广东惠州市合生实验学校2026-2027学年第一学期九年级学情自测（一）数学试卷

合生实验学校2026-2027学年第一学期九年级月测（一） 数 学 试 卷 答 案 考试用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（共10小题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A B D D C A B B 二．填空题（共5小题） 11. y=3x2﹣2 12. ﹣3 13.　1（答案不唯一，只要满足即可）　 14. (2,1) 15. 12 三．解答题(一）（共3小题） 16．解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1＝﹣，x2＝． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【解答】解：（1）由条件可知：Δ＝16﹣4（5﹣m）≥0， 解得m≥1； （2）由条件可知x1+x2＝4，x1•x2＝5﹣m， ∴， 解得m1＝4，m2＝﹣2， 由（1）可知：m≥1， ∴m＝4． 18．如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田ABCD，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在CD边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设AD的长为x米，解答下列问题： （1）AB的长为　（52﹣2x）　 米；（用含有x的代数式表示） （2）围成的矩形试验田ABCD的面积能为240平方米吗？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）AB＝51+1﹣2x＝（52﹣2x）米； 故答案为：（52﹣2x）； （2）围成的矩形试验田ABCD的面积能为240平方米， ∴根据题意列一元二次方程得，x（52﹣2x）＝240， 解得：x1＝20，x2＝6， 当x＝6时，52﹣2x＝52﹣12＝40＞35，（不合题意舍去）， 当x＝20时，52﹣2x＝52﹣40＝12＜35，（符合题意）， ∴AD的长为20米． 四．解答题(二）（共3小题） 19． 已知二次函数y＝x2+2x﹣3，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是　（﹣1，﹣4）　 ，对称轴是直线x＝　﹣1　 ； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当x的取值范围为x＜﹣3或x＞1　 时，y＞0． 【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1． 故答案为：（﹣1，﹣4）；﹣1． （2）列表： x ... ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ... y ... 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ... 建立平面直角坐标系以及画出图象如图所示． （3）结合图象可知，当x的取值范围为x＜﹣3或x＞1时，y＞0． 故答案为：x＜﹣3或x＞1． 20．中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． （1）若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的期平均增长率． （2）为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 【解答】解：（1）设销售量的每期平均增长率为x， 256（1+x）2＝400， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）， 答：销售量的每期平均增长率为25%； （2）设每套灯笼的义卖价格为y元， 根据题意，得（y﹣40）[400+20（58﹣y）]＝4800， 解得y1＝48，y2＝70（舍去）， 答：每套灯笼的义卖价格应定为48元． 21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）． （1）求b，c的值； （2）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围； （3）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝1，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可求解； （2）利用一次函数增减性得出即可； （3）根据题意得出n＝1﹣m，联立方程，解方程即可求得． 【解答】解：（1）将（1，0），（0，2）代入y＝x2+bx+c得：， 解得：， 故b＝﹣3，c＝2； （2）这个函数的解析式为：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣； 把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x+2得，y＝12， ∴y的取值范围是﹣≤y≤12． （3）∵点P（m，n）在该函数的图象上， ∴n＝m2﹣3m+2， ∵m+n＝1， ∴m2﹣2m+1＝0， 解得m＝1，n＝0， ∴点P的坐标为（1，0）． 五．解答题(三）（共2小题） 22．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　①　 ；（填写序号） ①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【分析】（1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义及一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）解方程①得， x1＝0，x2＝1． 因为|1﹣0|＝1， 所以方程①符合题意； 解方程②得， x1＝﹣1，x2＝5． 因为|﹣1﹣5|＝6≠1， 所以方程②不符合题意， 故答案为：①； （2）由x2+2ax＝0得， x1＝0，x2＝﹣2a． 因为此方程为“差根方程”， 所以|﹣2a﹣0|＝1， 解得； （3）令AB＝m，AC＝n， 则m2+n2＝BC2＝7． 又因为|m﹣n|＝1， 则（m﹣n）2＝1， 所以m2+n2﹣2mn＝1， 则mn＝3． 因为（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13， 所以m+n＝（舍负）， 所以这个“差根方程”为． 23. 如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣2，0），抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）求函数解析式和点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接MC、MB，求△MBC面积的最大值，以及取得最大值时点M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A，B两点，已知点A的坐标是（﹣2，0），抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴B（4，0）， 将点A，点B的坐标分别代入抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0），得： ， 解得， ∴函数解析式为； （2）抛物线与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝4， ∴C（0，4）， 如图1，连接BC，交直线x＝1于点P，连接PA， 由轴对称的性质可得PA＝PB， ∴（PA+PC）最小＝PB+PC＝BC，此时点P即为所求． 设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， ∵点P在对称轴直线x＝1上，将x＝1代入函数y＝﹣x+4得： y＝﹣1+4＝3， ∴点P的坐标为（1，3）； （3）如图2，过点M作MN⊥x轴于点N，BC交MN于点Q， 设，则Q（m，﹣m+4）， ∴． ∵B（4，0），C（0，4）， ∴△CMQ的MQ边上的高与△BMQ的MQ边上的高之和为：4﹣0＝4， ∴， 由二次函数的性质可知，当m＝2时，△MBC的面积最大，最大值为4， 此时， 所以△MBC面积的最大值为4，此时点M的坐标为（2，4）． 3:55；用户：于文芳；邮箱：17856101168；学号：40930085 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $合生实验学校2026-2027学年第一学期九年级月测（一) 数学试卷 考试用时：120分钟，满分：120分 一，选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1.下列函数中是二次函数的() A.y=+1 B.y=3(x-1)2-3x C.y=x(+3)-x2 1 D.ytx 2.方程42-2+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（) A.4、2、1 B.4、2、-1 C.4、-2、-1D.4、-2、1 3.二次函数y=(x-3)2-4最小值是（) A.-4 B.3 C.-3 D.4 4.用配方法解方程x2-6+2=0,将方程变为(x-m)2=n的形式，则m值为() A,-3 B.3 C.-6 D.2 5.已知x=1是关于x的方程x2+2a+a2=3的一个根，则代数式a2+2a的值为（) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.关于二次函数y=（x-1)2+2的图象，下列描述错误的是（) A.该抛物线开口向上 B.当x=1时，y有最小值2 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.当x>1时，y随x的增大而减小 7.某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次 降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是() A.2899x2=2349 B.2899(1-x2)=2349 C.2899(1-x)2=2349 D.2899(1-2x)=2349 8.已知关于x的方程x2-6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（) A.8 B.4W6 C.9 D.10 9.已知A(-3,y1),B(-2,2),C(2,y?)三点均在抛物线y=-x2-2+c上，则n,2,3的大小 关系为() A.y1>2>y3 B.y2>y1>为 C.y>y>y D.无法判断 第1页（共4页) 扫描全能王创建 10.如图，抛物线y=m2+bx+c与x轴交于点A（1,0),与y轴交于点B(0,m)（-2<m<-1),对称 轴为直线x=-1.则下列结论正确的个数是() ①abc>0: ②-20>c: ④4a-2b+c>0. A.1 B.2 C.3 D.4 二，填空题（共4小题） 11.将函数y=3x2的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 12若y=(m3)xn2-7是y关于x的二次函数，则m的值为 13.若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值： 14.抛物线y=x2-4+5的顶点坐标为 15.2025年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动.活动结束以后，所有同学们互赠 礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动同学人数为· 三，解答题（一）（每题7分，共3小题，共21分） 16.解方程： (1)x246x-7=0: (2)4x（2+1)=3（2+1). 17.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根， (1)求实数m的取值范围： (2)若，次是该方程的两个根，且满足x子+x号=m2-2,求m的值。 18.如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田ABCD,用来种植蔬菜.试验田一面靠墙， 墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的筒笆围成，并在CD边上开有一扇宽为1米的小门 (篱笆全部用完，门不用篱笆)，设AD的长为x米，解答下列问题： (1)AB的长为 米：（用含有x的代数式表示） (2)围成的矩形试验田ABCD的面积能为240平方米吗？若能，请求出AD 的长；若不能，请说明理由. 第2页（共4页） 扫描全能王创建 四.解答题（二)（每题9分，共3小题，共27分） 19.已知二次函数)y=x2+2x-3,完成下列各题： (1)该抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是直线x= (2)请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图： (3)根据图象回答：当x的取值范围为 时，y>0. 20.中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗，莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动， 制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍.每套灯笼制作成本40 元，义卖标价58元/套.9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套， (1)若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的期平均增长率， (2)为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价，经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数 会在第三期销售量的基础上增加20套.若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则 每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 21.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+o(b,c都是常数)的图象经过点（1,0)和(0,2). (1)求b,c的值： (2)当-2≤x≤2时，求y的取值范围； (3)已知点P(m,n)在该函数的图像上，且m+n=1,求点P的坐标. 第3页（共4页） 器 扫描全能王创建 五.解答题（三)(22题13分，24题14分，共27分) 22.已知关于x的一元二次方程m+b+c=0有两个实数根x1,2,若满足x1-2=1,则此类方程叫做“差 根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是：（填写序号） ①x2-x=0:②2-4x-5=0. (2)已知关于x的方程2+2m=0是“差根方程”，求a的值： (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为√7，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系 数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程” 23.如图，抛物线y=+bx+4（a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是（- 2,0),抛物线的对称轴是直线x=1. (1)求函数解析式和点B的坐标： (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小.求点P的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,连接MC、MB,求△MBC面积的最大值，以及取得最大值 时点M的坐标， 第4页（共4页） 扫描全能王创建