甘肃部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题A

@ 高三数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由复数之=√3-i,得z=√3+i,.|z|=√/(3)2+12=2. 又1-=E-马合.放速D 2.B【解析Jf)=3+,3是定义在（一o0,十6o)上奇函数，f(-)=一fr), 2 即3+3=-3+63，整理得（k十1)(3产十3)=0.3+3>0，k=-1.放选B. 2 2 3.C【解析】设等比数列{am}的公比为q(q≠0)，，a5=2,ag=8,∴ag=a5q,即8=2g‘,解得q=4. q≠0，q2>0,q2=2,∴a7=a5q2=2X2=4.故选C. 4.B【解析】.a-b|2=4+4-2a·b=12,∴.a·b=-2. 则向量a十b在向量b上的投影向量为a十b)·b.b二a·b十b2 bb=b2·b=b1 4b=2b.故选B. 5.C【解析】a,b,c成等差数列，∴.2b=a十c.又3a=2b,.2a=c. 设a=21,b=3t,c=41,t>0,则由余弦定理，得cosB=a+c2-b_4+162-912_11 2ac 16t2 16' B-accosBX B函，C≥2号≥2，解得2≥4.>0≥26=≥8， ∴.c的取值范围为[8，+∞).故选C. 6A【解析】函数f)的定义城为(-1，+o),:f')千1e,且函数f)在[0，十)上单调递减， f'(x)=z千1一e≤0在[0，+∞)上恒成立，即a<[x+1De]m: 设g(x)=(x+1)e,x≥0，则g'(x)=(x十2)e>0,∴.g(x)在[0，+∞)上单调递增， ∴.g(x)min=g(0)=1,∴.a≤1，即实数a的取值范围为(-o∞，1].故选A. 7.D【解析】由am=2n,得数列{am}为2,4,6,8,10，…； 由bn=n3+5,得数列{bn}为6,13,32,69,130,221,348，… ∴.数列{am}的前130项中含有数列{bm}中的6,32,130共3项， .数列{am-bn}的前127项为数列{am}的前130项除去6,32,130这3项， .数列{am一bn}前l30项的和为a1十a2十…十a13-(b1十b3十b5) =133X2+133X132×2-(6+32+130)=17822-168=17654.故选D. 2 8.C【解析】：函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)为偶函数，即f(一x)=f(x). 由f(x+4)=f(x-1),令t=x-1,得f(t)=f(t+5),∴.f(x)是周期为5的周期函数， .f(-7)=f(-7+5)=f(-2)=f(2),f(6)=f(5+1)=f(1). y=3+) 在[1,2]上单调递增，∴.f(x)在[1,2]上单调递增。 ③高三数学答案第1页（共6页） 3=loe8<fos)ogi。41<5-oeg2=loeg8<2 又：fog)-fog2小-f(-（5-1og)-f5-1og2)-fo8) f6)<flog号2<f(-).故选c 9.BD【解析】集合A={xx2-3x-10<0}={x|-2<x<5},B={xx2+(a+3)x+3a>0}(a∈R). 对于A,要使B=R,则须方程x2+(a十3)x十3a=0的判别式△<0， 即(a十3)2-12a=a2-6a十9=(a-3)2<0,无解，故A错误. 对于B,方程x2+(a十3)x十3a=0的两个根为-a,-3,且a<3,.-a>-3. B={xx<-3或x>-a}.又A∩B=0,A={x-2<x<5},-a≥5，即a≤-5，故B正确. 对于C,,a=-1,.B={xx2+2x-3>0}={xx<-3或x>1}, .CRB={x|-3≤x≤1)，.A∩(CRB)={x|-2<x≤1}，故C错误 对于D,A={x|-2<x<5},a<3,.B={xlx<-3或x>-a} 又“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，∴.AB,则一a≤-2，解得a≥2. ∴.实数a的取值范围为[2,3)，故D正确.故选BD 10.AC【解析】函数f(x)-√3sinx-3cosx-2V3 1 对于A,f）2n(--2sn营-2，函数f)的图象关于直线对称故A正确， 对于B,a>a-6,6>0.由-号∈[2+2kx营+2xk∈z.得z[-音+2x,5+2∈7。 5+2kx-（-+2张=x,b=a-(a-b)i0<b≤，故B错误 对于C,a>a-b,.b>0.又f(x)在(a-b,a)上单调递增， -6≥-+2 k∈Z,解得-百+2kx<a≤十2kx,k∈乙， 0<+2x, -营+2kxKa-≤智+2kk∈Zfa)e(-25,28, 即f(a)的最大值为2√3，没有最小值，故C正确，D错误.故选AC. 11.BD【解析】对于A,.2 bcos A=a+2c,∴.由正弦定理，得2 sin Bcos A=sinA+2sinC. 'A+B+C=x,.'.sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, .2sin Bcos A=sin A+2sin Acos B+2cos Asin B, sinA+2 sin Acos B-=0.:A∈(0，x）,∴sinA>0,cosB=- 2 又：B∈0，xB-经放A错误 对于BC,6=4,B-2,6=a2+e-2 eosB16=a3+e-2经ia+c2tac=160. ③高三数学答案第2页（共6页） 4AP=AC,..API=1,IPCI=3,..BP=1. :∠APB+∠CPB=π，.cos∠APB+cos∠CPB=O, 即APBP-AB+CP+BPBC-0,即1c+t1a2 2AP·BP 2CP·BP 2X1X1+2X3x1=0, 整理得a2+3c2=16②. 联立①@，得a=2c,代人②式，解得a-8y7,c=4y7, 7,c 7,故B正确，C错误。 对于D,设C=a,则A=号a,由正弦定理，得 a π a=8 √3 sin 3 sin 3 在△BPC中，BP=CP, a 2 8 sin 3 则BP= a =3(3a 2 cos a- 2 sin a 431 cos a 2cos a 2cos a 3 cos a 由题意，得0<a<受，∴tana∈(03)，5- 3 2 2tan a ∈(0,2)， ∴.BP的取值范围是(0,2)，故D正确.故选BD. 12.-号 【解析】由题意，得a+b=(-2,4).:(a+b)/b,(任-2)X1=4X1,解得=- 3 13.2【解析】.0<x<2,.√元>0，√2-x>0. :√x十√2-x=√J(√x十√2-x)2=√2十2√x·√2-x≤W2十（√x)2+(√2-x)2=2, 当且仅当√元=√2-x,即x=1时取等号，∴.√元十√2-x的最大值为2. 1 14.10136 【解折当=1时a,=1-5M,=1一01，解得a1=行 当n≥2时，an= M gMA=1-5M,即M,=M,-1-5M.M,-1,心M,一M,=5, M心M 数列M }是首项为6，公差为5的等差数列，∴M=6+(m-1)X5=5m+1, 1 1 M,=5m+1M:a=10136 15.解：1)函数f(c)的最小正周期为元，0>0,2π=元，解得u=2.…2分 又：函数f(x)的图象过点（π，1），∴2sin(2x+p)=2sin9=1,解得sin9=2 0<p<2…= 6 …4分 ∴fx)=2sim2x+ …5分 (2将函数)的图象向左平移号个单位长度，得到函数g)=2n[2(+副)十】-2n2x+】 =2cos2x的图象. …7分 ③高三数学答案第3页（共6页） 方程g)=a一3a∈R)在[0，若]上有解， y=a-3与y=2c0s2x的图象在[0，若]上有交点.…9分 :0x≤g0≤2x≤5 由余弦函数的性质，得当x=0时，g(x)max=g(0)=2; 当2红=3，即x=时，gx)m=g(6-20s智-1， …11分 ∴.1≤g(x)≤2，.1≤a-3≤2，即4≤a≤5， .实数a的取值范围是[4,5].……13分 16.(1)解：由am+1=12√Sm+36,得Sm+1-Sn=12√Sm十36，…2分 ∴Sm+1=(√Sm)+12√Sm+36,即(Sm+1)2=(Sm+6)2,∴.√Sn+1-√Sm=6, ∴数列{√Sm}是以√S1=√a1=6为首项，6为公差的等差数列，… …5分 .√Sm=6+(n-1)X6=6n.… …6分 am+1=12·6n+36=72n+36, ,a=72n—36,n2. …7分 当n=1时，S1=a1=36,满足上式， .数列{an}的通项公式为am=72n一36.…9分 (2)证明：bn= 111】 amam+1(72n-36)(72n+36)1296·(2n-1)(2n+1)25922n-12n+1 …………………………………………………………………12分 .Tm=b1+b2+b3+…+bm =2[0-)+(传-)+(G-)++(2a+】 =221-22 1 …15分 17.(1)证明：，acos A=ccos C,∴.由正弦定理，得sin Acos A=sin Ccos C, 7in2A7Sin20,即sin2A=Sin2C.3分 :A,C∈(0，x)2A,2C∈(0,2m∴2A=2C或2A+2C=x,解得A=C或A+C= .△ABC为等腰三角形或直角三角形.… …7分 (2)解：由(1)，得A=C或A十C=2 若A=C,则a=c=4,a十c=8=b,不满足三角形三边关系，舍去.…10分 若A+C=2,即B=,则c=BA=√8-=43. 以点B为坐标原点，BC,BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. ③高三数学答案第4页（共6页） 则B(0,0),A(0,4√3)，C(4,0),E(2,23),F(2,0), AF=(2,-43),BE=(2,23),… …13分 ∴.cos∠EDF=cos(DE,D)=cos(BE,AF) B龙.AF 2×2-23×4√3 5√13 B1|A√22+(23)2X√2+(-43) 26. …15分 18.解：(1)|CA|=|CB|=5,.△ABC为等腰三角形.设边AB的中点为M,则CM⊥AB. 如图，以点M为坐标原点，MB,MC所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系。 又AB|=6,则A(-3,0),B(3,0),C(0,4),CA=(-3,-4),CB=(3,-4).…3分 B F为△ABC的垂心，.CF⊥AB,BF⊥AC,∴点F在直线CM上. 设F(0,),则B=(-3,),B萨.CA=(-3,)·(-3,-4)=9-4红=0，解得2=9 4 r0)c床-(o,-) …5分 又：C=mCi+nCi.0,-)=m(-3,-40+3,-4)=(-3m+3n,-4m-4n）, [-3m+3n=0, 加一领=一？邻得m=n一记 则 7 4 7 7 ∴m十n=16,即m十n的值为16 …7分 (2)EB=2A2, C克-Ci+A疤-Ci+Ai-C+Ci-C)=Ci+}c店.…8分 D是线段CE的中点，∴C防-名C弦-号C+名C弦。…9分 o=xCi,0i-yi,>0y>0Ci-op,i-0i-c+à.10分 P,D,Q三点共线，3十61，即之土之6.……1山分 3:C=zC,cd=yi,P成-C破-C萨=yCi-CA.由(2)，得c币-}ci+c, :1CA1=6,|CB1=12,且CA.CB=0, ③高三数学答案第5页（共6页） ci.PQ-号(2Ci+Ci(yci-xC)=日yCi-2xCi)=24y-12z,…14分 又CD.PQ=0,∴24y-12x=0,即x=2y. 由(2》，得2十}6解特=号y=日y-子 2 3y= …17分 19.(1)解：由函数f(x)=ae-ln(x-1),得x>1. 当a=0时，f(x)=-lnz-1D,则f'(x)=1-zf'(3)=-2f(3)=-ln2, …2分 “曲线y=f(x)在点3，f(3)处的切线方程为y+1n2=-名(x-3, 即x十2y十2ln2-3=0.…4分 (2)证明：当a=1时，f(x)=e-ln(x-1),x>1. 设g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1,.g'(x)在R上单调递增，且g'(0)=0, 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， ∴g(x)mim=g(0)=0,即e≥x十1，当且仅当x=0时取等号..当x>1时，e>x十1.…6分 1 设h(x)=l(x-1)-x+2,x>1,则h'(x)=x1-1'(x)在(1，+o)上单调递减，且h(2)=0, 当1<x<2时，h'(x)>0,h(x)单调递增；当x>2时，h'(x)<0,h(x)单调递减， .h(x)max=h(2)=0,即ln(x-l)≤x一2，当且仅当x=2时取等号.…8分 .当x>1时，ln(x-1)≤x+1-3<e-3, .ln(x-1)<e-3,.e-ln(x-1)>3,即f(x)>3得证.…10分 (3)解：由不等式fx)<n是-1，化简得ae+lna<ln(x-1)-1, ex+ha+x+lna<ln(x-l)十x-1=eax-》+ln(x-l).…11分 设m(x)=e2十x,则m(x+lna)<m(ln(x-l)). …12分 m'(x)=e+1>0,∴.m(x)单调递增， x+lna<ln(x-1),即lna<ln(x-l)-x.…l3分 设a()=1nx-》-,>1,则n)=-1()在，+0)上单调递减，且0'(2)=0. 当1<x<2时，n'(x)>0,n(x)单调递增；当x>2时，n'(x)<0,n(x)单调递减， n(x)≤n(2)=-2.…15分 又：1na<ln(x-1)-x有解，∴lna<n(x),即lna<-2,解得0<a<。, 1 :实数a的取值范围为0，。 …17分 ③高三数学答案第6页（共6页）@ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数5-i,则= A号 号 D.√2 2.已知f)=3+,3是定义在（一0，十）上奇函数，则实数6的值为 2 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知数列{an}为等比数列，且as=2,ag=8,则a7= A.2 B.士2 C.4 D.士4 4.已知平面向量a,b满足|a|=|b|=2,|a一b|=23,则向量a十b在向量b上的投影向 量为 1 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等差数列，3a=2b.若BA· BC≥22，则c的取值范围为 A.[3,+∞) B.[6,+∞) C.[8,+∞) D.[12,+∞) 6.已知函数f(x)=aln(x十1)一ez在[0，十∞)上单调递减，则实数a的取值范围为 A.(-0∞，1] B.(-o∞，e] c[&+） D.[2,+∞) 7.定义新数列{am一bn}:在数列{an}的所有项中，去掉数列{bn}中的项得到的数列.若am 2n,bm=n3+5,则数列{am一bn}的前130项的和为 A.16882 B.16998 C.17446 D.17654 ③高三数学第1页（共4页） 8.已知函数f(x)满足f(x+4)=f(x一1)，且函数f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[1， 2]时，f)=r+后)则f-,f6,g立的大小关系为 A.fog<(6<f(-7) Bf(-)<f6)<fog) C.f(6)<oRi<f-7) D.f(-7<o<f(6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知全集为R,集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|y=log2[x2十(a+3)x+3a]} (a∈R),则下列结论正确的是 A.若集合B=R,则实数a的取值范围为（一2,4） B.若a<3,且A∩B=,则实数a的取值范围为（一∞，-5] C.若a=-1,则A∩(C.B)={x|-2<x≤2} D.若a<3,且“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为[2,3) 10.已知函数f(x)=√3sinx一3cosx在(a一b,a)上单调递增，则下列结论正确的是 A函数了)的图象关于直线t-对称R6≤号 C.f(a)的最大值为23 D.f(a)的最小值为-2√3 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bcos A=a十2c,则下列说法正确 的是 A.B= 3 B若6=4，P是AC上的一点，且4A-AC,A=|B,则a=87 7 C.若6=4，P是AC上的一点，且4A户=AC,A户=|BP1,则c=37 7 D.若b=4,P是AC上的一点，且BP=CP,则BP的取值范围是(0,2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(-2,3),b=(t,1),且(a+b)∥b,则实数t的值为 13.若0<x<2,则√元+√2-x的最大值为 14.若数列{am}的前n项之积Mn满足am=1-5Mn(n∈N*),则M2o27= ③高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=2sin(wx+p) w>0,0<9<受)的最小正周期为x,且函数 f(x)的图象经过点（π，1）. (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象向左平移石个单位长度，得到函数g(x)的图象，方程g(x) a-3(a∈k)在[0， 上有解，求实数a的取值范围. 16.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sm,a1=36,am+1=12√Sm十36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn= 1,设数列{b,}的前n项和为T,证明：T.<2592 aran+1 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos A=ccos C. (1)证明：△ABC为等腰三角形或直角三角形； (2)若E,F分别是边CA,CB的中点，AF交BE于点D,且a=4,b=8,求cos∠EDF. ③高三数学第3页（共4页） 18.(17分)如图，在△ABC中，EB=2AE,D是线段CE的中点，过点D的直线分别交线 段CA,CB于P,Q两点，CP=xCA,CQ=yCB(x>0,y>0). (1)若|CA|=|CB|=5,AB|=6,F为△ABC的垂心，CF=mCA+nCB(m,n∈R), 求m+n的值； (2求是+的值： (3)若1CA1=6,|CB1=12,且CA·CB=0,CD·PQ=0,求xy的值. 19.(17分)已知函数f(x)=ae-ln(x-1)(a∈R). (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)若a=1,证明：f(x)>3; (3)若a>0,关于x的不等式f(x)<ln。-1有解，求实数a的取值范围。 ③高三数学第4页（共4页） ④