精品解析： 四川省成都市青羊区泡桐树中学 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都市青羊区泡桐树中学八年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 下列实数中，（　　）是无理数 A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，， C. 4，6，8 D. 5，12，15 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 分析下列说法： ①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 在中，，，若，则长度为（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 的平方根是________.－27 的立方根是________.． 10. 使有意义的x的取值范围是_______． 11. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 12. 如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是_____． 13. 如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是_____． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 17. 洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）求的长； （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 18. 在中，，D为平面上一点，分别连接，，． （1）如图1，当，点D在边上时，以为腰在右侧作等腰直角，且，连接、求证：； （2）如图2，当，点D在内部时，，，，求的长； （3）如图3，当D在外部，且，，设，，，则的值是否发生变化，若不变，试求出这个值；若改变，请说明理由． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 比较大小______． 20. 已知实数x，y满足，则________． 21. 在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是_____米． 22. 如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是______，的坐标是_____． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， _____，点M的坐标为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值为 ． （2）求的值． （3）若，求的值． 25. 如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点P的坐标是． （1）求三个顶点A，B，C的坐标； （2）若点P坐标为，连接，，求的面积； （3）当A在y轴上运动，，若点P的坐标是，当是等腰直角三角形，请求出点P的坐标． 26. 已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． （1）如图1，当点D落在上时，求的长； （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，求出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市青羊区泡桐树中学八年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 下列实数中，（　　）是无理数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可． 【详解】解：A 、是有限小数，属于有理数； B 、是开方开不尽的数，属于无理数； C 、，是整数，属于有理数； D 、是分数形式，属于有理数． 故选：B． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，， C. 4，6，8 D. 5，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； C、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可． 【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误； B、不是同类二次根式不能合并，选项错误； C、，选项正确； D、，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键． 4. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，掌握关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数．根据关于x轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故选：A． 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】利用“夹逼法”得出的范围，继而也可得出+1的范围. 【详解】解：∵4 ＜ 6 ＜ 9 ， ∴，即， ∴， 故选：B 6. 如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确求出杯子内筷子的长度是解题关键．利用勾股定理求出杯子内筷子的长度，再利用筷子的总长度减去杯子内筷子的长度即可得． 【详解】解：由题意得：杯子内筷子的长度为， 则筷子露在杯子外面的长度为， 故选：A． 7. 分析下列说法： ①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的点的关系及实数的有关性质．解题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数． 【详解】解：依次分析可得： ①实数与数轴上的点一一对应，符合实数与数轴上的点的关系，正确； ②时，，平方根为0，故错误； ③任何实数的立方根有且只有一个，正确； ④平方根与立方根相同的数是0，而1的平方根是，而立方根是1，不正确． ①③正确， 故选：． 8. 在中，，，若，则长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形，在中，根据，求出的长、的长，在中，由得到，于是得到结论． 【详解】解：过A作于D， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 的平方根是________.－27 的立方根是________.． 【答案】 ①. ±2 ②. -3 【解析】 【详解】∵， ∴的平方根为±2； ∵， ∴－27的立方根为－3． 故答案为： 10. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单． 11. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质结合点的坐标特点得出所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】， ， 点的位置在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了点的坐标，算术平方根的非负性的应用，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 12. 如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的数是0， ∴点表示的实数是， 故答案为：． 13. 如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是_____． 【答案】##13厘米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： 此时． ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）2 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，利用平方根的定义解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再合并即可； （2）先根据立方根、二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法计算即可； （3）先化简每个二次根式，再计算括号里面的，最后算除法即可； （4）根据平方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：， ， ， 或 或． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2）的平方根 【解析】 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，， ， 的整数部分3， ， ，，； 【小问2详解】 ，，， ， 的平方根． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 【答案】（1） 如图1：即为所求； （2） （3） 如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为 【解析】 【分析】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为： ； 【小问3详解】 解：点P的坐标为． 17. 洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）求的长； （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用 ，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）作与点，根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作与点， 四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 【小问2详解】 解：如图，该生继续向前走，到达处，连接， 此时， 在中， ， 此时迎宾门铃距离该生头顶米． 18. 在中，，D为平面上一点，分别连接，，． （1）如图1，当，点D在边上时，以为腰在右侧作等腰直角，且，连接、求证：； （2）如图2，当，点D在内部时，，，，求的长； （3）如图3，当D在外部，且，，设，，，则的值是否发生变化，若不变，试求出这个值；若改变，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵为等腰直角三角形，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2） （3）的值不发生变化， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明，即可证明； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，可证明为等边三角形，得到则可求出，再利用勾股定理可得答案； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，由等边对等角和三角形内角和定理得到则 可证明；在上截取一点T，连接，使得，则，再证明，得到，则可证明是等边三角形，得到，则求出，得到，则 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 为等边三角形， 在中，； 【小问3详解】 解：如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ， ； 如图所示，在上截取一点T，连接，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ， 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 比较大小______． 【答案】> 【解析】 【分析】把的分子分母同时乘以，再比较与的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，把比较两个式子的大小问题转化为比较两个等价的式子是关键． 20. 已知实数x，y满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，可得x、y的值，最后代入再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 21. 在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是_____米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：设正三角形的边长为x， ∵正三角形的高是， ∴由三线合一和勾股定理，得：， ∴， ∴正三角形的边长为2， 如图，将木块展开，得到如图的长方形， 如图长方形的相当于是米，宽米． 在中， 米， ∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米． 故答案为：10． 22. 如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是______，的坐标是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， 余2， ∴是第四组第三个坐标：， 是第675组的第二个坐标， 故． 故答案为：，． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， _____，点M的坐标为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接，然后证明根得到，当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过M作轴，垂足为T，利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解；如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过M作轴，垂足为T， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的最大值， ． 故答案为：6；． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值为 ． （2）求的值． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 25. 如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点P的坐标是． （1）求三个顶点A，B，C的坐标； （2）若点P坐标为，连接，，求的面积； （3）当A在y轴上运动，，若点P的坐标是，当是等腰直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）点P坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据求出，然后根据直角三角形中锐角的性质求出，进而由勾股定理求得，即可得到三点坐标； （2）作辅助线轴，勾股定理求出，进而得出的长度，最后由三角形面积公式求出答案； （3）对于的任意两边是否相等进行讨论，根据“一线三等角”模型证明直角三角形全等，进而求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 如图，作轴，E为垂足，交于D， ∵点P坐标为， ∴，． ∵轴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的面积； 【小问3详解】 ∵点P的坐标是 ∴点P的轨迹在直线上，y轴与该直线交于点F，过点P作轴，E为垂足． 分为三种情况： 假设且时， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，这与矛盾，故这种情况不存在； 假设且时， 同理可证明， 则，， ∴点P坐标为； 假设且时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴点P坐标为． 综上所述，可得点P坐标为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形综合，勾股定理等知识点，掌握“一线三等角”模型是解答本题的关键． 26. 已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． （1）如图1，当点D落在上时，求的长； （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，求出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 【答案】（1）3 （2） （3）①3或6；② 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想分析动点问题是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得， 设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （2）延长交延长线于点M，可得，从而得到，在中， 根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （3）①分情况讨论：，即；当时，作于点H； 当四边形为正方形时，此时，，根据旋转的性质及全等三角形的性质与判定，即可解答； ②作于点H，证明，可得，，在中， 根据勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 在中，，，． 将沿折叠得， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即； 【小问2详解】 如图4，延长交延长线于点M， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即； 【小问3详解】 ①，即； 如图5，当时，作于点H， 则， ， 由旋转的性质得，， ， 又， ， ； 如图6，当四边形为正方形时，此时，， 由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， 此时点D在上，且为的中点，此时，符合题意， ； 综上所述，的长为3或6； ②如图7，作于点H， ， 由旋转的性质得， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $