专题06 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，内蒙古专用）九年级数学上学期

专题06 直线与圆的位置关系 考点01 圆的切线 考点02 三角形的内切圆 考点03 正多边形与圆 考点01 圆的切线 1．C 2．D 3．C 4．【答案】43 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，结合内接圆可得四边形是正方形，设的半径，则，所以，则，由，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，， ∵的内切圆与分别相切于点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定和性质，三角形内接圆，切线长定理的综合，掌握切线长定理是解题的关键． 6．【答案】 【分析】 连接CM，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M（2，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度． 【详解】 解：连接CM， ∵抛物线的解析式为，点D是抛物线与y轴的交点 ∴点D的坐标为（0，-5）， ∴OD=5． 设y=0，则0=x2-4x-5，解得：x=-1或5， ∴A（-1，0），B（5，0）． ∴AO=1，BO=5， ∴AB=8，M（2，0）， ∴MC=MB=3，OM=2， 在Rt△COM中，OC=， ∴CD=OD+OC=， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长， 故答案为：． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键． 7．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点睛】 本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 8．【答案】R度 【分析】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答即可． 【详解】 解：是的切线， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 9．【答案】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 【分析】 本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】 略 10．【答案】（1） 证明：如图，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C． ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ADE=90°． ∵AD∥BC， ∴∠CED=∠ADE=90°． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA=90°． ∴∠AFD=∠CED=90°． 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（AAS）． ∴AF=CE．     （2）      【分析】 （1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证； （2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接AH，DF， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD=∠DFA=90°． ∵AD=AB，， ∴． 在Rt△ADF和Rt△BDF中， 由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2， ∴AD2－AF2=BD2－BF2． ∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2． ∴． ∴AD=5． ∴⊙O的半径为． 【点睛】 本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题． 11．【答案】（1）证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AD∥OC， 又∵AE⊥CP， ∴AE⊥CP， ∴直线CP与⊙O相切； （2） 【分析】 （1）如图，连接OC．欲证明直线CP与⊙O相切，只需要证得OC⊥CD； （2）在直角△ABC中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”、勾股定理可以求得AC=．然后在直角△ACD中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”来求线段CD的长度． 【详解】 （1）略 (2)连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=900， ∵AB=10，∠CAB=30º， ∴BC=5， ∴AC=， 又∵∠1=∠2=300， AE⊥CP于点D， ∴CD= 【点睛】 本题考查了切线的判定、勾股定理以及圆周角定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 12．【答案】（1） 证明：连接，则：， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据扇形的面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 13．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线；     （2）8      【分析】 本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由等边对等角，角平分线的定义可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为r，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为r，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴的长为8． 14．【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，连接， 是的切线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ；     （2）3      【分析】 （1）连接，根据切线的定义可得，再证明，再由等腰三角形性质可得，最后由平行线的判定证明即可； （2）根据切线长定理先求得长，再根据勾股定理求得长，再设，则，利用勾股定理解求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是的切线， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即半径的长为3． 【点睛】 本题考查切线的性质，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定等：掌握切线的性质，切线长定理是解题的关键． 15．【答案】证明：如图，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 直线与相切． 【分析】 由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 16．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴A，B，C，D四个点在以O为圆心，为半径的圆上； （2）； （3）点P的坐标为或 【分析】 （1）根据矩形的性质可得，进而即可证明A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）以点A为圆心，为半径作圆，根据可得点C、D必在上，进而根据圆周角定理求解即可； （3）由题意得，当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】 （1）略 （2）如图，以点A为圆心，为半径作圆， ∵， ∴点C、D必在上， ∵是的圆周角，且是圆心角， ∴ ； （3）如图所示，根据三角形外角的性质得， ∵，， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，切点为P，连接，则轴 过点C作于点M，连接，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵轴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴点P的坐标为， 同理，当点P位于y轴负半轴时，点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的判定和性质，圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． 17．【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 考点02 三角形的内切圆 1．A 考点03 正多边形与圆 1．D 2．D 3．C 4．C 5．【答案】60 【分析】 本题主要考查了正多边形中心角．熟练掌握正多边形中心角的概念和计算方法，是解题的关键． 用除以正六边形的边数即得． 【详解】 解：如图，正六边形的中心角为：． 故答案为：60． 6．【答案】45 【分析】 本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】 解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，过点作于，由正六边形的性质可得，，即得为等边三角形，得到，，即得到，进而求出，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接，过点作于，则， ∵是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．先由正五边形内接于求出，再利用四边形是的内接四边形得，从而求得的度数． 【详解】 解：正五边形内接于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 圆的切线 考点02 三角形的内切圆 考点03 正多边形与圆 考点01 圆的切线 1．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，的半径为2，是的切线，A为切点，，则的长为（     ） A. 4 B.  C.  D. 6 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在中，是的切线，连接交于点，是上一点，连接，，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为　　　　　　　°． 5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，则的半径为　　　　　　　． 6．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 8．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 10．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． （1）求证：AF=CE； （2）若BF=2，，求⊙O的半径． 11．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，且AC平分∠DAB． （1）求证：直线CP与⊙O相切． （2）若AB=10，∠CAB=30º，求CD的长． 12．（24-25学年九上·期末）如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求： （1）求证：直线是的切线； （2）若，求扇形的面积 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 14．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． （1）与有怎样的位置关系？并说明理由； （2）若，求的半径． 15．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切． 16．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）阅读课本中这样一段话：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 【初步运用】 （1）如图，矩形的对角线，相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【拓展应用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图，，若，求的度数． 【方法迁移】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点P是y轴上任意点．当最大时，求点P的坐标． 17．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 考点02 三角形的内切圆 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 考点03 正多边形与圆 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法中正确的是（　　） A. 平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B. 在数轴上，点A所表示实数为，点所表示实数为、半径为3，当时，点在内 C. 若两条弧的度数相等，则它们是等弧 D. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角是互补关系 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（       ）． A.  B. 2 C.  D.  3．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A.  B.  C. 3 D.  5．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，从蜂巢的入口看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的中心角为　　　　　　　　　　度． 6．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为　　　　　　　　　　　度． 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为　　　　　　． 8．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为　　　　　　　　　　　　°． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 圆的切线 考点02 三角形的内切圆 考点03 正多边形与圆 考点01 圆的切线 1．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，的半径为2，是的切线，A为切点，，则的长为（     ） A. 4 B.  C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题主要考查了切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，由切线的性质得到，则由含30度角的直角三角形的性质可得的长，进而利用勾股定理可得的长． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，的半径为2， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在中，是的切线，连接交于点，是上一点，连接，，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查切线的性质，圆周角定理．连接、，由切线的性质得，继而得到，根据等弧所对的圆心角相等得，再根据圆周角定理即可得解．掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 【详解】 解：连接、， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵圆心角和圆周角所对的弧是， ∴， 即的度数为． 故选：D． 3．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，由垂径定理可得，设，，则，，利用勾股定理得出，再根据圆的切线的性质，得出，利用的长得到关于的一元二次方程，利用公式法求出，即可求解． 【详解】 解：如图，折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ， 为半圆上的一条弦，， ， 设，， ，，， ， ， ， ， 折叠后的弧所在的圆与半径相等， ， 折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点， ， ， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 故选：C． 【点睛】 本题是圆与三角形综合题，考查了轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质，解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 4．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为　　　　　　　°． 【答案】43 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，则的半径为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，结合内接圆可得四边形是正方形，设的半径，则，所以，则，由，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，， ∵的内切圆与分别相切于点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定和性质，三角形内接圆，切线长定理的综合，掌握切线长定理是解题的关键． 6．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接CM，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M（2，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度． 【详解】 解：连接CM， ∵抛物线的解析式为，点D是抛物线与y轴的交点 ∴点D的坐标为（0，-5）， ∴OD=5． 设y=0，则0=x2-4x-5，解得：x=-1或5， ∴A（-1，0），B（5，0）． ∴AO=1，BO=5， ∴AB=8，M（2，0）， ∴MC=MB=3，OM=2， 在Rt△COM中，OC=， ∴CD=OD+OC=， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长， 故答案为：． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键． 7．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点睛】 本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 8．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为　　　　　　． 【答案】R度 【分析】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答即可． 【详解】 解：是的切线， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【答案】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 【分析】 本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】 略 10．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． （1）求证：AF=CE； （2）若BF=2，，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C． ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ADE=90°． ∵AD∥BC， ∴∠CED=∠ADE=90°． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA=90°． ∴∠AFD=∠CED=90°． 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（AAS）． ∴AF=CE．     （2）      【分析】 （1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证； （2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接AH，DF， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD=∠DFA=90°． ∵AD=AB，， ∴． 在Rt△ADF和Rt△BDF中， 由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2， ∴AD2－AF2=BD2－BF2． ∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2． ∴． ∴AD=5． ∴⊙O的半径为． 【点睛】 本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题． 11．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，且AC平分∠DAB． （1）求证：直线CP与⊙O相切． （2）若AB=10，∠CAB=30º，求CD的长． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AD∥OC， 又∵AE⊥CP， ∴AE⊥CP， ∴直线CP与⊙O相切； （2） 【分析】 （1）如图，连接OC．欲证明直线CP与⊙O相切，只需要证得OC⊥CD； （2）在直角△ABC中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”、勾股定理可以求得AC=．然后在直角△ACD中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”来求线段CD的长度． 【详解】 （1）略 (2)连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=900， ∵AB=10，∠CAB=30º， ∴BC=5， ∴AC=， 又∵∠1=∠2=300， AE⊥CP于点D， ∴CD= 【点睛】 本题考查了切线的判定、勾股定理以及圆周角定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 12．（24-25学年九上·期末）如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求： （1）求证：直线是的切线； （2）若，求扇形的面积 【答案】（1） 证明：连接，则：， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据扇形的面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线；     （2）8      【分析】 本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由等边对等角，角平分线的定义可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为r，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为r，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴的长为8． 14．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． （1）与有怎样的位置关系？并说明理由； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，连接， 是的切线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ；     （2）3      【分析】 （1）连接，根据切线的定义可得，再证明，再由等腰三角形性质可得，最后由平行线的判定证明即可； （2）根据切线长定理先求得长，再根据勾股定理求得长，再设，则，利用勾股定理解求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是的切线， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即半径的长为3． 【点睛】 本题考查切线的性质，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定等：掌握切线的性质，切线长定理是解题的关键． 15．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切． 【答案】证明：如图，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 直线与相切． 【分析】 由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 16．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）阅读课本中这样一段话：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 【初步运用】 （1）如图，矩形的对角线，相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【拓展应用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图，，若，求的度数． 【方法迁移】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点P是y轴上任意点．当最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴A，B，C，D四个点在以O为圆心，为半径的圆上； （2）； （3）点P的坐标为或 【分析】 （1）根据矩形的性质可得，进而即可证明A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）以点A为圆心，为半径作圆，根据可得点C、D必在上，进而根据圆周角定理求解即可； （3）由题意得，当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】 （1）略 （2）如图，以点A为圆心，为半径作圆， ∵， ∴点C、D必在上， ∵是的圆周角，且是圆心角， ∴ ； （3）如图所示，根据三角形外角的性质得， ∵，， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，切点为P，连接，则轴 过点C作于点M，连接，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵轴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴点P的坐标为， 同理，当点P位于y轴负半轴时，点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的判定和性质，圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． 17．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 考点02 三角形的内切圆 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【分析】 根据点是的内心，可得，可判断① 正确；连接，，可得，从而得到，进而得到，可判断② 正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，可判定③ 正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，得出，可判断④ 正确． 【详解】 解：∵点是的内心， ∴， ∴对应的圆心角相等， ∴， ∴，故① 说法正确； 如图，连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，故② 说法正确； ∵， ∵点为的中点， ∴线段经过圆心O， ∴， ∴成立，故③ 说法正确； ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④ 说法正确； 综上分析可知，① ② ③ ④ 正确． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键． 考点03 正多边形与圆 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法中正确的是（　　） A. 平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B. 在数轴上，点A所表示实数为，点所表示实数为、半径为3，当时，点在内 C. 若两条弧的度数相等，则它们是等弧 D. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角是互补关系 【答案】D 【分析】 根据垂径定理，点和圆的位置关系，等弧的定义，正多边形的性质等知识逐一进行判断即可． 【详解】 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项错误； B、在数轴上，点A所表示的实数为，点B点示的实数为a，的半径是3，说明点B表示的实数a满足时，点B在内，故此选项错误； C、在同圆或等圆中，若两条弧的度数相等，则它们是等弧，故此选项错误； D、因为正多边形的中心角等于它的外角，正多边形的内角与外角是互补关系，所以正多边形的中心角与正多边形一个内角也是互补关系，此选项正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查了垂径定理，点和圆的位置关系，等弧的定义，正多边形的性质等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（       ）． A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】 解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D 【点睛】 此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置． 3．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可． 【详解】∵五边形为正五边形 ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键． 4．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A.  B.  C. 3 D.  【答案】C 【分析】 根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】 解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 5．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，从蜂巢的入口看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的中心角为　　　　　　　　　　度． 【答案】60 【分析】 本题主要考查了正多边形中心角．熟练掌握正多边形中心角的概念和计算方法，是解题的关键． 用除以正六边形的边数即得． 【详解】 解：如图，正六边形的中心角为：． 故答案为：60． 6．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为　　　　　　　　　　　度． 【答案】45 【分析】 本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】 解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，过点作于，由正六边形的性质可得，，即得为等边三角形，得到，，即得到，进而求出，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接，过点作于，则， ∵是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为　　　　　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．先由正五边形内接于求出，再利用四边形是的内接四边形得，从而求得的度数． 【详解】 解：正五边形内接于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $