精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年高一上学期10月定时练习数学试题

2026年高2029届高一上期定时练习 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，， 所以，． 2. 已知命题：存在一个正数，使，则下列选项正确的是（ ） A. 命题的否定为：“，都有” B. 命题的否定为：“，都有” C. 命题的否定为：“，使” D. 命题的否定为：“，使” 【答案】B 【解析】 【详解】存在量词改为全称量词，否定结论，所以命题的否定为：“，都有”. 3. 已知函数，若，则实数的值是（ ） A. B. 或1 C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【详解】①当时，，解得或（舍去）， ②当时，，解得， 综上或. 4. 已知：和：，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别验证推出关系，由可以推出说明必要成立，举出反例说明由推不出，充分不成立，从而判定为必要不充分条件． 【详解】①必要性成立， 若， 则，且， 所以， ②充分性不成立， 举反例：取，，，满足， 但是，不满足， 所以是的必要不充分条件． 5. 已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由充分不必要条件以及集合之间的关系即可求解. 【详解】因为是的充分不必要条件， 故集合为集合的真子集， 则且等号不同时成立，则. 6. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最大值. 【详解】由，得， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 7. 已知，，若中至多有一个整数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题采用补集转化思想简化求解：先确定集合A的范围及其中的整数，将“至多1个整数”转化为其反面“包含2个整数”，通过二次不等式因式分解得到区间端点，结合区间包含关系列不等式求出反面情况的参数范围，最后取补集得到结果. 【详解】由，得，等价于，即且， 解得，因此， 集合A中的整数只有1，2，共2个，因此最多有2个整数. ， ，得方程两根为，， 时，；； 时，（单元素集）； 时，，. 题目要求“至多1个整数”，其反面是“包含2个整数（即1，2都在交集中）”， 当时，，此时，； 当时，，. 当时，，要让1，2都在B中，需区间包含，即，解得， 故时，有2个整数.所以当或时，中至多有一个整数， 因此a的取值范围是. 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. 18 B. 14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设，利用常数代换，得到，利用基本不等式先求得的最小值，可得，再配凑，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A选项，因为，所以，，则，故A正确； 对于B选项，若，则，故B错误； 对于C选项，若，则，故C错误； 对于D选项，因为，故，故D正确. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 若不等式对任意的恒成立，则或 B. 若关于的不等式的解集为空集，则 C. 若使得不等式成立，则或 D. 若，不等式恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，借助判别式解决一元二次不等式的解集为实数集及空集的问题，可判断ABC，变更主元，令，结合单调性可得，解不等式即可求解，可判断D. 【详解】令，则，所以， 所以， 对于A：，即，即， 解集为，则，解得，故A错误； 对于B：，即，即， 解集为空集，则，解得，故B正确； 对于C：，成立， 则，解得或，故C正确； 对于D：，即， 令，， 所以在上单调递增，， 即，解得，故D正确. 11. 设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，集合的积集 B. 若，集合的积集 C. 若是由5个正实数构成的集合，集合的积集中元素个数最少为7个 D. 存在4个正实数构成的集合，使集合的积集 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义积集，结合集合的概念及集合中元素的特征对选项逐一分析即可 【详解】对于A：因为， 故集合中所有可能的元素有，即， 所以，故A正确； 对于B：因为，故，故B错误； 对于C：因为 所以中元素个数大于等于7个， 如设 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确； 对于D：假设存在4个正实数构成的集合， 使其积集， 不妨设，则集合的积集， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其积集，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值. 【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去， 所以. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值. 13. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】函数 的定义域为，则对恒成立，分当和时两种情况讨论即可. 【详解】函数 的定义域为，则对恒成立，故当时显然成立， 当时，则，解得，综合得实数的取值范围是. 14. 已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，结合函数单调性得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为，所以在上单调递增， 当时；当时，. 由的图象开口向上，， 可知方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点； 由题意知， 则当时，；当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是6. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设为全集，集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据补集、交集的运算求解； （2）转化为，分两类讨论，即可得解. 【小问1详解】 由可解得， 当时， 所以或， 所以 【小问2详解】 由可得，分两种情况讨论： ①当时，满足，此时，解得； ②当时，需满足，解得， 综上，，所以实数的取值范围为 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求关于的不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当解集为当解集为R；当解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集求出，代入不等式因式分解后分类讨论求解； （2）原不等式恒成立转化为，构造函数，换元后利用基本不等式求最小值得解. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以， ， 当解集为 当不等式化为解集为R； 当解集为. 综上，当解集为当解集为R；当解集为. 【小问2详解】 由，可知对，不等式恒成立， 即 令设， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以 17. 已知函数满足，. （1）求的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，令，则， 得，所以. 【小问2详解】 ，，即， 所以，， 判别式，得， ，，即， 存在x使之小于等于0，等价于判别式，得， 则有，得，即， 解得，即实数的取值范围为. 18. 若关于的一元二次方程（）的两个根为，，则可得，.其证明过程如下：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三项式可以因式分解为，由于，从而等式恒成立.该等式两边的对应项系数应相等.因此，. （1）已知一元三次方程（）的根为，，，用，，，分别表示与和，并给出推理过程； （2）已知三次函数，有三个互不相等的根，，. ①若，，，且满足，，求实数的值； ②若，，且，求的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）可分解因式为，由等式两边对应系数相等得结论； （2）①由已知得，，又，解出得实数的值； ②由（1）可知，，，代入结合基本不等式求最大值. 【小问1详解】 设的三个根为， 则多项式可分解因式为， 所以恒成立， 等式两边对应系数相等，所以有. 【小问2详解】 ①. 由（1）可知， ， 易知， 又，， 则或（每组数据中取值可以对调），所以. ②. 由（1）可知，， ， 则， 令， 则， 因为，则， 或， 又因为，，所以，， 则， 当且仅当即时等号成立，此时满足， 所以的最大值为. 19. 设不小于6的正整数可以表示成个正整数，，…，（）之和，（），用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合.记，为的最大值. （1）用列举法表示集合，并求出； （2）有下列3个命题： 命题①：若存在（），则此时； 命题②：若存在（），则此时可以成立； 命题③：若存在（），则此时. （ⅰ）写出上面3个命题中真命题的编号，并证明这些真命题； （ⅱ）求. 【答案】（1）,,,,,,,,,. . （2）（ⅰ）真命题为①③， 证明命题①：若存在某项，当时，把该项与另一项合并为， 重新按从小到大排列，所得数组仍符合题意，而乘积由 变为，故原乘积不能最大. 当时，数组只能为. 因，数组符合题意，且 故命题①正确. 证明命题③：若存在一项，将其拆成和两项，并重新按从小到大排列，所得数组仍符合题意. 由于新数组的乘积更大，故原乘积不能最大，命题③正确. 另外，若两项之差至少为，将较小者加、较大者减，则两项的乘积增加，因此命题②不正确. （ⅱ）；对应的数组为 数组一：（其中共有个）； 数组二：（其中共有个）. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）将分拆成不少于两个正整数，按非降顺序列出数组并比较乘积； （2）（ⅰ）利用“合并含的两项”以及“拆分不小于的一项”比较乘积；（ⅱ）排除不能取最大值的拆分形式，再根据除以的余数确定全部最优数组. 【小问1详解】 ,,,,,,,,,. 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当时，由（ⅰ）知，乘积最大的数组中没有，也没有不小于的数； 若含，可将拆成，因，也不可能取得最大值. 因此最大乘积的数组中各项只能为. 又因为，，. 所以最大乘积的数组中，与不能同时出现，至多出现两次，至多出现一次. 由，分两种情况讨论： ①若含有，则不含，且恰有一个，其余项均为，数组为（其中共有个）. ②若不含，则必有两项，其余项均为，数组为（其中共有个）. 两种数组的乘积均为. 最大乘积必在上述两种数组中取得，因此 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高2029届高一上期定时练习 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：存在一个正数，使，则下列选项正确的是（ ） A. 命题的否定为：“，都有” B. 命题的否定为：“，都有” C. 命题的否定为：“，使” D. 命题的否定为：“，使” 3. 已知函数，若，则实数的值是（ ） A. B. 或1 C. D. 或1 4. 已知：和：，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若中至多有一个整数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. 18 B. 14 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 若不等式对任意的恒成立，则或 B. 若关于的不等式的解集为空集，则 C. 若使得不等式成立，则或 D. 若，不等式恒成立，则 11. 设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，集合的积集 B. 若，集合的积集 C. 若是由5个正实数构成的集合，集合的积集中元素个数最少为7个 D. 存在4个正实数构成的集合，使集合的积集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 13. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 14. 已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设为全集，集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求关于的不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数满足，. （1）求的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围. 18. 若关于的一元二次方程（）的两个根为，，则可得，.其证明过程如下：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三项式可以因式分解为，由于，从而等式恒成立.该等式两边的对应项系数应相等.因此，. （1）已知一元三次方程（）的根为，，，用，，，分别表示与和，并给出推理过程； （2）已知三次函数，有三个互不相等的根，，. ①若，，，且满足，，求实数的值； ②若，，且，求的最大值. 19. 设不小于6的正整数可以表示成个正整数，，…，（）之和，（），用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合.记，为的最大值. （1）用列举法表示集合，并求出； （2）有下列3个命题： 命题①：若存在（），则此时； 命题②：若存在（），则此时可以成立； 命题③：若存在（），则此时. （ⅰ）写出上面3个命题中真命题的编号，并证明这些真命题； （ⅱ）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $