精品解析：山东淄博市博山区2026-2027学年上学期期中考试九年级数学试题（B）卷

2026——2027学年度第一学期期中考试 初四数学试题（B） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图所示的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. 的值随值的增大而减小 4. 在中，，若的三边都缩小到原来的，则的值（ ） A. 缩小到 B. 放大3倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 在同一平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（ ） A. B. C. 1m D. 7. 已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知二次函数的图象过点A，B，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点О在原点，A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数图象交AB边于点D，交BC边于点E，连接EO并延长，交的图象于点F，连接DE，DO，DF，若，，则k的值等于（ ） A. 3 B. 4.6 C. 6 D. 8 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 函数y=的自变量x的取值范围是_____． 12. 已知为锐角，且，则________度． 13. 二次函数的最小值为 _____． 14. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为_________m． 15. 如图，已知一个反比例函数的图象经过的直角边的中点，交斜边于点，连接，若的面积为1，则的值为____________． 三、解答题（16，17，18，19每题10分，20，21每题12分，22，23每题13分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知二次函数 （1）填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … （2）结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 18. 某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据） 计算器按键顺序 结果 （1）求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）； （2）求该段河道的宽度（结果保留整数）． 19. 如图，利用总长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （2）如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是多少？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）在轴上存在一点，使．求点的坐标． 21. “人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 22. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． （1）根据以上条件结合材料中的结论，求的值； （2）求的面积． 【综合应用】 （3）在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年度第一学期期中考试 初四数学试题（B） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图所示的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看去，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：C． 2. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 3. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. 的值随值的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键． 根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，逐项判断，即可求解． 【详解】解：当时，，故A错误； 反比例函数的图象均关于原点中心对称，故B正确； ，则图象位于第一、三象限，故C错误； ，则 在每个象限内y随x的增大而减小，故D错误． 故选 B． 4. 在中，，若的三边都缩小到原来的，则的值（ ） A. 缩小到 B. 放大3倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义，正确理解正弦函数的定义是解题的关键． 变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可得的大小不变，即得答案． 【详解】解：在中，，若的三边都缩小到原来的，则变化后的三角形与原三角形相似， ∴的大小没有发生变化， ∴的值不变． 故选C． 5. 在同一平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次函数一般式改为顶点式确定顶点坐标，再利用点平移的坐标规律求解即可． 【详解】二次函数改为顶点式为：． ∴该二次函数的顶点为， ∴把点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的对应点为，即． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握点平移的坐标规律是解答本题的关键． 6. 如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（ ） A. B. C. 1m D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数求出梯子顶端在两次位置时的高度，再求高度差． 【详解】解：在中， . 在中，， ， ， 梯子顶端上升了． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数和勾股定理求出相关线段的长度． 7. 已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．根据一次函数和反比例函数交点坐标，找出当一次函数图象低于反比例函数图像时，自变量的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于， ∴由图可知，当或时，， 故选：B． 8. 已知二次函数的图象过点A，B，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断函数图象开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∴， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点是， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点О在原点，A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数图象交AB边于点D，交BC边于点E，连接EO并延长，交的图象于点F，连接DE，DO，DF，若，，则k的值等于（ ） A. 3 B. 4.6 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数图象的中心对称性质，则OE=OF，由四边形OABC为正方形，可得OA=OC，∠OCA=∠OAB=90°由点E，D在反比例函数图像上，可证CE=AD，可证△OCE≌△OAD（SAS）可得OE=OD=OF，由中线性质S△ODE=S△ODF=8，由，可知CE，BE=设正方形的边长为m，利用正方形面积构造方程，求出进而求 即可． 【详解】解：由反比例函数图象的中心对称性质， 则OE=OF， ∵四边形OABC为正方形， ∴OA=OC，∠OCA=∠OAB=90°， 由点E，D在反比例函数图像上， ∴CE=AD=， 在△OCE和△OAD中， ， ∴△OCE≌△OAD（SAS）， ∴OE=OD=OF， ∴S△ODE=S△ODF=8， ∵， ∴CE=，BE=， 设正方形的边长为m， S正方形OABC=2S△OCE+S△BED+S△OED， 即m2=2×， ∴， ∵点E在反比例函数图像上E（）， ∴． 故选择：C． 【点睛】本题考查反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握关键是抓住正方形面积构造方程． 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， 时，，故③正确， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确. 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 函数y=的自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≤且x≠0 【解析】 【详解】根据题意得x≠0且1﹣2x≥0， 所以且． 故答案为且． 12. 已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【解析】 【分析】结合为锐角的取值范围，利用特殊角的余弦值确定的度数，进而求解的值． 【详解】解：∵为锐角 ∴ ∴ ∵，且 ∴ ∴． 13. 二次函数的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数解析式化成顶点式可以得到解答． 【详解】解：∵ = =， ∴当时，函数的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式是解题关键． 14. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为_________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数解析式是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知一个反比例函数的图象经过的直角边的中点，交斜边于点，连接，若的面积为1，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据中位线的性质和四边形面积得出结果． 【详解】解：过点作轴于点，交于点，作轴于点，则：MD∥NC∥OA， ∴∠CAO=∠NOA=∠CNO=90°， ∴四边形CNOA是矩形， ∴CN=AO 设点， ∵点是的中点，CN∥OA， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，三角形中位线定理，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 三、解答题（16，17，18，19每题10分，20，21每题12分，22，23每题13分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 已知二次函数 （1）填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … （2）结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 【答案】（1）；2；3；2； （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： ⋯ 0 1 ⋯ ⋯ 2 3 2 ⋯ 描点并连线略 【小问2详解】 略 18. 某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据） 计算器按键顺序 结果 （1）求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）； （2）求该段河道的宽度（结果保留整数）． 【答案】（1）米 （2）河道的宽度约为米 【解析】 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用矩形转移等高线段，再结合三角函数求边长，最后用线段的等量关系列等式求河宽．关键易错点是无人机从到是朝的方向（向左）水平飞行，因此线段关系为． 【小问1详解】 解：如图所示：过点作于． 在中，，， 答：无人机从飞到时垂直上升的距离为米． 【小问2详解】 解：如图所示：过点作，交的延长线于，则四边形为矩形， 在中： 在中，，： ，而，， ∴ ∴ ， 答：该段河道的宽度约为米． 19. 如图，利用总长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （2）如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设的长度为，则，根据题意列出方程解答即可求解； （）设花圃面积为，则，又根据墙的最大可用长度为可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设的长度为，则， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：的长度为； 【小问2详解】 解：设花圃面积为，则， ∵墙的最大可用长度为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，花圃面积最大，最大面积， 答：最大面积是． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）在轴上存在一点，使．求点的坐标． 【答案】（1）； （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用点坐标求出反比例函数表达式，再通过点横坐标求出点坐标，最后用两点坐标求一次函数表达式． （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再将的面积拆分为与的面积之和，代入坐标计算面积． （3）先设轴上点的坐标为，求出和的边长，再根据相似三角形对应边成比例列方程，求解的值即可得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为：； ∵点的横坐标为，且在上， ∴当时，， ∴， ∵点、在一次函数上 ∴ 解得， ∴一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴交于点， ∴令，得， ∴，即， ∴， ∵， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 当时，， ∵，， ∴比例成立，符合题意； 当时，， ∵， ∴比例不成立，不符合题意， 综上，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形面积的计算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数表达式的求法、坐标与线段长度的转化及相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 21. “人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】（1）（），（）； （2）每天至少需要执勤的时间为分钟 【解析】 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； 【小问2详解】 解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 22. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为， （3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； 【小问3详解】 解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 23. 【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． （1）根据以上条件结合材料中的结论，求的值； （2）求的面积． 【综合应用】 （3）在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题目总结出的结论，代入数值计算即可； （2）先求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可； （3）利用题目中总结出的正结论代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由题意可得，，，； 由题意得， ∴ ． 答： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $