精品解析：山西省长治市第二中学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一第一次数学学科阶段性作业检测 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，画出数轴，可求出结果. 【详解】集合，，在数轴上表示如图所示：由图可得. 故选：B 2. 不等式4＋3x－x2<0的解集为（ ） A. {x|－1<x<4} B. {x|x>4或x<－1} C. {x|x>1或x<－4} D. {x|－4<x<1} 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次项系数化为正数，然后根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 3. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 4. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 故选：C. 5. 若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法以及举例的方法证明每个不等式是否恒成立. 【详解】① 不恒成立； ②恒成立； ③当时，，所以不恒成立.故选B. 【点睛】本题考查不等式的证明，难度一般.利用作差法证明不等式时，可通过因式分解的方式然后判断与的大小关系得出结果. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 7. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论求解即可. 【详解】不等式的解集为， 当，即时，不等式为恒成立，故符合题意； 当，即时，不等式的解集为， 则，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知实数均为正数，满足，，则的最小值是 A. 10 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值． 【详解】，，，，当且仅当时，取等号． 则， 当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（ ） A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B. 若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若ab＝0，则a＝0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意； B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意； C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意； D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意， 故选：BCD 10. 已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值. 【详解】由开口向上且对称轴为， ∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得， ∴的可能值A、B、C.符合. 故选：ABC. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集得，，结合基本不等式及不等式性质、根与系数关系依次判断各项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根，且， 所以，即，，所以，A正确； 又（等号不成立），所以，所以，，B正确； ，C错误； 方程可化为， 整理得，解得，， 所以， 又，且， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．. 【答案】（1，+∞）． 【解析】 【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A B，列不等式组运算得解 【详解】由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件， 得：A B， 即，即m＞1， 故答案为：（1，+∞）． 【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题． 13. 已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可得． 【详解】关于x的不等式 在R上有解， 即在R上有解， 只需函数的图象与轴有公共点， 所以，即，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求 (1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)． 【答案】（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁UB)∪(∁UC)＝{1,2,6,7,8}． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁UB，∁UC；再求(∁UB)∪(∁UC)． 试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}； 故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 16. 已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 【答案】（1）证明： ∵， ∴. （2）1. 【解析】 【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证. （2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果. 【详解】（1）略； （2）∵，， ∴，即， ∴，∴. 当且仅当时取等号，此时ab取最小值1. 【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题. 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题的真假性相同，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先分别求出命题为真命题、命题为真命题时实数的取值范围，然后对、同真同假进行分类讨论，综合可得出实数的取值范围； （2）先求出当命题、都是真命题时实数的取值范围，再结合补集思想可得结果. 【小问1详解】 若命题为真命题，即，，所以，所以， 若命题为真命题，即，，所以，解得， 因为命题和命题同真假， 当命题为假，命题为假时，解得； 当命题为真，命题为真时，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 若命题和命题都为假命题，则，即， 因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或， 故实数的取值范围是或. 18. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 【答案】（1） （2），最小面积为48平方米 【解析】 【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围. （2）令，将式子化成对勾函数后求最值. 【小问1详解】 解：设的长为米（） 是矩形 由，得 ，解得或 即的取值范围为 【小问2详解】 令，（），则 当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米 19. 设，不等式的解集记为集合． （1）若，求的值． （2）当时，求集合． （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】 【详解】分析：(1)根据不等式解集与对应方程根的关系得，为的两根，再根据韦达定理求的值．(2)先因式分解，再根据，大小关系讨论不等式解得情况，(3)先按m讨论P解集，再根据确定的取值范围． 详解： （1）∵， ∴，为的两根， 代入得， ∴． （2）， 当时，，． ①时，，； ②时，，或； ③时，，或． 综上，， ，， ，． （3）时， 恒成立， 时，，合题， 时，由（1）得合题， 时，， ∴， 此时，解得， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一次数学学科阶段性作业检测 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 不等式4＋3x－x2<0的解集为（ ） A. {x|－1<x<4} B. {x|x>4或x<－1} C. {x|x>1或x<－4} D. {x|－4<x<1} 3. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 已知实数均为正数，满足，，则的最小值是 A. 10 B. 9 C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（ ） A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B. 若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若ab＝0，则a＝0 10. 已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．. 13. 已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为_______ 14. 已知，，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求 (1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)． 16. 已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题的真假性相同，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 19. 设，不等式的解集记为集合． （1）若，求的值． （2）当时，求集合． （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $