精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2026-2027学年九年级上学期10月期中阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期10月九年级期中阶段测试 数 学 学 科 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 利用配方法将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需先将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程化为的形式，即可求得的值. 【详解】解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 即. 3. 已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是（ ） A. 点火后和点火后升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面 C. 点火后高度开始下降 D. 火箭升空最大高度为 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数的解析式化成顶点式，根据二次函数的对称性和增减性逐项判断即可． 【详解】解：，其对称轴为直线， ∴点火后和点火后升空高度相同；点火后和点火后升空高度相同；则选项A错误； 当时，， ∴点火后火箭未落地，则选项B错误； 抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为，则选项D正确； ∴点火后高度达到最大，之后开始下降， ∴点火后高度仍在上升，则选项C错误． 4. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【详解】∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0． ∴＜0， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选C． 5. 在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据所给的函数解析式确定函数的开口方向，对称轴和最小值，再结合函数图象的特点进行判定即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， 故选：． 6. 充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式为 B. 当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C. 若压强由减压到，则气体体积增加了 D. 若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式可判断A；根据图象可判断B；求出压强为和时的函数值可判断C；求出压强为时的函数值，结合反比例函数的性质可判断D． 【详解】解：A．设P与V的函数关系式为：， 则， 解得， ∴函数关系式为，故A正确； B．由图象可知，当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小，故B正确； C．将代入得，将代入得，，故C正确； D．将代入得， ∵当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的减小而增大，球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于，故D不正确． 故选D． 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象在同一坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线经过定点，即可排除B、C选项；再由一次函数与反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：，当时，，而 ∴， 故直线经过点，B、C均不符合题意； 由A、D可知，直线经过第一、二、三象限，故，那么此时反比例函数图象经过第一、三象限，故只有D符合题意． 8. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④当时，；⑤． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据时函数有最大值可以得到判断；④根据抛物线与轴的交点可以得出判断．⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断； 【详解】解：①观察图象可知：，由图象可知抛物线对称轴为直线，即，得，由图象与轴的交点可得， ，故①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线，即，解得，即，故②正确； ③由图象可知时函数有最大值，因为时，时，所以，故③正确； ⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，，即，故⑤正确； ④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、， 所以当时，；当或时，，故④错误； 综上，①②③⑤正确，共4个． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 是关于的方程的两实数根，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，进而根据已知条件可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 10. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 11. 已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点，若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线上纵坐标相等的两点可确定抛物线的对称轴，进而求出抛物线解析式，再根据点到对称轴、到轴的距离相等的条件列方程，结合在轴上方的约束筛选有效解． 【详解】解：∵ 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∵ 抛物线的对称轴为直线， ∴ ，解得． ∴ 抛物线解析式为． 设点的坐标为， ∵ 为轴上方抛物线上的点， ∴ 点到轴的距离为， 点到对称轴直线的距离为， 根据题意，两距离相等，列方程： ， 当时，，方程化为， 整理得， 解得（舍去，不满足），， 此时点的纵坐标为； 当时，，方程化为， 整理得， 解得（舍去，不满足），， 此时点的纵坐标为； 综上，点的纵坐标为． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合是解题关键．过点作轴于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再将代入正比例函数可得点的坐标，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， 将代入正比例函数得：，解得， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：4． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴, ∴． 【小问2详解】 解：， ， ，即， ∴或， ∴，． 14. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 15. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标； （2）在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象； （3）直接在图中画出直线，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2） 如图： （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，分别令，求出相对应的值，即可得出答案； （2）先确定点的坐标，再描点画函数图象即可； （3）根据图象，找到直线在二次函数上面的范围即可得出答案． 【小问1详解】 把和分别代入二次函数解析式，得 解得 ∴二次函数解析式为． 当时，； 当时，， 解得， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知，当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键． 16. 如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 【答案】（1）当小球运动的时间是时，小球回落到地面处 （2）小球再运动过程中点额最大高度为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果． （1）求出时的值即可； （2）求出的顶点坐标即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ， 当小球运动的时间是时，小球回落到地面处； 【小问2详解】 解：， 当时，最大，为， 小球再运动过程中点额最大高度为． 17. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【答案】（1）y=8x+20；（2）t=50；（3）饮水机内的温度约为76℃ 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值； （3）利用已知由x=7代入求出饮水机内的温度即可． 【详解】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：y=8x+20； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=， 依据题意，得：100=， 即m=1000， 故y=， 当y=20时，20=， 解得：t=50； （3）∵57-50=7≤10， ∴当x=7时，y=8×7+20=76， 答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃． 【点睛】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． 18. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：； 应用模型： （1）不能， 令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：建立模型：将点，代入得：， 解得， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）略 （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月九年级期中阶段测试 数 学 学 科 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 利用配方法将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是（ ） A. 点火后和点火后升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面 C. 点火后高度开始下降 D. 火箭升空最大高度为 4. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 5. 在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式为 B. 当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C. 若压强由减压到，则气体体积增加了 D. 若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象在同一坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④当时，；⑤． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 是关于的方程的两实数根，且，则的值为___________． 10. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 11. 已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点，若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为___________． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，则_____． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程： （1） （2） 14. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 15. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标； （2）在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象； （3）直接在图中画出直线，根据图象直接写出不等式的解集． 16. 如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 17. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 18. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $