面平面，求的值. 21. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，为线段的中点. （1）证明：. （2）若，求二面角的余弦值. （3）若，点在线段上（不含端点），平面与平面所成锐二面角为.若，求的取值范围. 三林中学2026学年第一学期阶段一教学质量检测 高二数学 命题人：沈曹昀 审题人：顾伟 逻辑思维：沈曹昀 2026.10 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】假 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】或 【5题答案】 【答案】3 【6题答案】 【答案】相交 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】8 【9题答案】 【答案】外心 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】①②③ 【12题答案】 【答案】24 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 【17题答案】 【答案】体积为，表面积为. 【18题答案】 【答案】（1）证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． （2）证明：连接，显然与相交，交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 【19题答案】 【答案】（1）在正方体中，， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面； （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO， 因为在正方体中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点， 又因为E为的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE， 所以直线平面； （3） 【21题答案】 【答案】（1）以为原点，、、分别为、、轴正方向， 建立空间直角坐标系， 设，底面是边长为2的正方形， 则， ， 因为为中点，所以， 因为，， ， 所以，即. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $