精品解析：福建泉州第五中学2026-2027学年高一上学期第一次测试数学试题

泉州五中2029届高一上数学单元测试一 满分120分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，．则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 6. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 8. 若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“”是真命题 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “且”是“”的充分不必要条件 11. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 不等式的解集是_____． 13. 用列举法表示集合______________________． 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 15. 定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集.若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________. 四、解答题：本题共3小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知集合，，，且. （1）求集合的真子集的个数； （2）求实数的值组成的集合； （3）若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 18. 对于给定的非空数集，定义集合，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2029届高一上数学单元测试一 满分120分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为或， 所以. 2. 已知命题，．则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得命题，的否定为，，故C正确. 3. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算及集合间的关系，得到，进而求解即可. 【详解】因为，则， 又，所以集合的个数为． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况求解不等式，再取其并集，即可得不等式的解集. 【详解】由不等式，知且. 当，即且时， 因为，所以不等式恒成立； 当，即时， ，， 即，， 所以或（与矛盾，舍去）. 综上所述，不等式的解集为. 5. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 6. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：集合是集合的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 当时，集合是集合的真子集； 当时，集合是集合的真子集. f故实数的取值范围是. 7. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，观看过田径类与游泳类比赛的有人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，画出图结合题意求解即可. 【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人， 观看过田径类与游泳类比赛的有人，则， 只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，如图，则①， 因为有18人没看过球类比赛，所以， 因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，， 所以②，由①②得，则． 故选：A． 8. 若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 故选：A 【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“”是真命题 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的常数2移项并通分，再转化为一元二次不等式求解. 【详解】即，即，即， 等价于解得，即 所以不等式的解集是： 13. 用列举法表示集合______________________． 【答案】 【解析】 【详解】已知， 因为， 所以， 故必须为整数，否则为分数，不可能是正整数， 因此是6的约数，即的可能取值为1，2，3，6， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 综上，符合条件的y的取值为1和5，故该集合为． 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，分类讨论集合中元素可得解. 【详解】由已知，且， 由， （1）当，即时，由解得，不满足； （2）当时，①由，即时，则，满足； ②当，则，此时，不满足； ③当时，由知，则，解得， 综上，的取值范围是. 15. 定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集.若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________. 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】（1）根据元规范数集的定义列不等式求解； （2）由为6元规范数集，得中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 设中所有元素从小到大依次为：，再根据绝对值不等式求解即可. 【详解】（1）集合为4元规范数集， 中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 所以解得取交集得. （2）设中所有元素从小到大依次为：， 若为6元规范数集，则中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 即有，所以， ， ， ， 当时，， 所以中所有元素的绝对值之和的最小值为9. 四、解答题：本题共3小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 17. 已知集合，，，且. （1）求集合的真子集的个数； （2）求实数的值组成的集合； （3）若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解集合，再结合集合的子集个数即可求解； （2）先求解集合，再结合集合的包含关系即可求解； （3）先求解集合、，再结合集合和集合的定义规则即可求解. 【小问1详解】 已知集合，解方程，得或，故， 由可知，是的所有子集构成的集合， 集合有个元素，故的子集共个，即含个元素， 所以的真子集个数为. 【小问2详解】 由（1）可知，，集合， 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无解，，空集是任意集合的子集，符合条件； ② 当时，，由得或，解得或； 综上，实数的取值集合为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由且，得或，故，所以， 由得的候选值为，由于集合， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故，所有元素的和为. 18. 对于给定的非空数集，定义集合，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），，具有孪生性质. （2） 由集合， 得集合的元素在中产生， 且， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即， 则构成的元素为，且与0或或重复， 又，所以，即. （3）1350. 【解析】 【分析】（1）根据集合定义计算即可. （2）根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证. （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. 【小问1详解】 由集合，得，因此， 又，所以. 因为，所以具有孪生性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，， 设满足题意，其中， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为， 因此，即，解得， . 则，满足， 所以具有孪生性质. 所以集合中元素的个数的最大值是1350. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $