2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级上学期期中自编模拟数学试题三（山东泰安适用）

初四数学期中自编模拟试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．若反比例函数y＝（2k﹣1）x的图象位于第二、四象限，则k的值（　　） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 2．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A，B在反比例函数（常数k＞0）图象上，作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥AC于点E，连接OA，OE，BC．则下列三角形中，与△OAE的面积一定相等的是（　　） A．△OAD B．△OCE C．△ABE D．△BCE 4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　） A．1 B．sin2α+1 C．1 D．cos2α+1 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象过A（3，2），B（﹣1，﹣2），下列c取到（　　）时，a最小． A．2 B．1 C．0 D．﹣1 6．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　） （结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．48m D．51m 7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 8．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 D．水温不低于30℃的时间为min 9．已知函数y＝﹣2（x﹣1）2+8，若当t≤x≤t+2时，函数y的最大值为m，最小值为n，且，则t的值等于（　　） A． B． C．或 D．或 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0； ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3； ⑤当x1＜x2＜0时，y1＜y2． 其中结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m，则这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是 ____________________ ． 12．图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为____________________ ． 13．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，BD平分∠ABC，交AC与点D，，，则BC＝ _____ ． 14．如图是函数与的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2﹣k1＝_____ ． 15．某人将进货单价为8元的商品，若按每件10元出售时每天可售100件，现他想用提高售价，减少销量的办法增加每天的收入．已知这种商品的单价每涨价1元，其每天的销售量就减少10件，要想每天获得的利润最大，则每件商品销售价格应定为 _______ 元． 16．如图，已知函数y＝2x2与函数y＝﹣ax2+bx的交点为y＝﹣ax2+bx的顶点，阴影部分的面积为2，则a＝ _____ ，b＝ _____ ． 三．解答题（共8小题，共86分） 17．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 18．（8分）已知：如图．在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，，OB＝4，OE＝2． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△BOD的面积． 19．（8分）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 20．（12分）已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）． （1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值． 21．（12分）已知反比例函数的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象在第一象限内交于点A，其中一次函数的图象过点（a，b）和（a+1，b+k）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请问在x轴上是否存在点B，使△AOB为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的B点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标x（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标y（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知1≤y≤35． （1）根据所给信息，求y与x的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 23．（14分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 24．（14分）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的横坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．若反比例函数y＝（2k﹣1）x的图象位于第二、四象限，则k的值（　　） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 【分析】先根据反比例函数的定义列出方程求出k的可能取值，再根据图象经过的象限决定常数的取值范围，进而得出k的值． 【解答】解：依题意有2k2﹣2k﹣1＝﹣1， 解得k＝0或k＝1， 又因为函数图象位于第二、四象限， 所以2k﹣1＜0， 即k． 所以k＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．属于基础题． 2．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值． 【解答】解：如图，取网格点D，连接BD， 由网格图，可得：AD3，，AB2， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴tanA， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 3．如图，点A，B在反比例函数（常数k＞0）图象上，作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥AC于点E，连接OA，OE，BC．则下列三角形中，与△OAE的面积一定相等的是（　　） A．△OAD B．△OCE C．△ABE D．△BCE 【分析】连接OB，延长BE交y轴于点F，则四边形OFEC为矩形，有和S△BCE＝S△BOF+S△BCO﹣SOFEC，结合反比例函数的几何性质化简即可． 【解答】解：连接OB，延长BE交y轴于点F，如图， 由条件可知四边形OFEC为矩形，S△OAEOC•ACOC•CEkOC•CE， ， 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，熟练掌握以上知识点是关键． 4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　） A．1 B．sin2α+1 C．1 D．cos2α+1 【分析】在Rt△OAB中，sinα，可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝BC＝1， 在Rt△OAB中，sinα， ∴OB， 在Rt△OBC中， OB2+BC2＝OC2， ∴OC2＝（）2+12． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象过A（3，2），B（﹣1，﹣2），下列c取到（　　）时，a最小． A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】先把A点和B点坐标分别代入二次函数解析式，则可用a分别表示出b、c，即c＝﹣3a﹣1，利用一次函数的性质判断即可． 【解答】解：把A（3，2），B（﹣1，﹣2）分别代入y＝ax2+bx+c得， ∴c＝﹣3a﹣1， ∴c随a的增大而减小， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的性质，得到c＝﹣3a﹣1是解题的关键． 6．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　） （结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．48m D．51m 【分析】延长BA交MN于点C，根据等角对等边得出CN的长，得出CM的长，再结合tan∠AMC0.40，即可得出结果． 【解答】解：如图，延长BA交MN于点C， 则∠ACN＝90°， 由题意可知，BC＝119m，MN＝74m， ∵∠BNC＝45°，∠BCN＝90°， ∴CN＝CB＝119m， ∴CM＝CN+MN＝119+74＝193（m）， ∴tan∠AMC0.40， ∴AC≈77.2m， ∴AB＝BC﹣AC＝119﹣77.2＝41.8（m）≈42（m）， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1与y轴正半轴交于点A，从而当x＝0时，y＝a﹣1＞0，则a＞1，又抛物线的对称轴为直线，且当时，y＞0，可得当时，y＞0，又当时，y＜0，从而当时，y＝0，即，求出a即可判断得解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1与y轴正半轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝a﹣1＞0． ∴a＞1． ∵抛物线的对称轴为直线，且当时，y＞0， ∴当时，y＞0． ∵当时，y＜0， ∴当时，y＝0． ∴． ∴a＝4． 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 D．水温不低于30℃的时间为min 【分析】先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【解答】解：∵水温从20℃加热到100℃，升温幅度为100﹣20＝80℃，加热速度是每分钟10℃， ∴所需时间为80÷10＝8min，故A项错误． ∵加热到100℃时，用时8min，即此时x＝8，y＝100，降温阶段y与x成反比例， ∴设，代入得，解得k＝800，即，故B项错误． 上午8点接通电源，9：30距离接通电源的时间为90min． 当y＝20时，代入，得x＝40，即40min后水温降至20℃，然后饮水机再次加热8min后，水温再次升到100℃，90﹣40﹣40﹣8＝2min， 当x＝2时，，故上午8点接通电源，可以保证当天9：30不能喝到不超过40℃的水，故C项错误． 加热阶段：水温从20℃到100℃，当y＝30时，20+10x＝30，解得x＝1，加热阶段满足y≥30的时间是8﹣1＝7min． 降温阶段：代入y＝30到，得，降温阶段满足y≥30的时间是． ∴总时间为，故D项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 9．已知函数y＝﹣2（x﹣1）2+8，若当t≤x≤t+2时，函数y的最大值为m，最小值为n，且，则t的值等于（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】由二次函数解析式可得对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，再分t＜﹣1，t＞1和﹣1≤t≤1三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解． 【解答】解：∵﹣2（x﹣1）2+8， ∴对称轴为直线x＝1， ∵﹣2＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小， ①当t+2＜1，即t＜﹣1时，x＝t时y取最小值n，x＝t+2时y取最大值m， ∴， ∵， ∴， ∴t（不合题意，舍去）； ②当t＞1时，x＝t时y取最大值m，x＝t+2时y取最小值n， ∴， ∵， ∴， ∴（不合题意，舍去）； ③当﹣1≤t≤1时，t≤1≤t+2≤3， ∴当x＝1时，y取最大值为8， ∵， ∴， ∴或， 解得，，，， ∵﹣1≤t≤1， ∴或． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0； ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3； ⑤当x1＜x2＜0时，y1＜y2． 其中结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac＜b2，所以①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x＝1， 而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3， 所以②正确； ③∵x1，即b＝﹣2a， 而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0， ∴a+2a+c＝0， ∴3a+c＝0 所以③不正确； ④由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3， 所以④不正确； ⑤∵当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x1＜x2＜0时，y1＜y2． 所以⑤正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；同时运用对称性并与图形相结合进行判断． 二．填空题（共6小题） 11．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m，则这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是 F　 ． 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂，可以写出这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式． 【解答】解：∵杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m， ∴阻力和阻力臂的乘积为：800×0.3＝240， ∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴240＝动力×动力臂， ∴这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是F， 故答案为：F． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 12．图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　　 ． 【分析】连接BC，过点D作DF⊥CE，垂足为F，设正六边形的边长为a，则AB＝4a，然后在等腰△DEC中，利用等腰三角形的三线合一以及含30度角的直角三角形的性质求出EC的长，从而求出BC的长，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图：连接CE并延长交AB的延长线于点G， 设正六边形的边长为a，则AB＝4a， 在△DEC中，DE＝DC＝a，∠EDC＝120°， ∴∠DCE＝∠DEC30°， 在Rt△CDF中，DFCDa，CFDFa， ∵DE＝DC，DF⊥CE， ∴CE＝2CFa， ∴CG＝2.5EC＝2.5a， 在Rt△AGC中，AG＝AB+BG＝4a+0.5a＝4.5a， ∴tan∠BAC， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，BD平分∠ABC，交AC与点D，，，则BC＝ 　6　 ． 【分析】过点B作BE⊥CA交CA延长线于点E，由∠BAC＝120°得出∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，解Rt△BAE可得BE＝3，利用勾股定理求得，得出∠BDE＝∠EBD＝45°，再利用角平分线的定义和三角形外角的性质推出∠C＝30°，得到BC＝2BE，代入数据即可求解． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥CA交CA延长线于点E，则∠E＝90°， 由条件可知∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵， ∴， ∴， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰直角三角形，∠BDE＝∠EBD＝45°， ∴∠ABD＝∠BAE﹣∠BDE＝60°﹣45°＝15°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD＝30°， ∴∠C＝∠BAE﹣∠ABC＝30°， 又∵∠E＝90°， ∴BC＝2BE＝2×3＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 14．如图是函数与的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2﹣k1＝　8　 ． 【分析】根据AB∥x轴，可设点A、B的纵坐标为h，将其代入y1和y2中，进而可得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：设点A、B的纵坐标为h， 点A在上，当y1＝h时，， ， ∴， 点B在上，当y2＝h时，， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ， k2﹣k1＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解决本题的关键． 15．某人将进货单价为8元的商品，若按每件10元出售时每天可售100件，现他想用提高售价，减少销量的办法增加每天的收入．已知这种商品的单价每涨价1元，其每天的销售量就减少10件，要想每天获得的利润最大，则每件商品销售价格应定为 　14　 元． 【分析】设每件商品销售价格应定为x元，所获的总利润为w元，根据题意可得：w＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]，然后进行计算即可解得． 【解答】解：设每件商品销售价格应定为x元，所获的总利润为w元， 由题意得：w＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）] ＝（x﹣8）（200﹣10x） ＝﹣10x2+280x﹣1600， ∵a＝﹣10，b＝280， ∴当x14时，w最大， ∴想每天获得的利润最大，则每件商品销售价格应定为14元， 故答案为：14． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．如图，已知函数y＝2x2与函数y＝﹣ax2+bx的交点为y＝﹣ax2+bx的顶点，阴影部分的面积为2，则a＝ 　2　 ，b＝ 　4　 ． 【分析】依据题意，设函数y＝﹣ax2+bx的顶点为P，图象与x轴的另一交点为Q，过P作PH⊥x轴于H，连接PO、PQ，由函数为y＝﹣ax2+bx，可得对称轴是直线x，顶点为（，），又OHOQ，PH，结合抛物线y＝﹣ax2+bx关于直线x对称，函数y＝2x2图象也是轴对称图形，故利用对称性可得阴影部分的面积＝S△POQ＝2，则b3＝16a2，又顶点为（，）在y＝2x2图象上，可得2•（）2.，进而求出a的值，又b3＝16a2，从而可得b的值，最后得解． 【解答】解：由题意，设函数y＝﹣ax2+bx的顶点为P，图象与x轴的另一交点为Q，过P作PH⊥x轴于H，连接PO、PQ． ∵函数为y＝﹣ax2+bx， ∴对称轴是直线x，顶点为（，）． ∴OHOQ，PH． 又∵抛物线y＝﹣ax2+bx关于直线x对称，函数y＝2x2图象也是轴对称图形， ∴利用对称性可得，阴影部分的面积＝S△POQOQ•PH••2． ∴b3＝16a2． 又∵顶点为（，）在y＝2x2图象上， ∴2•（）2． ∴a＝2． ∴b3＝16a2＝64． ∴b＝4． 故答案为：2；4． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴， ∴sin∠DAE． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 18．已知：如图．在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，，OB＝4，OE＝2． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△BOD的面积． 【分析】（1）根据已知条件求出C点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式； （2）根据已知条件求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式，再和反比例的函数解析式联立可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）∵OB＝4，OE＝2， ∴BE＝2+4＝6． ∵CE⊥x轴于点E．tan∠ABO． ∴CE＝3．（1分） ∴点C的坐标为C（﹣2，3）．（2分） 设反比例函数的解析式为y，（m≠0） 将点C的坐标代入，得3．（3分） ∴m＝﹣6．（4分） ∴该反比例函数的解析式为y．（5分） （2）∵OB＝4， ∴B（4，0）．（6分） ∵tan∠ABO， ∴OA＝2， ∴A（0，2）． 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点A、B的坐标分别代入，得 ．（8分） 解得 ．（9分） ∴直线AB的解析式为yx+2． 反比例函数的解析式y和直线AB的解析式为yx+2联立可得交点D的坐标为（6，﹣1）， 则△BOD的面积＝4×1÷2＝2． 故△BOD的面积为2．（10分）． 【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难． 19．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设BD＝x米，则AD＝（x+30）米，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 设BD＝x米， ∵AB＝x米， ∴AD＝AB+BD＝（x+30）米， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD•tan30°（x+30）米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD•tan45°＝x（米）， ∴x（x+30）， 解得：x＝1515， ∴CD＝（1515）米， ∴无人机离湖面的高度为（1515）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）． （1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值． 【分析】（1）证明判别式Δ＞0即可判断； （2）把（3，0）代入即可求得a的值． 【解答】解：（1）Δ＝a2﹣8（a﹣3）＝a2﹣8a+24＝a2﹣8a+16+8＝（a﹣4）2+8＞0， 则不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）把（3，0）代入抛物线得9﹣3a+2（a﹣3）＝0， 解得：a＝3． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及抛物线与x轴的交点，当Δ＞0时，与x轴有2个交点，当Δ＝0时只有1个交点，即顶点在x轴上，当Δ＜0时，没有交点． 21．已知反比例函数的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象在第一象限内交于点A，其中一次函数的图象过点（a，b）和（a+1，b+k）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请问在x轴上是否存在点B，使△AOB为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的B点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点（a，b）和（a+1，b+k）代入一次函数y＝2x﹣1即可求出k； （2）先求出点A的坐标，再分别以O为圆心，以OA半径画弧，交x轴于B1、B3；以A为圆心，以OA半径画弧，交x轴于B4；过A作AB2⊥x轴，交x轴于B2；则B1、B2、B3、B4即为所求，最后根据，求出B1、B2、B3、B4坐标即可． 【解答】解：（1）一次函数y＝2x﹣1的图象过点（a，b）和（a+1，b+k），将点（a，b）代入得： 2a﹣1＝b，即2a﹣b＝1①； 将（a+1，b+k）代入得： 2（a+1）﹣1＝b+k，即k＝2a﹣b+1②， 由①②得：k＝2， ∴反比例函数解析式为； （2）在x轴上存在点B，使△AOB为等腰三角形；理由如下： ∵反比例函数解析式为，一次函数解析式为y＝2x﹣1， 联立得：， 整理得：2x2﹣x﹣1＝0， 解得：x1＝1，， ∵点A在第一象限， ∴A（1，1）， ∴， 如图， 以O为圆心，以OA为半径画圆，交x轴于B1、B3， ∴，即△AOB1、△AOB3为等腰三角形， ∴或， 以A为圆心，以OA半径画圆，交x轴于B4， ∴，即△AOB4为等腰三角形， ∴， ∴B4（2，0）， 过A作AB2⊥x轴，交x轴于B2， ∵∠AOB2＝45°， ∴AB2＝OB2，即△AOB2为等腰三角形， ∵， ∴OB2＝1， ∴B2（1，0）， 综上所述，在x轴上存在点B，使△AOB为等腰三角形；所有符合条件的B点坐标为，，（2，0），（1，0）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查用待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质与判定，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 22．某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标x（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标y（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知1≤y≤35． （1）根据所给信息，求y与x的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车x辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出y＝8时x的值，再根据增减性可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当x＝4时，y＝15， ∴， 解得k＝60， ∴， ∵1≤y≤35，即， ∴， ∴（，且x为正整数）； （2）设原计划使用货车x辆， ∴， 解得x＝6， 经检验x＝6是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当y＝8时，x＝7.5， 当，且x为正整数时，y随x增大而减小， ∴当y≤8时，x≥7.5， ∵x为正整数， ∴至少需要8辆货车． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【分析】（1）①已知火箭第二级的引发点坐标，即可求解； ②算出最高点的纵坐标即可得出要求位置的点的纵坐标，解方程即可； （2）已知火箭第二级的引发点横坐标，代入抛物线和直线方程中即可得a、b的关系，再求出落地点的横坐标，利用关系式消元，即可得一元不等式． 【解答】解：（1）①由题意，将（9，3.6）代入抛物线y＝ax2+x得： 3.6＝92a+9， ∴a； 将（9，3.6）代入直线yx+b得：3.69+b， ∴b＝8.1； ②由题意可得：抛物线方程为和直线方程为， 又∵， ∴抛物线的最高点为， ∴方程的根为3， ∴方程.4的根为11.4， ∴这两个位置之间的距离为11.4﹣3＝8.4（km）． （2）由题意，当x＝9时，，即， ∴落地点的横坐标为 2b＝162a+27，则162a+27＞15的解为． ∵抛物线开口向下， ∴． 又∵9， ∴a． ∴当a时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 24．如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的横坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点B（9，0），C（0，﹣3）代入计算即可； （2）分两种情况：①当点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点时，先求出点P的纵坐标，再代入计算即可；②当点P为直线BC上方的抛物线上的一个动点时，设PC与x轴交于点D，先求出点D的坐标，再求出直线CD的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点Q的坐标为Q（4，n），分三种情况：①∠CBQ＝90°，②∠BCQ＝90°和③∠BQC＝90°，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【解答】解：（1）将点B（9，0），C（0，﹣3）代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）①如图，当点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点时， ∵∠PCB＝∠OBC， ∴PC∥x轴， ∴点P的纵坐标与点C的纵坐标相等，即为﹣3， 将y＝﹣3代入得：， 解得x＝8或x＝0（点C的横坐标）， ∴此时点P的横坐标为8； ②如图，当点P为直线BC上方的抛物线上的一个动点时， 设PC与x轴交于点D， 将y＝﹣3代入 ∵B（9，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝9，OC＝3， ∵∠PCB＝∠OBC， ∴BD＝CD， 设OD＝m（m＞0），则CD＝BD＝OB﹣OD＝9﹣m， 在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即32+m2＝（9﹣m）2， 解得m＝4， ∴D（4，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b0（k≠0）， 将点D（4，0），C（0，﹣3）代入得：， 解得， ∴直线CD的解析式为， 联立， 解得或， ∴此时点P的横坐标为； 综上，点P的横坐标为8或． （3）抛物线的对称轴为直线x＝4， 由题意，设点Q的坐标为Q（4，n）， ∵B（9，0），C（0，﹣3）， ∴BC2＝（0﹣9）2+（﹣3﹣0）2＝90，BQ2＝（4﹣9）2+（n﹣0）2＝n2+25，CQ2＝（0﹣4）2+（﹣3﹣n）2＝n2+6n+25， ①当∠CBQ＝90°时，△BCQ为直角三角形， 则BC2+BQ2＝CQ2，即90+n2+25＝n2+6n+25， 解得n＝15， ∴此时点Q的坐标为（4，15）； ②当∠BCQ＝90°时，△BCQ为直角三角形， 则BC2+CQ2＝BQ2，即90+n2+6n+25＝n2+25， 解得n＝﹣15， ∴此时点Q的坐标为（4，﹣15）； ③当∠BQC＝90°时，△BCQ为直角三角形， 则BQ2+CQ2＝BC2，即n2+25+n2+6n+25＝90， 解得， ∴此时点Q的坐标为或； 综上，点Q的坐标为（4，15）或（4，﹣15）或或． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，勾股逆定理的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/23 18:13:25；用户：禹颜明；邮箱：ta6950@xyh.com；学号：22395136 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $