精品解析：天津市武清区天津英华实验学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期高一第一次统练 数学试卷 （满分120分 考试时间100分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.回答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 集合M满足，则集合M的个数为（ ） A. 8 B. 15 C. 16 D. 18 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知命题：，，则它的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数， 命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集，，，， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知集合，若，则__________. 12. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为_____________ 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________. 15. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 三、解答题：本题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合 （1）若命题是真命题，求实数的值； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 17. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 18. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高一第一次统练 数学试卷 （满分120分 考试时间100分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.回答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知集合，集合，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，该集合的实际意义是大于等于1的实数的集合，是数集； 集合，该集合的实际意义是函数图像上的所有点的集合，是点集； 选项A，数集和点集的交集为空集，A错误； 选项B，点，满足方程，故，，B正确； 选项C，，故，C正确； 选项D，点，不满足方程，故，，D正确. 3. 集合M满足，则集合M的个数为（ ） A. 8 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】集合中共有个元素. 因为，所以集合的个数为. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知命题：，，则它的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用命题否定的定义即可求解. 【详解】由全称命题的否定的概念可知， 命题的否定为：，. 故选：D. 6. 设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数， 命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集，，，， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的运算性质，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】命题①：若，则是的真子集，结合定义可得； 若，结合定义可得是的真子集，所以. 所以对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件，命题①成立. 命题②：结合韦恩图可知表示的区域不大于的区域，故命题②成立. 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果. 【详解】对A，取，所以，故错误； 对B，由，，所以，故正确； 对C, ， 由，，所以，所以，故正确； 对D，由，所以，又，所以 故选：A 8. 有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，相加可得，进而得，利用可得，即可判断出大小. 【详解】， ， ，， ，， 综上可得，． 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题. 9. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 10. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对条件等式变形得到，结合柯西不等式求出代数式的最小值，再根据恒成立原理列不等式求解． 【详解】因为，为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数，都成立， 所以，即，整理得， 解得，所以正数的最大值为． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知集合，若，则__________. 【答案】1或2； 【解析】 【分析】由，可得或，注意要满足集合元素的互异性，即可得解. 【详解】由，， 若，，， 此时，符合题意； 若，则，， 当时，，不符题意， 当时，，符合题意， 综上可得：或. 故答案为：1或2. 12. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为_____________ 【答案】0≤k＜1 【解析】 【分析】根据题意，分k＝0和k≠0两种情况讨论，即可求出k的取值范围． 【详解】不等式对任意恒成立， 当k＝0时，8＞0恒成立，符合题意； 当k≠0时，由题意得，即，解得0＜k＜1． 综上，k的取值范围为0≤k＜1． 故答案为：0≤k＜1． 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质可求的取值范围. 【详解】设， 则，故， 因为，则， 故即， 故答案为：. 14. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围. 【详解】因为， 所以，解得， 所以，， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以， 故答案为：. 15. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对二次项系数分类讨论并结合二次函数的性质建立方程，进而求解参数即可. 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合 （1）若命题是真命题，求实数的值； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解方程确定集合，再根据命题为真求得； （2）根据”是“”的必要条件，得到，由此可求得值． 【小问1详解】 解方程得，或， 所以， 因为是真命题， 所以， 对于方程，因为， 所以该方程一定有解； 当时，方程的解为，此时，满足条件； 当时，方程的解为或， 所以，故， 所以的值为或； 【小问2详解】 因为”是“”的必要条件，所以， 若，则，解得， 若，当，解得，此时或，均不符合题意； 当时，设方程的两根为， 又，所以， 所以， 所以的取值范围为 17. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）通过讨论的正负，结合判别式即可求解； （2）通过讨论，，，，，即可求解. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为. 综上可得，的解集如下， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 18. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系列出方程组并求解出结果； （2）先通过分离参数将不等式变形，然后结合基本不等式求解出的取值范围； （3）根据条件先分析出的值域关系，然后再进行分类讨论求解出的取值范围. 【小问1详解】 原不等式可化为，因为该不等式解集为， 可知的两根为和3， 则，即，故解得； 【小问2详解】 若对任意的恒成立， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 当时，，显然不成立， 综上所述，实数的取值范围是或． 【点睛】结论点睛：本题考查函数与不等式的综合运用，其中着重考查了一元二次不等式恒成立以及函数值域相关问题，难度较难. 一般地，已知函数，, （1）若任意，任意，有成立，故； （2）若任意，存在，有成立，故； （3）若存在，存在，有成立，故； （4）若任意，存在，有，则的值域是值域的子集． 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】（1） （2）最大值为， （3）大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解； （2）由，结合四阶基本不等式可得最值； （3）猜测，成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立. 【小问1详解】 因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 因此的最小值为； 【小问2详解】 当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 因此的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $