精品解析：四川成都市青羊区教育科学研究院附属实验学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

八 上 数 学 期 中 测 试 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 实数，，，，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：是整数，是分数，是循环小数，三者均属于有理数， 是无限不循环小数，为无理数， ，开方开不尽，为无理数， 无理数共2个． 2. 下列各选项中，不能构成直角三角形三边长的一组是（　　） A. 5，7，10 B. 3，4，5 C. 1，，2 D. 7，24，25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；验证所给的数据是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，不能构成直角三角形，符合题意； B．，能构成直角三角形，不符合题意； C．，能构成直角三角形，不符合题意； D．，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解． 【详解】解：要使有意义，需， 解得． 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，做最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，更不可能是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与正方形的性质，根据勾股定理与正方形的性质解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由正方形的性质可知，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象经过点 B. y的值随着x的增大而增大 C. 它的图象经过第二、三、四象限 D. 它的图象与y轴的交点是 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质依次判断即可求解． 【详解】解：将代入，得，故A错误； ∵， ∴随的增大而减小，故B错误； ∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，故C错误； 令，得，即图象与轴的交点是，故D正确． 7. 小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中次得分，爸爸投中次得分．结果两人一共投中了次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小明投中次，爸爸投中次，根据题意结果两人一共投中次，利用“爸爸的得分比小华的得分多分”列出方程组即可． 【详解】解：设小明投中次，爸爸投中次， 根据题意可得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了列二元一次方程，解题关键是根据题意找出等量关系，列出正确的二元一次方程． 8. 如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 实数的相反数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：实数的相反数是． 10. 平面直角坐标系内，点关于轴对称的点的坐标是_______，关于轴对称的点的坐标是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，代入已知点坐标计算即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为横坐标与已知点相同，纵坐标为已知点纵坐标的相反数． ∴点关于轴对称的点的坐标为． ∵关于轴对称的点的坐标特征为纵坐标与已知点相同，横坐标为已知点横坐标的相反数． ∴点关于轴对称的点的坐标为． 11. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE是BAC的平分线，且B=40º，C=60º，则EAD的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理、角平分线的性质进行求解． 【详解】∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B=40°，∠C=60°， ∴∠BAE=∠EAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-40°-60°）=40°． 在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=60°， ∴∠DAC=180°-90°-60°=30°， ∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°． 故答案为：． 【点睛】考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质，解题关键是熟记三角形的内角和定理、角平分线的性质，并灵活运用． 12. 直线向下平移2个单位后的直线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律，掌握左加右减，上加下减的原则是解题的关键． 根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解． 【详解】解：将直线向下平移2个单位，平移后直线的解析式为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点M，交于点N，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由作图可知MN为线段BC的垂直平分线，即得出，，从而由等边对等角得出，证得△ACM是等边三角形，求出CM的长． 【详解】根据作图可知MN为线段BC的垂直平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴△ACM是等边三角形， ∴CM=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 三、解答题（共48分） 14. 计算: （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解是； 【小问2详解】 解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解是． 16. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵是的整数部分， ∴． 【小问2详解】 解：将，，代入得： ， ∴的平方根是． 17. 如图，四边形中，，，，，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）的长为5； （2）四边形的面积为36 【解析】 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，∵，即， ∴是直角三角形， ∴． 18. 如图，已知MN//BF，AB//DE，AC//DF，点E在点C右侧． （1）如图1，求证：∠ABC＝∠ADE； （2）如图2，点G是DE上一点，连接AG，已知AC⊥BF，AG⊥DE． ①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求线段DG的长； ②若AD＝20，点E到AD的距离与线段AG的长度之比为5：4，求线段DE的长． 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质证明即可； （2）连接AE，如图所示：①设AD长为x，则DG长为7-x，在直角三角形中，由勾股定理可得：AD2=AG2+DG2，即，由此求解即可；②由AC⊥BF，可以得到点E到AD的距离为AC的长，由题知AG⊥DE，在中，由三角形面积相等得：AD×AC＝DE×AG，则，由此即可得到答案． 【小问1详解】 证明∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， ∵MN∥BF， ∴∠ADE＝∠DEF， ∴∠ABC＝∠ADE； 【小问2详解】 解：连接AE，如图所示： ①由题知AG⊥DE，AD＝EG，DE＝7， 设AD长为x，则DG长为7-x， 在直角三角形中，由勾股定理可得：AD2=AG2+DG2 即， 解得， ∴ ②∵AC⊥BF， ∴点E到AD的距离为AC的长，由题知AG⊥DE， 在中，由三角形面积相等得：AD×AC＝DE×AG， ∵， ∴， ∵AD＝20， ∴DE＝25． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，勾股定理，三角形面积公式，点到直线的距离，熟知相关知识是解题的关键． 四、填空题（每题4分，共20分） 19. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 20. 已知，则_______． 【答案】2024 【解析】 【分析】先对已知的a做分母有理化化简，再将所求代数式凑成完全平方形式，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 21. 若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，得，再根据二元一次方程的解得定义解决此题． 【详解】解：将x+y=5k记作①式，x-y=9k记作②式． ①+②，得2x=14k． ∴x=7k． ①-②，得2y=-4k． ∴y=-2k． ∴关于x、y的二元一次方程组的解是． ∴x-2y=7k-2×（-2k）=11k=22． ∴k=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ___________，E的坐标是 ____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，矩形的性质，勾股定理．过点轴，根据折叠的性质及矩形的性质可得，最后根据勾股定理求出，再由三角形的面积，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，则， ∵矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 故答案为：； 23. 如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，连接，使,在上截取，连接， 作直线, 因为, ,所以，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值，于是得到问题的答案． 【详解】解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线， ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 五、解答题（共30分） 24. 某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） （1）请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； （2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【答案】（1）A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件 （2）服装店比按标价出售少收入1210元 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用． （1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件， 根据题意，得 解得 答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件． 【小问2详解】 （元）． 答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点，直线l1与l2分别与x轴交于A、B两点． （1）请直接写出b的值和A、B两点的坐标； （2）点P是直线l1上一动点，过点P作x轴的垂线交l2于点Q，设点P的横坐标为n． ①若，求的长； ②当时，能否构成以为腰的等腰三角形？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），点点 （2）①2或6；②能，或 【解析】 【分析】（1）将点 C 坐标代入解析式可求解； （2）①由面积关系，列出方程，即可求解； ②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：直线l2：过点， ， ， 当 时，，则， 故点， 当时，，则， 故点； 【小问2详解】 ①如图， 点P的横坐标为n， 点，点， 当点P在点C右侧时，， ， ， ， ， 当点P在点C左侧时，， ， ， ， ， 的长为2或6； ②点，点，点， ， ， 当时，， ， 当时，， （舍去）， ∴n的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 26. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE． （1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度； （2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2． 【答案】（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解； （2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论； （3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB， ∴AB＝AC＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC， ∵∠AED＝20°， ∴∠ABE＝∠AED＝20°， ∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90° ∴∠CAE＝50°， ∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC， ∴∠AEC＝∠ACE＝65°， ∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°， 故答案为：45； （2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°， 理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α， ∴∠BAE＝180°﹣2α， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α， ∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC， ∴∠AEC＝45°+α， ∴∠AEC﹣∠AED＝45°； （3）如图，过点C作CG⊥AH于G， ∵∠AEC﹣∠AED＝45°， ∴∠FEH＝45°， ∵AH⊥BE， ∴∠FHE＝∠FEH＝45°， ∴EF＝FH，且∠EFH＝90°， ∴EH＝EF， ∵∠FHE＝45°，CG⊥FH， ∴∠GCH＝∠FHE＝45°， ∴GC＝GH， ∴CH＝CG， ∵∠BAC＝∠CGA＝90°， ∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°， ∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC， ∴△AFB≌△CGA（AAS） ∴AF＝CG， ∴CH＝AF， ∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2， ∴（AF）2+（EF）2＝2AE2， ∴EH2+CH2＝2AE2． 【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八 上 数 学 期 中 测 试 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 实数，，，，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列各选项中，不能构成直角三角形三边长的一组是（　　） A. 5，7，10 B. 3，4，5 C. 1，，2 D. 7，24，25 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象经过点 B. y的值随着x的增大而增大 C. 它的图象经过第二、三、四象限 D. 它的图象与y轴的交点是 7. 小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中次得分，爸爸投中次得分．结果两人一共投中了次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 实数的相反数是_____． 10. 平面直角坐标系内，点关于轴对称的点的坐标是_______，关于轴对称的点的坐标是________． 11. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE是BAC的平分线，且B=40º，C=60º，则EAD的度数是_______． 12. 直线向下平移2个单位后的直线的解析式为_____． 13. 如图，在中，，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点M，交于点N，则的长为_______． 三、解答题（共48分） 14. 计算: （1） （2） 15. 解方程组： （1） （2） 16. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 17. 如图，四边形中，，，，，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 18. 如图，已知MN//BF，AB//DE，AC//DF，点E在点C右侧． （1）如图1，求证：∠ABC＝∠ADE； （2）如图2，点G是DE上一点，连接AG，已知AC⊥BF，AG⊥DE． ①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求线段DG的长； ②若AD＝20，点E到AD的距离与线段AG的长度之比为5：4，求线段DE的长． 四、填空题（每题4分，共20分） 19. 比较大小： ______ （填 、或） 20. 已知，则_______． 21. 若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ___________，E的坐标是 ____________________． 23. 如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 _____． 五、解答题（共30分） 24. 某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） （1）请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； （2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点，直线l1与l2分别与x轴交于A、B两点． （1）请直接写出b的值和A、B两点的坐标； （2）点P是直线l1上一动点，过点P作x轴的垂线交l2于点Q，设点P的横坐标为n． ①若，求的长； ②当时，能否构成以为腰的等腰三角形？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 26. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE． （1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度； （2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $