精品解析：重庆市渝高中学校2026-2027学年度高一上学期第一次月考数学试题

重庆渝高中学高2029届第一次月考数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，集合，且，则集合共有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得集合可以是共4个. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 则. 3. 若是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】等价于或. ，必要性成立； 推不出，例如，满足，不满足，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件 4. 命题“，“的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】原命题：， 量词改为，结论否定为， 命题，的否定是，. 5. 已知，，，则M，N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】， ，， 所以，即. 6. 已知，，，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为6. 7. 若关于的不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑时的情况，再考虑时的情况，当时根据一元二次不等式恒成立问题的解法即可求解 【详解】.当，即时，不等式可化为，此时不等式恒成立， 当，即时，若对一切实数x都成立， 则，解得， 综上所述，若对一切实数x都成立， 则a的取值范围为. 故选：A. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由，得，， 即当时，，故A错误； 对于B，由，得，，，则，故B正确； 对于C，由，，得，，，则，故C正确； 对于D，由，，得，，，，则，故D正确. 10. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 集合可能只有一个元素 B. 集合的非空真子集个数个 C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因，当时，，故A正确； 对于B，由可得，则集合的非空真子集个数为，故B错误； 对于C，因为当取1或4时，，故C错误； 对于D，当取除1，3，4这三个数之外的数时，，故D正确. 11. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分） 12. 已知集合，若，则实数的值为___________. 【答案】0 【解析】 【详解】，，所以，即，解得或， ，，违反互异性，舍去； ，，符合条件. 13. 已知，，则的最小值____________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 所以， 即， 所以的最小值为4， 当，即时取得最小值， 故答案为:4. 14. 已知，，且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，结合重要不等式有，注意等号成立条件，从而得到，令得，解一元二次不等式求，即可得. 【详解】由题设，且，则， 由，当且仅当时取等号，则， 令，则，整理得， 所以（舍）或，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由得，所以， 所以的解集为. 【小问2详解】 由得，即 ，所以的解集为. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）利用得，解出即可. 【小问1详解】 当时，，， 根据并集的概念可得， 所以或； 【小问2详解】 由，，得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 17. 设集合，命题p：，命题q：. （1）若p是q的充要条件，求实数m的值； （2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由条件，p是q的充要条件，得A=B，即解得，所以实数m的值是. 【小问2详解】 由p是q的充分条件，得， 所以 所以 综上实数m的取值范围是. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用一元二次不等式的解法解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为或， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 ，恒成立， 等价为在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 则，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19. 已知正实数、满足 （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最大值. 【答案】（1）9. （2）8 （3）6. 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换结合基本不等式即可求解. （2）方法一：通过“双不等式法同时取等”的方法求解；方法二：利用“平均值不等式法”求解；方法三：由变形为，利用基本不等式得到，再将变形为，利用二次函数求最值即可；方法四：由变形得，令，进而有，利用基本不等式结合二次函数求最值即可. （3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由，代入消元得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值. 【小问1详解】 当,即时等号成立，有最小值9. 【小问2详解】 方法一（双不等式法同时取等）： （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 所以当，时，有最小值8. 方法二（平均值不等式法:调和平均值不超过平方平均值）： （当且仅当时等号成立）， 所以当，时，有最小值8. 方法三（配完全平方法）： . ∵，当且仅当，时等号成立. ， 当时，有最小值8. 方法四（消元法）： ， 令（由得），则， 则 ，当时时等号成立，所以有最小值8. 【小问3详解】 方法一（整体代入转化）： ， 原式， 当时，即，时等号成立，有最大值6. 方法二（整体代入消元法）： 由， 所以 （当且仅当时等号成立）. 方法三（乘1法）： 原式. 当时，即，时等号成立，有最大值6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆渝高中学高2029届第一次月考数学试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，集合，且，则集合共有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“，“的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，，，则M，N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 已知，，，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 5 7. 若关于的不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 集合可能只有一个元素 B. 集合的非空真子集个数个 C. ， D. ， 11. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题（每小题5分） 12. 已知集合，若，则实数的值为___________. 13. 已知，，则的最小值____________. 14. 已知，，且，则的最小值为_____. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 设集合，命题p：，命题q：. （1）若p是q的充要条件，求实数m的值； （2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知正实数、满足 （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $