专题08 圆内接四边形、正多边形、弧长及扇形的面积 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题08 圆内接四边形、正多边形、弧长及扇形的面积期中复习讲义 ✵复习目标 理解圆内接四边形定义，掌握其性质，能完成角度计算与简单的四点共圆证明。 掌握正多边形与圆的相关概念，会计算正多边形的中心角、边长、边心距；能由中心角求正多边形的边数。 熟记弧长、扇形面积公式，熟练进行正向、逆向的弧长、扇形面积、弓形面积计算。 掌握正多边形的对称性，理解同圆中圆心角、弧长、扇形面积的比例关系。 综合运用本专题知识，解决期中常见几何计算与证明问题。 ✵高频题型梳理 题型1.已知圆内接四边形求角度 题型2.求四边形外接圆的直径 题型3.正多边形中心角的计算及根据中心角求正多边形边数 题型4.正多边形和圆的综合 题型5.弧长的计算 题型6.动点弧形运动路径长度计算 题型7.求扇形、弓形的面积 题型8.求其他不规则图形的面积 题型9.求图形旋转后扫过区域的面积 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆内接四边形 1.定义：若一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，则该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 2.性质：（1）圆内接四边形的对角互补。两组对角之和为180°；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 注意：对角互补的四边形四点共圆。期中以性质正向运用和简单判定为主。 补充：该性质常用于角度转化，常与圆周角定理结合考查。 知识点二、正多边形与圆 1.正多边形定义：各边相等、各内角相等的多边形为正多边形。 任意正多边形必有唯一的外接圆与内切圆，两圆为同心圆。 2.正多边形核心四要素 （1）中心：正多边形外接圆的圆心。 （2）半径：正多边形外接圆半径，即中心到顶点的距离。 （3）边心距：正多边形中心到各边的垂直距离，即内切圆半径，垂直平分对应边长。 （4）中心角：正多边形的边所对的外接圆圆心角。 3.核心计算公式： 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 多边形的内角的度数：＝180°－。 正多边形的中心角的度数： 正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 正多边形的周长：C＝n·a 正多边形的面积：S=nar=C·r 4.基础性质 （1）轴对称性：所有正多边形均为轴对称图形，正n边形有n条对称轴，且均过图形中心。 （2）中心对称性：偶数边正多边形为中心对称图形；奇数边正多边形仅为轴对称图形。 知识点三、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 2.公式常用变形： n=，R= 知识点四、扇形 1.扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2.扇形的面积：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 公式适用场景： （1）已知圆心角度数，选用角度式公式； （2）已知弧长或逆向计算，选用弧长式公式，计算更简便。 知识点五、弓形 计算方法： 优弧弓形面积 = 扇形面积 + 三角形面积 劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积 知识点六、图形变化规律 半径固定时，圆心角越大，弧长越长，扇形面积越大。 圆心角固定时，半径越大，弧长越长，扇形面积越大。 ✵易错提醒 1.圆内接四边形为对角互补，并非邻角互补，注意区分。 2.正多边形中心角公式，勿与内角公式混淆。 3.弧长、扇形面积公式中n代表圆心角度数；计算扇形面积注意是半径平方。 4.计算弓形面积先区分优弧、劣弧弓形，正确选择加减运算。 5.正多边形计算核心模型：半径为斜边，边心距、边长的一半为直角边的直角三角形。 6.弧长是长度，扇形面积是面积；无特殊说明，结果保留π，不取近似小数。 7.正奇数边形（正五边形、正七边形等）不是中心对称图形，仅正偶数边形是中心对称图形。 ✵典例精讲 题型1.已知圆内接四边形求角度 1．如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的四点， ∴， ∵， ∴． 2．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 【答案】45或135 【分析】先根据勾股定理的逆定理求出，然后分点C在优弧上和劣弧上讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵半径为，弦， ∴，， ∴， ∴， 当点C在优弧上，如图中的点，则； 当点C在劣弧上，如图中的点，则， ∴， 综上，或． 3．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 略 题型2.求四边形外接圆的直径 1．如图，在中， ，，，点是上一动点， ，，垂足分别为， ，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解可得，然后推出四边形内接于，且为直径，可得，继而得到，当最小时，则最小，而时最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵在中， ，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形为圆内接四边形， 连接，则为直径，取中点为，连接、，过点作于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最小时，则最小，当时最小， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 2．如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 3．如图，是直径，E、D是上两点，延长与交于C，且． (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边对等角可得，由圆内接四边形的性质可得，从而得出，即可得证； （2）连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接， ， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 题型3.正多边形中心角的计算及根据中心角求正多边形边数 1．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 2．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 3．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 题型4.正多边形和圆的综合 1．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由的周长等于，可得的半径，再求得正六边形的中心角，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵的周长等于， ∴的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长为6． 2．如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，，由正五边形求出圆心角，结合半径为利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴的长为：． 3．如图，等边三角形和正方形内接于，，分别与相交于点G，H．若的半径为R，求的长． 【答案】的长为 【分析】连接交于点，连接，，证明直线是线段的垂直平分线，求得，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵正方形和等边三角形都内接于， ∴是的直径，，，， ∴，， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 题型5.弧长的计算 1．如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】管道的长度实际为的长，把圆心角和半径代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， 又∵弧长公式， ∴的长为 即该弯形管道的长度为． 2．一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 【答案】6 【分析】根据扇形的面积公式，将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为，已知扇形的弧长，面积． 由扇形面积公式，可得 化简得 两边同时除以，得． 3．已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数． 【答案】 【详解】解：设，， ，， ， ， ， ， ． 题型6.动点弧形运动路径长度计算 1．如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，； ∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为． 2．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，点扫过的弧长为． 3．在平面直角坐标系中，已知线段与线段关于轴对称，点是点的对应点，点是点的对应点． (1)画出线段和； (2)画出将线段绕点，逆时针旋转所得的线段，并求出点旋转到点所经过的路径长． 【答案】(1)如图，线段和为所作； (2)如图，线段为所作，点旋转到点所经过的路径长为 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，再求出的长，然后利用弧长公式计算点旋转到点所经过的路径长． 【详解】（1）略 （2）解：图略， ， 所以点旋转到点所经过的路径长． 题型7.求扇形、弓形的面积 1．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算判断即可 【详解】解：扇形面积，圆心角变为 ，半径变为， 变化后的扇形面积为： 2．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，锐角三角函数的应用．如图，过作交于，交于，由图形可知，，在中求解从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为： 3．如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理解答即可； （2）直接利用弧长公式计算即可； （3）利用扇形面积减去直角三角形的面积即可. 【详解】（1）解：， ． （2）解：∵的半径为3，， ∴的长为. （3）解：∵的半径为3，， ． 又， ． 题型8.求其他不规则图形的面积 1．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 2．如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，将求阴影部分的面积变成求扇形的面积，根据平行线的性质和切线的性质定理得到扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解: 如图，连接， ∵是的切线，为切点， 则， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， 与同底等高， ， ， 半径，圆心角， 扇形面积． 3．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数； （2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果． 【详解】（1）解：为的直径， ， ． ，， ， ． （2）解：为的直径且， ． 是的角平分线且， ． ，， ． ， ， ， 为等腰直角三角形， 阴影部分面积为圆面积减去，即， 即阴影部分面积为． 题型9.求图形旋转后扫过区域的面积 1．如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，扇形面积公式，含的直角三角形的相关计算，求旋转图形扫过的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再由旋转性质得，求出旋转角，根据扇形面积计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 由旋转性质可知，，即，， ∴， ∴边扫过的阴影面积为， 故选B． 2．如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点恰好落在斜边上．已知，，则旋转过程中边扫过的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得，结合得出，根据扇形面积公式及边扫过的面积即可． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：由条件得， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴边扫过的面积为， 故答案为：． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握作旋转图形及扇形的面积是关键． （1）分别作出点A与点B绕点C顺时针旋转后的对应点D与点E，连结，和即可； （2）根据勾股定理求得，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，     线段在旋转过程中扫过的图形面积为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 2．如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆内接四边形对角互补． 解：圆内接四边形， ， ， ， ． 3．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式，代入已知圆心角与面积，进而求出扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得， 化简得， 解得， ， ． 4．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴， ∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∵点沿着圆周转动，即旋转， ∴旋转，即旋转， ∴点C转过的圆心角为， ∴点C经过的路径长为． 二、填空题 5．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 6．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 【答案】 【分析】设正六边形的中心为点，连接、，求出中心角，证明是等边三角形，得出，再求出周长即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、， 则， ∴中心角， ∴是等边三角形， ∴， ∴它的周长是． 7．如图① ，铜钱纹是我国古代常见的装饰花纹，花纹是由一个整圆和四条以整圆的外接正方形顶点为圆心画的等弧构成（如图②）． 若整圆的外接正方形的边长为2，则等弧与圆所围成的阴影部分面积等于______． 【答案】 【分析】通过转化，把阴影面积转化成已知图形的和差的形式，进行求解． 【详解】解：由图形的对称性可知，四个阴影部分的面积相同， 不妨设每个小阴影部分的面积为， 则所围成的阴影部分的面积为， 四个角上的空白部分的面积也相同，可设其中每个角上小空白部分的面积为， 中间的空白部分的面积为， 则 解得：， 则阴影部分的面积为：． 8．如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】作于点，设，利用勾股定理得到，代入数据解出的值，解得到，，得出，由，得到四点共圆，记圆心为，且为的直径，利用外接圆的性质得到，分析可得当时，有最小值，利用等面积法求出的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，， ， 四点共圆，记圆心为，且为的直径， 如图，作于点，连接、， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，此时有最小值， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键． 三、解答题 9．如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转得到． (1)在所给的图形中画出； (2)线段的长为______，此过程中线段所扫过的图形的面积为______． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)， 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点，以及的位置，然后顺次连接即可解答； （2）直接利用网格以及勾股定理得出线段的长，再利用扇形面积公式得出线段所扫过的图形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：线段的长为：； ∵，， ∴此过程中线段所扫过的图形的面积为：． 10．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的； (2)请画出绕原点逆时针旋转后得到的； (3)求（2）中点运动到的位置时，点经过的路线长是多少？ 【答案】(1)解：如图所示，即为所求， (2)解：如图所示，即为所求， (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图； （2）根据旋转的性质作图； （3）利用弧长公式求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：由勾股定理得圆弧半径的长度为， ∴点经过的路线弧长为． 11．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 【答案】(1)①的外接圆圆心，如图1即为所求； ②在上使平分的点，如图2即为所求； (2) 【分析】（1）①先结合网格以及垂直平分线的性质，则外接圆的圆心是，的垂直平分线的交点，即可作答； ②利用网格与勾股定理得出，以及，得四边形是正方形，故，即点是的中点，再连接，所以，故平分； （2）结合正方形的性质，以及弧长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）中的②得出四边形是正方形， ，， 则的长度． 12．如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 【答案】(1)证明：平分， ． 四边形内接于， ． 又， ． ． (2) 【分析】（1）由角平分线得到，利用圆内接四边形外角等于内对角得到，再利用同弧所对圆周角相等得到，推导出，等角对等边证得． （2）连接延长交于，交圆于，由得到垂直平分，结合直径得，证明四边形为矩形，得到，算出，在中用勾股定理算出直径，进而得到圆半径为． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接并延长，交于点，交于点， 则． ，经过圆心， ，则， ，． 是的直径， ，即． ，， ． 四边形是矩形． ． ， ． ， ． 在中，，，， 由勾股定理得． 的半径为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆内接四边形、正多边形、弧长及扇形的面积期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解圆内接四边形定义，掌握其性质，能完成角度计算与简单的四点共圆证明。 · 掌握正多边形与圆的相关概念，会计算正多边形的中心角、边长、边心距；能由中心角求正多边形的边数。 · 熟记弧长、扇形面积公式，熟练进行正向、逆向的弧长、扇形面积、弓形面积计算。 · 掌握正多边形的对称性，理解同圆中圆心角、弧长、扇形面积的比例关系。 · 综合运用本专题知识，解决期中常见几何计算与证明问题。 ✵高频题型梳理 题型1.已知圆内接四边形求角度 题型2.求四边形外接圆的直径 题型3.正多边形中心角的计算及根据中心角求正多边形边数 题型4.正多边形和圆的综合 题型5.弧长的计算 题型6.动点弧形运动路径长度计算 题型7.求扇形、弓形的面积 题型8.求其他不规则图形的面积 题型9.求图形旋转后扫过区域的面积 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆内接四边形 1.定义：若一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，则该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 2.性质：（1）圆内接四边形的对角互补。两组对角之和为180°；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 注意：对角互补的四边形四点共圆。期中以性质正向运用和简单判定为主。 补充：该性质常用于角度转化，常与圆周角定理结合考查。 知识点二、正多边形与圆 1.正多边形定义：各边相等、各内角相等的多边形为正多边形。 任意正多边形必有唯一的外接圆与内切圆，两圆为同心圆。 2.正多边形核心四要素 （1）中心：正多边形外接圆的圆心。 （2）半径：正多边形外接圆半径，即中心到顶点的距离。 （3）边心距：正多边形中心到各边的垂直距离，即内切圆半径，垂直平分对应边长。 （4）中心角：正多边形的边所对的外接圆圆心角。 3.核心计算公式： 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 多边形的内角的度数：＝180°－。 正多边形的中心角的度数： 正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 正多边形的周长：C＝n·a 正多边形的面积：S=nar=C·r 4.基础性质 （1）轴对称性：所有正多边形均为轴对称图形，正n边形有n条对称轴，且均过图形中心。 （2）中心对称性：偶数边正多边形为中心对称图形；奇数边正多边形仅为轴对称图形。 知识点三、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 2.公式常用变形： n=，R= 知识点四、扇形 1.扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2.扇形的面积：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 公式适用场景： （1）已知圆心角度数，选用角度式公式； （2）已知弧长或逆向计算，选用弧长式公式，计算更简便。 知识点五、弓形 计算方法： 优弧弓形面积 = 扇形面积 + 三角形面积 劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积 知识点六、图形变化规律 半径固定时，圆心角越大，弧长越长，扇形面积越大。 圆心角固定时，半径越大，弧长越长，扇形面积越大。 ✵易错提醒 1.圆内接四边形为对角互补，并非邻角互补，注意区分。 2.正多边形中心角公式，勿与内角公式混淆。 3.弧长、扇形面积公式中n代表圆心角度数；计算扇形面积注意是半径平方。 4.计算弓形面积先区分优弧、劣弧弓形，正确选择加减运算。 5.正多边形计算核心模型：半径为斜边，边心距、边长的一半为直角边的直角三角形。 6.弧长是长度，扇形面积是面积；无特殊说明，结果保留π，不取近似小数。 7.正奇数边形（正五边形、正七边形等）不是中心对称图形，仅正偶数边形是中心对称图形。 ✵典例精讲 题型1.已知圆内接四边形求角度 1．如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 3．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型2.求四边形外接圆的直径 1．如图，在中， ，，，点是上一动点， ，，垂足分别为， ，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 3．如图，是直径，E、D是上两点，延长与交于C，且． (1)求证：． (2)若，，求． 题型3.正多边形中心角的计算及根据中心角求正多边形边数 1．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 2．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 3．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 题型4.正多边形和圆的综合 1．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 3．如图，等边三角形和正方形内接于，，分别与相交于点G，H．若的半径为R，求的长． 题型5.弧长的计算 1．如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 2．一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 3．已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数． 题型6.动点弧形运动路径长度计算 1．如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 2．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 3．在平面直角坐标系中，已知线段与线段关于轴对称，点是点的对应点，点是点的对应点． (1)画出线段和； (2)画出将线段绕点，逆时针旋转所得的线段，并求出点旋转到点所经过的路径长． 题型7.求扇形、弓形的面积 1．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 2．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 3．如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 题型8.求其他不规则图形的面积 1．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 3．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留）． 题型9.求图形旋转后扫过区域的面积 1．如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点恰好落在斜边上．已知，，则旋转过程中边扫过的面积为______（结果保留）． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 2．如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 4．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 6．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 7．如图① ，铜钱纹是我国古代常见的装饰花纹，花纹是由一个整圆和四条以整圆的外接正方形顶点为圆心画的等弧构成（如图②）． 若整圆的外接正方形的边长为2，则等弧与圆所围成的阴影部分面积等于______． 8．如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为______． 三、解答题 9．如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转得到． (1)在所给的图形中画出； (2)线段的长为______，此过程中线段所扫过的图形的面积为______． 10．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的； (2)请画出绕原点逆时针旋转后得到的； (3)求（2）中点运动到的位置时，点经过的路线长是多少？ 11．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 12．如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $