甘肃省部分学校2026-2027学年高三上学期10月诊断考试数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．函数的极值点为（ ） A． B． C． D． 5．若实数，满足，则的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 6．已知，分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，均在上单调递增，则的图象可能为（ ） A． B． C． D． 7．如图，某测绘小组为了测量一座电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A．200 m B．210 m C．220 m D．230 m 8．如图，当光线从介质δ射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线l的夹角为入射角，折射光线与法线l的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为α时，折射角为β，其中，若将入射角变为2α，设此时的折射角为θ，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则（ ） A．的虚部为3 B． C． D． 10．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A． B．在上的最小值为 C．的图象关于点对称 D． 11．若直线与曲线、均相切，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则_________． 13．在平行四边形中，，，若，则_________． 14．的内角，，的对边分别为，，，的面积为．已知，，则_________，周长的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知幂函数的图象经过点，函数． （1）求的解析式； （2）证明：存在唯一的零点，且． 16．（15分） 已知向量，． （1）若，，三点共线，求的值． （2）证明：对任意的，与均不垂直． （3）求与的夹角的取值范围． 17．（15分） 在锐角中，，且，，． （1）求； （2）若是的中点，证明：． 18．（17分） 已知函数，． （1）求的最小正周期和值域； （2）若在上的最大值为，求的最小值； （3）若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数． （1）求的最大值； （2）若，，求的取值范围； （3）记函数的零点分别为和，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案 1.C2.A3.D4.B5.C6.B7.B8.B 9.ACD 10.BCD 11.BD 1 12.013.614.2:3+25 15.1)解：设(x)=r,则3 …2分 解得a=-1,则 (x)=x=I …4分 则8()=h(6-1)- X十2.…6分 (2)证明：易得函数y=血(x-)在(L,+∞)上单调递增， 7分 y= 函数》=x+2在，+0)上单调递减， …8分 故8()在（，+∞)上单调递增。…9分 因为0=a1-0.ge)=2-}h6-{3}0 525 …11分 所以8(x)存在唯一的零点，且2<<3 …13分 16.(1)解：因为A,B,C三点共线，所以AB/AC, …1分 所以m-(m+2）=0,解得m=-1. …3分 (2)证明：BC=AC-AB=(1-m,-3-m） …5分 假设AB1BC,则ABBC=0,…6分 所以m(1-m）-(m+2)3+m）=0,整理得2+2m+3=0.…8分 因为△=22-3×4<0，所以该方程无解，所以假设不成立，则对任意的m∈R,AB与BC均不垂直. …9分 ABAC m-(m+2) -V2 (3)解： cos(AB,AC)|AB1AC√m2+0m+2y2.√2V2m2+4m+4 1 Vm2+2m+2 …11分 因为m2+2m+2=(m+)2+1.l, …12分 1 0<- 以V+2m+2,则m42m2.所以os(服<0.18分 a.C-丽网任可55花m行可 …15分 tan A+tan B 17.(1)解：因为A+B+C=元，所以 折以tanC=tan[π-(A+B]=-tan(4+B)= 1-tan Atan B 2分 又tanC=tanA+tanB,且△ABC是锐角三角形，所以tanA+tanB>0,…3分 则l-tan Atan B=-l,即tan Atan B=2.… …4分 因为tanA∈Z,tanB∈Z,且A<B,所以tanA=l,tanB=2, …5分 Asπ 则 4 …6分 (2)证明：设A,B,C所对的边分别为a,b,c,由(1)可得tanB=2,tanC=3, osB=V5 则 sin C-310 10 …8分 +C) 因为D是AC的中点，所以 …l0分 +2accosB) 则 …11分 a a sinA 5 3W5 C= 由sinA sinC,得c sinC3,则 …l3分 D-o2+e2+2acos）=d 则 …14分 则BDFa,即BC=BD. …15分 -cos 2x 18.解：(1) 1分 3 sin2x-cos2x=sin2x+元 6 ………2分 22+名+2m.keZ,即 ，eZ.fe0.则&闭 _元+km12 f(x-f(x)=0 …3分 +2km<2x+<2+2m.keZ,即12 当 6 +k<x<12 <+a.keZ时.-f)0 )-ro)=-2)=2sm2x+02列 则 …4分 0.+km。12+m,keZ 12 g(x)= 2sin 2x+ 5m+kn<x 11r+km,k∈Z. 故 612 12 可得8()的最小正周期为元，值域为[0,2] …5分 (2)(方法一)由8（的图象可知，若3 ++月 的最大值为2，不符合题意。… …6分 2π+km,1+ 若3 (keZ) 4 .7分 若8（在 sim2+）=- ,得（6 2 则由8()的图象可得， 2r+π-5π+2m,k∈Z 63 ,得 1=3沉+，k∈Z 4 …8分 若8)在+ 2,则由8()的图象可得， 33 21+-号+2，ke2.得 21+2π=4+2kmkZ,月63 +kit I= 3 k∈Z. …9分 元 因为>0，所以的最小值为3.…l0分 2+ …6分 21+>21+ 2π、2元 因为>0，所以66,1 33. …7分 π t,t+ 2π4π 又8(：在L 2t+ 4」上的最大值为V3,所以t的最小值满 33,…9分 元 解得的最小值为3 …10分 3)由8)=1，可 22+2+月 …11分 2x+π7元+2km2x+2=+2km,keZ 则 66 或66 …12分 x-+km x= 5π 解得2 或6 6kik …13分 结合8()的图象可知，当 红<m<受：.keN时，8（国在D则上的园套与自我y1的交点个数 为0，不符合条件；… …14分 +k,m< 5π 当2 6 +k 机，kN时，8()在[0，m上的图象与直线y=l的交点个数为奇数，符合条件： …15分 点m<受+红e水时.&)a可上的因家与宝线y-l的交a个发为福数。不条 当6 件. …16分 综上所述，m的取值范围为2 a+eN …17分 19.( )解：因为()=x-r+血x,x>0,所以 所yf'()=1-2x+1=-(2x+0-) ...1分 当x∈(0，时，∫"()>0，f(~)单调递增，当x∈(，+)时，f"()<0,f()单调递减 2分 故f()的最大值为f(0=0 …3分 X,… ..4分 令-++0》是1-h2 ,则 上2 .5分 令p()=x(2-l血-20<x1),则p()=1-hx>0在(0,1上恒成立，则p()在 (Q1上单调递增，则9(p0)=0, …6分 从而h'(0在(0，上恒成立，则h(y在(0，叫上单调递减，则h(h0)= 7分 故4的取值范围为（-∞，] …8分 (3)证明：不妨令a,<b,则由(1)可知0<a.<1<b. …9分 令H()=8()-8(2-0<x<),则I'()=g'()+8'(2- -(2x+1x-1)_(5-2x1-x_20-x) ->0 2-x x2-0在(0，上恒成立，则（四在0,1） 上单调递增，则H()<H(0=0,则8()<8(2-)在(0,1)上恒成立. ………10分 由0<a.<1<b.,得8(a)Kg(2-a,.因为8(b.)=8(a,),所以g(b.)<g(2-a,).… .11分 又b,∈(1，+∞），2-a,∈(，+o),且8()在，+o)上单调递减，所以b,>2-a,即 an +b >2 …12分 由b,-6+lhb,+n=0,得nb,=b-b,-n 因为bn>1,所以易得血b,<b。-1, …13分 则由血b,=-b,-n,得b-b.-n<b,-1,则b-2b,-n+1<0, 知[么-+[b+(-小水0.得-n<<n+1, 从而1<b.<Vn+1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …14分 同理，由0<a<1,8(a,)=a,-a+lna+n=0,得4.-a+lha,=-n 由8(a)=am-a+lham+n+l=0,得an-a1+lha1=-n-l, 则a-a+lna1<a。-a+lnan,即f(aH)<f(an)】 因为()在(0,1）上单调递增，所以41<0，故4m4.…15分 f(x).x-x2-+1 Inx.-1 由(2)可知，当a=1时，由 尤，得 因为4-a+ln4+1=00<a<),所以 Ina >1-1 2-a-1>1- 则 4,即4-a-2a+1>0 设k()=r-x-2x+10<x<), 则k'()=3x-2x-2,当0<x<1时，k'(<0 则（国金@）上年阿藏两为40=10)名0 0<4<2,则 1 4<2,则 1 3 an+bn<Vn+ 所以 2 …16分 .3 2<an+bn<Vn+。 故 2 ………7分