精品解析：河北沧州市第十四中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年第一学期第一次学情反馈 8年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共7页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小圆里的表示（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 6. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 8. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列选项的尺规作图，能推出的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 下列条件：①； ②； ③； ④； ⑤．其中能判定是直角三角形的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如图，________． 14. 如图，是的中线，于点，于点，已知，，则___________． 15. 如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数为_____． 16. 如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动．动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于．则点运动时间为___________时，与全等． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知，，．求证：． 18. 如图，平分，，，垂足分别为点，，． （1）求证：； （2）如果，，直接写出___________（用含的代数式表示） 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． （1）与的数量关系为___________； （2）求的长； （3）试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 20. 如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． （1）当时，___________，___________；点从向运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由． 21. 根据要求回答下列问题： （1）［问题情境］如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小凉的思路如下：作，则，． 是的中线． ______________________． ；（请完成填空） （2）［解决问题］如图②，为提高全民健身环境，“公园管理部”打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长，的，，至点，，，使得，，分别为，，的中点，依次连接点，，得，已知的面积为，改造甲区域成本为元/，扩建乙区域成本为元/． ①的面积等于面积的___________倍； ②求改造总费用． 22. 【知识储备】 素材1：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点在线段上，，则点的坐标为； 素材2：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫作三角形的重心． 【知识迁移】 在平面直角坐标系中，，，分别是的三条中线，是三条中线的交点，且已知点，，． （1）根据素材2可知与的数量关系为___________，根据素材1可知点的坐标为，即点的坐标为___________，所以的重心的坐标是，即点的坐标为___________； （2）若设的重心坐标是，的重心坐标是，则先求得线段的中点坐标是___________，则点的坐标为___________，点的坐标为___________； （3）结合（1）（2）可知重心，，的横、纵坐标之间的关系为___________，___________． 23. （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 24. 根据要求回答下列问题： （1）【提出问题】如图①，是的中线，是的中线．若的面积为2，则的面积为___________； （2）【探究问题】如图②，在和中，，，，连接，，试判断和的数量关系，并说明理由； （3）【解决问题】某中学为打造绿色校园，计划在教学楼旁的四边形空地（如图③）上铺设草坪．已知，米，为方便师生通行，计划在空地内部修建两条步道和（两条步道的宽度忽略不计），两条步道交于点，，，．施工前，后勤人员需精准计算草坪的面积以节约采购成本，请求出草坪的面积（即四边形的面积）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情反馈 8年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共7页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小圆里的表示（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：， 图中小圆里的表示等边三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形根据边分类的情况是解题的关键． 3. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义判断即可解答． 【详解】∵过点C，且， ∴边上的高是． 故选：A 5. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 6. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．本题可通过旋转的性质得出，，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则，，，， ∵， ∴，故A错误； ∵与不一定全等， ∴， ∵， ∴，故B错误； ∵， 又∵， ∴，故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 7. 如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：对于甲，由图可知，两个三角形有两条边和一组对角对应相等，不符合全等的判定； 对于乙，由图可知，两个三角形有两条边和一组夹角对应相等，符合“”的全等判定； 对于丙，由图可知，两个三角形有两组角和一条对边对应相等，符合“”的全等判定； 综上，符合要求的图形为乙和丙． 8. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值． 【详解】 解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM， ∴PA=PQ=2， 故选：B． 9. 下列选项的尺规作图，能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的性质，要确定，即判断点在线段的垂直平分线上． 【详解】解：A、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意； B、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意； C、由图可知点在的角平分线上，不能确定，不符合题意； D、由图可知点在线段的垂直平分线上，能确定，符合题意； 故选：D． 10. 如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长至点，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：倍长至点，连接，则， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选A． 11. 下列条件：①； ②； ③； ④； ⑤．其中能判定是直角三角形的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用三角形内角和定理求出最大角的度数进行判断； ②根据连比，利用三角形内角和定理求出最大角的度数进行判断； ③利用三角形内角和定理列出方程组，求出相关角的度数进行判断； ④根据角的关系以及三角形内角和定理，列出方程求出最大角，然后进行判断； ⑤根据角的关系以及三角形内角和定理，列出方程求出最大角，然后进行判断． 【详解】解：①由，可得， ∴该三角形是直角三角形；  ②由，可得， ∴该三角形是直角三角形；  ③由，且可得，，无法求出另外两个角的度数， ∴该三角形无法确定是否为直角三角形；  ④由，可得，且， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形；  ⑤由，可得，且， ∴， ∴该三角形是直角三角形； 综上，能判定是直角三角形的有4个． 12. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴结论①不正确，结论②正确； 过点作于点，过点作于点，连接， ∵平分，OC平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴结论③正确， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∴结论④正确， ∴正确的结论有：②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如图，________． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，是的中线，于点，于点，已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分面积，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵中，为中线， ∴， ∵，，，， ∴，即：， ∴． 15. 如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数为_____． 【答案】15° 【解析】 【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB＝∠BAD． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE， 又∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵∠DAC＝70°，∠BAE＝100°， ∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣70°）＝15°， 在△ABG和△FDG中， ∵∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD， ∴∠DFB＝∠BAD＝15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质,三角形的内角和,属于简单题,熟悉全等三角形的性质是解题关键. 16. 如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动．动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于．则点运动时间为___________时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】设点运动时间为，分为点在边上与点在边上两类讨论，利用全等可得，列方程求解即可． 【详解】解：设点运动时间为， ①当点在边上时，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∵与全等， ∴斜边与斜边是对应边，即， ∴， 解得； ②当点在边上时，如图， ∴，， 同理①可知，， ∴， 解得； 综上所述，或． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴，即 在和中 ∴． 【解析】 【分析】根据等式的性质，三角形全等的判定解答即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，平分，，，垂足分别为点，，． （1）求证：； （2）如果，，直接写出___________（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明：∵ 平分，，， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线的性质得到，结合条件，用 证明与全等，得到对应边． （2）先利用 证明与全等，得到，再代入、以及，整理求出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵ 平分，， ∴ ， 在和中 ∴ ∴ ， ∵ ，， ∴ ． 由（1）可知 ， ∴ ． ∴ ． 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． （1）与的数量关系为___________； （2）求的长； （3）试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下， 如图，连接、、， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与相交于点， ∴，， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案； （2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为，结合（1）中结论，得出，即可得出答案； （3）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，，进而得出，即可得出点在边的垂直平分线上． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴． 【小问2详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为 ∴， 由（1）可知，， ∴，即． 【小问3详解】 解：点在边的垂直平分线上，理由略． 20. 如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． （1）当时，___________，___________；点从向运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由． 【答案】（1），，小 （2）解：当时，，理由如下， ∵，，， ∴， ∵， ∴当时，． 【解析】 【分析】（1）根据邻补角的定义得出，根据角的和差关系可得，利用三角形内角和定理可求出，根据图形，可判断逐渐变小； （2）利用外角性质得出，结合，根据即可得出当时，． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由图形可知，点从向运动时，逐渐变小． 【小问2详解】 解：当时，，理由略． 21. 根据要求回答下列问题： （1）［问题情境］如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小凉的思路如下：作，则，． 是的中线． ______________________． ；（请完成填空） （2）［解决问题］如图②，为提高全民健身环境，“公园管理部”打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长，的，，至点，，，使得，，分别为，，的中点，依次连接点，，得，已知的面积为，改造甲区域成本为元/，扩建乙区域成本为元/． ①的面积等于面积的___________倍； ②求改造总费用． 【答案】（1） （2）①，②元 【解析】 【分析】（1）作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论； （2）①连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得； ②根据①的结果即可得到结论． 【小问1详解】 解：作，则，， ∵是的中线，， ∴； 【小问2详解】 ①连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 即的面积等于面积的倍； ②由①同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 22. 【知识储备】 素材1：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点在线段上，，则点的坐标为； 素材2：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫作三角形的重心． 【知识迁移】 在平面直角坐标系中，，，分别是的三条中线，是三条中线的交点，且已知点，，． （1）根据素材2可知与的数量关系为___________，根据素材1可知点的坐标为，即点的坐标为___________，所以的重心的坐标是，即点的坐标为___________； （2）若设的重心坐标是，的重心坐标是，则先求得线段的中点坐标是___________，则点的坐标为___________，点的坐标为___________； （3）结合（1）（2）可知重心，，的横、纵坐标之间的关系为___________，___________． 【答案】（1），， （2），， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据素材 2 直接得到重心和中点满足，代入、用中点公式算出坐标，再代入题目给出的重心坐标式子算出坐标为． （2）先用中点公式算出与的中点，再分别用三角形重心坐标公式，代入三个顶点坐标算出重心和重心的坐标． （3）把重心、的横纵坐标相加再除以 2，对比的横纵坐标，得出对应的关系式． 【小问1详解】 解：∵ 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍． ∴ ． ∵ 是 的中点，中点坐标公式：． ∴ ，． ∴ ． ∵ 的坐标为 ， ∴ ，， ∴ ． 【小问2详解】 解：先求线段 的中点，， 中点横坐标： 中点纵坐标： ∴ 的中点坐标是 求的重心： ，，． 重心坐标公式： ， ∴ 求的重心： ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵ ，， ∴， ∴， ∴ ，． 23. （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）； （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2） 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 根据要求回答下列问题： （1）【提出问题】如图①，是的中线，是的中线．若的面积为2，则的面积为___________； （2）【探究问题】如图②，在和中，，，，连接，，试判断和的数量关系，并说明理由； （3）【解决问题】某中学为打造绿色校园，计划在教学楼旁的四边形空地（如图③）上铺设草坪．已知，米，为方便师生通行，计划在空地内部修建两条步道和（两条步道的宽度忽略不计），两条步道交于点，，，．施工前，后勤人员需精准计算草坪的面积以节约采购成本，请求出草坪的面积（即四边形的面积）． 【答案】（1）4 （2）解：， 理由：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （3）草坪的面积为90平方米． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线平分三角形的面积计算即可； （2）证明，即可得到结论； （3）以点B为直角顶点作等腰直角三角形，连接，证明，则米，，得到，求出，，得到四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵是的中线，的面积为2， ∴的面积和的面积相等，即为4， ∵是的中线， ∴的面积和的面积相等，即为4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以点B为直角顶点作等腰直角三角形，连接， 则， ∵， ∴点在线段上， ∴，即， ∵， ∴， ∴米，， ∴， ∴（平方米）， ∵ ∴， ∴（平方米）， ∴四边形的面积（平方米）， ∴草坪的面积为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $