精品解析：山西省长治市潞州区长治学院附属太行中学校2026-2027学年高一上学期第二次月考数学试题

太行中学2026-2027学年第一学期第二次月考 高一数学试题 命题：郭永芳　　审题：侯红英 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则集合 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的取值范围列举出集合B的所有元素，再通过集合的交运算求.  【详解】由题意，，则. 又 ， 故. 2. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法即可求出函数的解析式． 【详解】∵ ∴令，则 ∴ ∴ 故选：D． 3. 已知集合，则的所有子集中的元素之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 4. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 只有或满足要求. 故选：. 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对A，当时，，A错； 对B，例如时，，B错； 对C，例如，满足，但，C错； 对D，若，则，所以，D正确． 故选：D． 6. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为 ，设物体的真实重量为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用杠杆平衡原理推导真实重量与两次称量结果的关系，结合基本不等式求解即可. 【详解】设天平左右臂长分别为，且，由杠杆平衡原理： 物体放置在左托盘时，力矩平衡满足 ①； 物体放置在右托盘时，力矩平衡满足 ②. 将①②两式左右分别相乘，得， 又均不为，所以，故. 由可知，所以. 7. 已知均为正实数，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【详解】因为，即， 设，则，且， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 8. 已知，若关于的不等式解集中的整数恰有3个，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式化为，由题设分析可得，解出不等式，进而得到，进而求解即可. 【详解】由，则， 即，则， 由于不等式的解集中的整数恰有3个， 因此该不等式一定为一元二次不等式，且， 又，则， 而不等式可变形为，解得， 而，则，即， 所以，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的定义域和对应关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】A中，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； B，C中，函数的解析式相同，定义域也相同，所以为同一函数； D中，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：BC. 10. 记表示x，y，z中的最大者，设函数，则以下实数m的取值范围中满足的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】在同一直角坐标系内画出函数这三个函数的图象，根据的表示的意义，最后确定函数的图象，再利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 由， 由, 由图象可知：当或 时，，因此选项BC符合题意， 故选：BC 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键. 11. 设集合是实数集的非空子集．若对任意的，都有（且当时，还需满足），则称是衡集．下列说法正确的有（ ） A. 若集合是衡集，则 B. 集合是衡集 C. 有理数集是衡集 D. 若衡集中含有非零元素，则中一定含有无限个元素 【答案】CD 【解析】 【分析】对于，取反例即可判断；对于B，取反例即可判断；对于C，取有理数，根据都是有理数即可判断；对于D，取非零元素，则，以此类推可知所有正整数都属于，即可判断． 【详解】对于，取，则，， 且不存在，商的条件自动成立， 因此集合是衡集，但，故错误； 对于B，取，则， 此时，，不满足，即， 因此集合不是衡集，故B错误； 对于，任取有理数，则仍是有理数， 当时，仍为有理数，满足衡集条件， 因此有理数集是衡集，故正确； 对于，若衡集中存在非零元素，则， 以此类推，所有正整数都属于， 因此中一定含有无限个元素，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】令被开方数大于等于零和分母不为零列不等式组可得. 【详解】若函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个函数在给定区间上的值域，再根据题意让前者的值域包含于后者的值域，从而列不等式求得参数的取值范围. 【详解】已知函数 ，当，即在时取最小值，在 时取最大值， 又因为，所以在上单调递增，所以， 因为对 使得 ，即的值域包含于的值域中，因此，即，解得， 综上，a的取值范围是. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求；． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集、并集和补集的运算，即可求解； （2）由，求得，再由，得到，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，集合， 因为，可得，， 所以. 【小问2详解】 由集合，可得，解得， 因为，可得，则满足，解得， 所以，即实数的取值范围为. 16. 设，. （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）若，解关于的不等式； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】(1)代入，解不等式即可； (2)分析当时， 当时， 当时， 当时，比较两根大小即可； (3) 根据题意可得到对，，法一：利用二次函数对称轴与定义之间位置关系和二次函数图像性质分析求解；法二：分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，原不等式可化为，解得， 故原不等式解集为. 【小问2详解】 ，即， 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，，满足； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 【答案】（1） （2）最大值为平方米，米. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式，将代入即可求出的值； （2）利用（1）中得到的关系式结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大值以及此时，的值. 【小问1详解】 设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，， 由切线长定理可知，，则， 由题知且，，， 即，化简得.① 把代入①，解得； 【小问2详解】 由题有，， 因为，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 解得，此时，， 则， 所以的面积的最大值为平方米，此时米. 18. 对于定义在上的函数 ，若 ，使得成立，则称为函数的不动点,已知二次函数. （1）当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； （2）若函数 有两个不相等的不动点 ，且 ，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，将问题转化为方程在区间上有唯一解的问题，解含参的一元二次方程，讨论根的范围即可； （2）根据不动点的定义，方程有两个不相等的正根，利用韦达定理求出的范围，将所求式子化简，代入韦达定理，再通过换元法将式子化简，利用基本不等式即可求最值. 【小问1详解】 因为，即， 当时，有唯一的不动点，则方程有唯一的解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当时，即时，，解得或， 当时，，在上只有一个零点， 当时，，在上只有一个零点， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 令，整理可得， 则，解得， 则 ， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“差一函数”. （1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的“差一函数”，并说明理由. （2）已知函数. ①当时，函数是在上的“差一函数”，求实数的值； ②当时，函数是在（为整数）上的“差一函数”，且存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）①是，理由如下： 对于①，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，符合题意； 对于②，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意； 对于③，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意， 所以①是在上的差一函数. （2）①或；②. 【解析】 【分析】（1）根据“差一函数”的定义逐个分析判断即可. （2）①求出二次函数的对称轴，再按，，和分类求函数在给定范围上的最值，并利用列方程即可求出的值，②由二次函数的性质知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当时，二次函数的对称轴为直线， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 当时，，当时，函数在上单调递增， 则，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减， 则，解得，舍去， 综上所述，或. ②由已知得，二次函数对称轴为直线， 由，即，得，则， 函数在上单调递增， 此函数在处取得最大值，在处取得最小值， 因此， 由为整数，且，得，则，即的值为5， 又，因此， 解得，故实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2026-2027学年第一学期第二次月考 高一数学试题 命题：郭永芳　　审题：侯红英 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则集合 （　　） A. B. C. D. 2. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则的所有子集中的元素之和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 6. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为 ，设物体的真实重量为，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知均为正实数，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知，若关于的不等式解集中的整数恰有3个，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 记表示x，y，z中的最大者，设函数，则以下实数m的取值范围中满足的有（ ） A. B. C. D. 11. 设集合是实数集的非空子集．若对任意的，都有（且当时，还需满足），则称是衡集．下列说法正确的有（ ） A. 若集合是衡集，则 B. 集合是衡集 C. 有理数集是衡集 D. 若衡集中含有非零元素，则中一定含有无限个元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____. 13. 已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求；． （2）若，求实数的取值范围． 16. 设，. （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）若，解关于的不等式； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围. 17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 18. 对于定义在上的函数 ，若 ，使得成立，则称为函数的不动点,已知二次函数. （1）当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； （2）若函数 有两个不相等的不动点 ，且 ，求 的最小值. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“差一函数”. （1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的“差一函数”，并说明理由. （2）已知函数. ①当时，函数是在上的“差一函数”，求实数的值； ②当时，函数是在（为整数）上的“差一函数”，且存在，使得，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $