精品解析：上海市川沙中学、川沙中学友任分校、华东理工大学附属浦东科技高级中学三校联考2026-2027学年高二第一学期阶段一考试数学试题

川沙中学—川沙中学友任分校—华理浦东科高三校联考 2026学年第一学期高二数学阶段一考试 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号. 3．考试时间：90分钟. 一、填空题（本大题共12题，满分36分） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】可变形为 易知该直线方程斜率为，设直线的倾斜角为， 则，所以. 2. 已知，若，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知， 因为，则， 可得，解得． 3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以， 即， 所以， 则m的取值范围是． 4. 已知点，点B在直线上，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】点，点B在直线上， 则的最小值为点到直线的距离， 即. 5. 已知表示圆，则实数a的取值范围是______． 【答案】或者. 【解析】 【详解】转化为，根据圆的标准方程可知， 半径，故，解得或者. 6. 已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 7. 已知直线l过，且与直线的夹角为则直线l的方程为_______． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据直线的斜率和倾斜角的关系，利用两直线的夹角判断直线斜率，需考虑斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论． 【详解】因为直线可整理为；故； 因为两直线的夹角，则； 故；则； 设直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角为或； 因为不存在，直线l过，故直线方程为； 的倾斜角为， ，； 则两直线夹角为，则； 故符合条件； 因为； 故直线l的方程为，整理可得； 综上直线l的方程为或． 8. 若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】曲线表示半径的半圆，再利用数形结合表示直线与圆的位置关系，求参数的取值范围. 【详解】由题意，曲线表示半径的半圆，且， 设直线与半圆相切， 则，解得或（舍）， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 如图所示，当直线经过时为临界值， 即， 所以当时，直线与曲线恰有两个公共点. 故答案为：. 9. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】如图， 对椭圆，，，所以. 设为椭圆的右焦点，则， 因为，， 所以，即. 10. 如图，在三棱锥中，，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为 11. 在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆定义可得，进而利用余弦定理列式求解. 【详解】因为，所以， 因为与互补，且， 由余弦定理可得， 可得，所以. 故选：C． 12. 空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件求出相关向量的模及数量积，分析可知点的轨迹是与垂直的平面，记为平面，点的轨迹是以线段为直径的球，且即为平面上的点与球上的点之间的距离，求球心到平面的距离，结合球的性质运算求解即可． 【详解】设， 因为，的两两夹角都是， 则， 可得， 若，即， 可知点的轨迹是与垂直的平面，记为平面，且向量在方向上的投影为， 又因为， 若，即，则， 可知点的轨迹是以线段为直径的球， 设球心为的中点，则，半径， 可知平面的法向量为，且， 则即为平面上的点与球上的点之间的距离， 因为， 则， 可得球心到平面的距离为：， 且，所以的最小值为． 故答案为：． 二、选择题（本大题共4题，共12分） 13. 直线与直线垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】由直线与直线垂直， 得， 所以， 解得. 14. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 15. 在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为．则以下命题错误的是（ ） A. 若，为直线上的动点，则取最小值时，的坐标为 B. 到两点的“直角距离”之和为的点的集合是面积为的六边形 C. 到原点的“直角距离”等于1的点的集合是一个正方形 D. 圆上一点与直线上一点的“直角距离”的最小值是1 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由题设可得，分类讨论去掉绝对值，据此可判断选项正误；对于B，由题设可得，讨论的取值去掉绝对值，画出方程对应图形可判断选项正误；对于C，由题设可得，讨论的取值去掉绝对值，画出方程对应图形可判断选项正误；对于D，注意到两点间的“直角距离”不小于两点间距离，计算圆上一点到直线上一点的最短距离，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，设，则. 当时，；当时，； 当时，.综上可得：，取等号时， 即此时，故A正确； 对于B，设到两点的“直角距离”之和为，则由题可得. 当时，， 此时若，则； 若，则；若，则. 当时，，类似于时，关于的讨论可得： 时，；时，；时，. 由以上分析可画出方程的图形如下： 该图形为6边形，且面积为，故B正确； 对于C，设到原点的“直角距离”为1，则. 当时，；当时，； 当时，；时，. 据此可得方程对应图形如下： 该图形为边长为的正方形，故C正确； 对于D，注意到 ，当两点连线斜率为0或连线斜率不存在时取等号. 则两点间的“直角距离”不小于两点间距离. 而圆上一点到直线上一点的最短距离为， 而取最值时，对应两点斜率存在且不为，则对应两点的“直角距离”大于1， 对于其他的相关点，两点间距离均大于1，从而圆上任意一点到直线的“直角距离”大于1，D错误. 三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+12+14=52分） 17. 如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． （1）求证: 平面； （2）求到平面的距离． 【答案】（1）以为原点，为正方向，建立如图所示空间直角坐标系. . 所以 因为 所以为平面CEF的法向量，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面法向量证明平面即可；（2）先写出平面的方程，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以平面方程为， 即， 所以到平面的距离为 18. 已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． （1）若，求的值； （2）若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）先由圆的方程求出的范围，再由直线与圆相交的弦长公式求解即可； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，根据，求解即可. 【小问1详解】 因为圆， 所以，解得， 且圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 由弦长公式可得， 所以，解得，满足， 所以. 【小问2详解】 当时，则圆心，半径， 设直线的方程为， 由圆心到直线的距离， 又因为直线与圆C相切， 所以， 即， 解得或， 所以直线的方程为或. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点． （1）若D为中点，求异面直线BD与EF所成角的大小； （2）若求平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）（2）根据直三棱柱且底面为直角三角形，即可取三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，通过线线角，二面角与向量角之间的关系即可借助空间向量计算． 【小问1详解】 三棱柱为直三棱柱，底面； 又， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系； ，且侧面为正方形，； E，F分别为AC和的中点，D为中点， ； ，； 设异面直线BD与EF所成角为， 则； 故异面直线BD与EF所成角的大小为； 【小问2详解】 ，；则； 取为平面法向量； 设平面的法向量， ，；解得； 令，则； ； 平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值为． 20. 已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； （3）若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【小问1详解】 由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. 【小问3详解】 如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 21. 已知椭圆的左右焦点为，O为原点． （1）垂直于轴的直线交椭圆于A、B两点，且的面积，求直线的方程； （2）若椭圆上存在点，且，求的纵坐标； （3）直线过，且交椭圆于、两点，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3）若直线斜率不存在，则，此时可得， ，； 若直线斜率存在，设，将直线与椭圆方程联立：， 化简可得：. 判别式为：，设， 由韦达定理可得：. . = ， 从而此时. 综上可得：为定值. 【解析】 【分析】（1）由题可得三角形面积表达式，计算可得答案； （2）根据余弦定理及椭圆的定义及计算可得答案； （3）分直线斜率不存在，直线存在两种情况，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示可完成证明. 【小问1详解】 由题可得. 设直线，与椭圆联立可得：， 则可得，又设直线与轴交点为，则， 从而， 解得：， 则或，则，从而直线方程为：； 【小问2详解】 由题可得：，由余弦定理， ， 则，从， 又注意到，则， 即的纵坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川沙中学—川沙中学友任分校—华理浦东科高三校联考 2026学年第一学期高二数学阶段一考试 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号. 3．考试时间：90分钟. 一、填空题（本大题共12题，满分36分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 已知，若，则m的值为______． 3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 4. 已知点，点B在直线上，则的最小值是______． 5. 已知表示圆，则实数a的取值范围是______． 6. 已知圆与圆外切，则a的值为______． 7. 已知直线l过，且与直线的夹角为则直线l的方程为_______． 8. 若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围为_____. 9. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 10. 如图，在三棱锥中，，则_______． 11. 在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_____________. 12. 空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是___________． 二、选择题（本大题共4题，共12分） 13. 直线与直线垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 14. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 15. 在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为．则以下命题错误的是（ ） A. 若，为直线上的动点，则取最小值时，的坐标为 B. 到两点的“直角距离”之和为的点的集合是面积为的六边形 C. 到原点的“直角距离”等于1的点的集合是一个正方形 D. 圆上一点与直线上一点的“直角距离”的最小值是1 三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+12+14=52分） 17. 如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． （1）求证: 平面； （2）求到平面的距离． 18. 已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． （1）若，求的值； （2）若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点． （1）若D为中点，求异面直线BD与EF所成角的大小； （2）若求平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值． 20. 已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； （3）若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 21. 已知椭圆的左右焦点为，O为原点． （1）垂直于轴的直线交椭圆于A、B两点，且的面积，求直线的方程； （2）若椭圆上存在点，且，求的纵坐标； （3）直线过，且交椭圆于、两点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $