专题03圆的基本性质（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材浙教版

专题03 圆的基本性质 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的基本概念 考点二 垂径定理 考点三 圆周角定理 考点四 圆内接四边形 考点五 圆与正多边形 考点六 弧长与扇形的面积 05 重难题型突破 题型一 圆的基本概念 题型二 点与圆的位置关系 题型三 三角形的外接圆与外心 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型六 利用垂径定理求解 题型七 垂径定理的应用 题型八 圆周角定理 题型九 直径所对圆周角是直角 题型十 已知圆内接四边形求角度 题型十一 求四边形外接圆的直径 题型十二 正多边形中心角与边数关系 题型十四 求弧长 题型十五 求扇形面积 题型十六 圆的综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 常考考点：圆的基本概念（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角、等圆、等弧）；垂径定理及其推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆周角定理与推论（同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆或直径所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径）；圆内接四边形对角互补；正多边形与圆；弧长与扇形面积的计算 、。题型覆盖选择、填空与解答，“圆中的角度与线段计算＋证明”是必考中档解答题，约 22%—28%。 难易度 难度系数约 0.65—0.72。基础题是概念判断与弧长、扇形面积的直接计算；中档题集中在“连半径、作弦心距”构造直角三角形后用勾股定理求弦长、半径与弦心距，以及圆周角与圆心角的相互转化；本章常与相似三角形、勾股定理结合出现在卷末。复习提醒：切线的判定与性质属于九年级下册内容，本章不考，不要抢跑；“一条弦对应两条弧、圆周角顶点在优弧或劣弧上”是最典型的漏解点。 识记 ① 能说出圆、圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角、圆周角的定义，知道“同圆或等圆”是判定等弧的前提。 ② 能说出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；以及它的推论。 ③ 能说出圆周角定理及其三条推论，特别是“直径所对的圆周角是直角”与“ 的圆周角所对的弦是直径”。 ④ 能说出弧长与扇形面积公式：，。 理解 ① 理解圆的对称性（轴对称与旋转不变性）是垂径定理与圆心角定理的依据，能说明为什么垂径定理要强调“垂直于弦的直径”。 ② 理解圆心角与圆周角的关系：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，能据此进行角度转化。 ③ 理解圆内接四边形对角互补的理由（利用圆周角定理），能用于求角度。 ④ 理解在圆中常用“半径＋弦心距＋半弦”构造直角三角形的思路，能把弦长问题转化为勾股定理问题。 应用 ① 能运用垂径定理求弦长、半径与弦心距（含分类讨论：弦所对的弧有优弧与劣弧之分，圆心在弦的同侧或异侧）。 ② 能运用圆周角定理进行角度计算与证明，处理“同弧所对的圆周角相等”“直径所对的圆周角是直角”两类高频情形。 ③ 能计算弧长与扇形（含弓形）面积，处理组合图形的阴影面积问题。 ④ 能综合运用圆的性质、勾股定理与相似三角形解决圆中的计算与证明问题。 考点一 圆的基本概念 1圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． ⚠️概念辨析 （1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定 2点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 ⚠️概念辨析 （1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 3.弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 4定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． ⚠️概易错易混 ⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 5. 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 考点二 垂径定理 6. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⚠️概念辨析 （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 7. 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． ⚠️易错易混 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 考点三 圆周角定理 8. 圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： ⚠️概念辨析 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 9. 圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 10. 圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 11. 圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 考点四 圆内接四边形 12. 圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 13. 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 考点五 圆与正多边形 14. 正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 15.正多边形的重要元素 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形：正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． ⚠️概念辨析 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 　 16. 正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 17. 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 考点六 弧长与扇形的面积 18. 弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) ⚠️易错易混 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.． 19. 扇形面积公式 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： ⚠️易错易混 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 题型一 圆的基本概念 【例1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 💡破题要诀 ① 定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的集合。 ② 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者共同确定一个圆。 ③ 弦是连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，也是圆中最长的弦。 ④ 弧是圆上两点之间的部分；大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧。 ⑤ 等圆（半径相等的两个圆）中，半径相等是后续所有推理论证的基础。 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【变式1-2】（第二十九章 圆 高效同步练习29.1.1 圆的有关概念）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式1-3】（江苏宿迁市钟吾初级中学、厦门路实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次联考数学试卷）如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 题型二 点与圆的位置关系 【例2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 💡破题要诀 ① 设点到圆心的距离为 ，圆的半径为 。 ② 三种情形： 点在圆内； 点在圆上； 点在圆外。 ③ 求 时常用勾股定理（在坐标系中用两点距离公式）。 ④ 「点在圆上」常用来列方程： 就是等量关系。 ⑤ 比较时必须用同一个圆的半径，单位要统一。 迁移应用 【变式2-1】（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【变式2-2】（2022·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【变式2-3】（江苏宿迁市钟吾初级中学、厦门路实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次联考数学试卷）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【变式2-4】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 题型三 三角形的外接圆与外心 【例3】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 💡破题要诀 ① 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 ② 位置规律：锐角三角形的外心在形内；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在形外。 ③ 直角三角形中，外接圆半径 （ 为斜边），斜边就是外接圆的直径。 ④ 看到「斜边中点」立即想到它就是外心，到三个顶点距离相等。 ⑤ 求外接圆半径通常连出圆心与顶点，构造等腰三角形或直角三角形。 迁移应用 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【变式3-2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例4】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦的弦心距相等。 ② 「知一推三」：弧、弦、圆心角、弦心距这四者中，知道任意一个相等，就能推出其余三个分别相等。 ③ 使用前必须先说明「在同圆或等圆中」——这是不可省略的前提。 ④ 弧的度数等于它所对的圆心角的度数，可用度数直接计算。 ⑤ 注意区分「弧的度数」与「弧的长度」，两者不是一回事。 迁移应用 【变式4-1】（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，则______． 【变式4-3】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，则______． 【变式4-4】（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）如图，点A在半圆O上，为直径，若，，则的长是_____． 题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例5】（江苏宿迁市钟吾初级中学、厦门路实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次联考数学试卷）如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 💡破题要诀 ① 要证弧相等：转化为证它们所对的圆心角相等，或所对的弦相等。 ② 要证弦相等：转化为证它们所对的圆心角相等，或所对的弧相等。 ③ 要证圆心角相等：常借助全等三角形、平行线、角平分线等工具先证角相等。 ④ 书写时第一步就写「在同圆（或等圆）中」，把前提说清楚。 ⑤ 找中间量搭桥：先证 ，再证 ，从而得 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，．求证：． 【变式5-2】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 题型六 利用垂径定理求解 【例6】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 ② 构造直角三角形（万能做法）：连圆心与弦的一个端点得半径 ，作圆心到弦的垂线得弦心距 ，半弦长为 。 ③ 勾股关系：，三个量知二求一。 ④ 遇到弦长问题，第一反应就是「作圆心到弦的垂线」。 ⑤ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦——注意「不是直径」这个限制。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式6-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【变式6-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 题型七 垂径定理的应用 【例7】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 认清三个量：弦长 （跨度）、拱高 （弓形的高）、半径 。 ② 弦心距不是拱高，而是 （圆心到弦的距离）。 ③ 勾股关系：，展开解得 。 ④ 实操时不必死记公式：设半径为 ，用勾股列方程求解更稳妥。 ⑤ 解出后检验：，且量级符合实际。 迁移应用 【变式7-1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【变式7-2】（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【变式7-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 题型八 圆周角定理 【例8】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。 ② 第一步永远是「找准同一条弧」：看所求的两个角是不是对着同一条弧。 ③ 由圆心角求圆周角除以 2，由圆周角求圆心角乘以 2。 ④ 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。 ⑤ 圆内接四边形对角互补，且任一外角等于它的内对角。 迁移应用 【变式8-1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-4】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 题型九 直径所对圆周角是直角 【例9】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 正向用法：见到直径，就找它所对的圆周角，那个角一定是 90°。 ② 逆向用法：见到圆上的一个角是 90°，反推它所对的弦就是直径。 ③ 构造出直角三角形后，可继续用勾股定理、相似或三角函数求长度。 ④ 常与垂径定理搭配：直径 + 弦 ⟹ 出现直角 + 出现平分。 ⑤ 使用前提：这个角的顶点必须在圆上，否则不成立。 迁移应用 【变式9-1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，，求的半径． 【变式9-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为圆上一点，的平分线交于点D．若，求的度数． 【变式9-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，C，D，E为圆上的点，，求的度数． 题型十 已知圆内接四边形求角度 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，四边形为的内接四边形，为四边形的一个外角．求证：． 💡破题要诀 ① 性质一：圆内接四边形的对角互补（和为 180°）。 ② 性质二：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 ③ 常与圆周角定理联用：先把各角用同一条弧表示，再求和。 ④ 通法：设某段弧的度数为 ，把四个角都用 （及其他弧的度数）表示，再统一求解。 ⑤ 注意四边形必须是「四个顶点都在圆上」才能用这些性质。 迁移应用 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形是的内接四边形，，求的度数． 【变式10-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 【变式10-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是的内接四边形，且．若，求的度数． 题型十一 求四边形外接圆的直径 【例11】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 捷径：若四边形中有一对角是 90°，那么这对角所对的边就是外接圆的直径。 ② 一般情形：先证明四点共圆（证对角互补，或证两个点对着同一条线段所张的角相等）。 ③ 共圆后在四边形中找出（或构造出）一个直角三角形，用勾股定理求直径。 ④ 直角三角形的斜边就是它外接圆的直径，直径 = 斜边长。 迁移应用 【变式11-1】（22-23九年级下·广东河源·开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【变式11-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为______． 题型十二 正多边形中心角与边数关系 【例12】（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 💡破题要诀 ① 中心角 = （ 为边数）。 ② 每个外角 = ，与中心角相等。 ③ 每个内角 = ，也等于 。 ④ 正 边形是轴对称图形，有 条对称轴；当 为偶数时还是中心对称图形。 ⑤ 正多边形都有外接圆和内切圆，且两个圆心重合；半径、边心距、半边长构成直角三角形。 迁移应用 【变式12-1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【变式12-2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【变式12-3】（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 题型十三 正多边形与圆综合 【例13】（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 迁移应用 【变式13-1】（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2026·河北沧州·三模）如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【变式13-4】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 题型十四 求弧长 【例14】（2022·辽宁丹东·二模）如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 公式：（ 为弧所对的圆心角的度数， 为半径）。 ② 第一步先求圆心角 ：题目给的是圆周角时，圆心角 = 圆周角 × 2。 ③ 也可按「比例法」理解：弧长 = 圆周长 × = ，与公式等价。 ④ 注意代入的是圆心角的度数，不是圆周角的度数，也不是弧的度数（弧的度数恰好等于圆心角度数，可以直接用）。 ⑤ 结果保留 还是取近似值，要看题目要求。 迁移应用 【变式14-1】（2026·吉林长春·中考真题）如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【变式14-2】（2022·山东泰安·模拟预测）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【变式14-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 题型十五 求扇形面积 【例15】（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 已知圆心角与半径用：。 ② 已知弧长与半径用：（形式与三角形面积类似，很好记）。 ③ 两个公式可互推：。 ④ 弓形面积 = 扇形面积 ± 三角形面积：劣弧弓形用减，优弧弓形用加。 ⑤ 组合图形用割补法：把不规则图形拆成扇形与三角形的和或差。 迁移应用 【变式15-1】（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【变式15-3】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式15-4】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 题型十六 圆的综合问题 【例16】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）解答下列各题 (1)【问题探究】 如图1，点是矩形内的一个动点，点是的中点，连接、、，若，，． ①的长为______________； ②求点到点的最小距离； (2)【问题解决】 如图2，矩形是某工厂的一片空地，现要在、边上设立出入口、，要求，再从向铺设小路，从向铺设一条与小路垂直的小路（即于点M），从向修一条运输通道，为节省成本，要求运输通道的长度尽可能短．已知，，求运输通道长度的最小值．（小路、运输通道的宽度与出入口的大小均忽略不计） 💡破题要诀 ① 先梳理已知条件：直径、切线、弧的中点、弦与弦的位置关系，逐个标注在图上。 ② 常用辅助线四条：连半径（得等腰三角形）；作弦心距（用垂径定理）；连直径所对的圆周角（得直角）；连切点与圆心（得垂直）。 ③ 求角度：圆周角定理 + 圆内接四边形对角互补 + 三角形内角和，三者轮换使用。 ④ 求长度：垂径定理 + 勾股定理，或构造相似三角形列比例式。 ⑤ 证相等（角或线段）优先找同弧所对的圆周角，或找全等（相似）三角形。 迁移应用 【变式16-1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【变式16-2】（2026·吉林长春·中考真题）【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：． 【问题解决】证明：如图②，连接． 四边形是平行四边形，∴，． 是的中点，是的中点，，．． 四边形是平行四边形．．点在上，． ．． 【结论应用】 (1)在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为 ； (2)如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为 ． 【变式16-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 2．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若 则 C． D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，正确的有（   ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，，，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的直径，，，E是弧边上一动点，连接 交于点D，则的最大值为______． ∵是的直径， 13．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； (2)求弧的长． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为，，可得，即．若利用两个正六边形的面积，则可得的范围为______． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是_______． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的基本性质 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的基本概念 考点二 垂径定理 考点三 圆周角定理 考点四 圆内接四边形 考点五 圆与正多边形 考点六 弧长与扇形的面积 05 重难题型突破 题型一 圆的基本概念 题型二 点与圆的位置关系 题型三 三角形的外接圆与外心 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型六 利用垂径定理求解 题型七 垂径定理的应用 题型八 圆周角定理 题型九 直径所对圆周角是直角 题型十 已知圆内接四边形求角度 题型十一 求四边形外接圆的直径 题型十二 正多边形中心角与边数关系 题型十四 求弧长 题型十五 求扇形面积 题型十六 圆的综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 常考考点：圆的基本概念（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角、等圆、等弧）；垂径定理及其推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆周角定理与推论（同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆或直径所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径）；圆内接四边形对角互补；正多边形与圆；弧长与扇形面积的计算 、。题型覆盖选择、填空与解答，“圆中的角度与线段计算＋证明”是必考中档解答题，约 22%—28%。 难易度 难度系数约 0.65—0.72。基础题是概念判断与弧长、扇形面积的直接计算；中档题集中在“连半径、作弦心距”构造直角三角形后用勾股定理求弦长、半径与弦心距，以及圆周角与圆心角的相互转化；本章常与相似三角形、勾股定理结合出现在卷末。复习提醒：切线的判定与性质属于九年级下册内容，本章不考，不要抢跑；“一条弦对应两条弧、圆周角顶点在优弧或劣弧上”是最典型的漏解点。 识记 ① 能说出圆、圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角、圆周角的定义，知道“同圆或等圆”是判定等弧的前提。 ② 能说出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；以及它的推论。 ③ 能说出圆周角定理及其三条推论，特别是“直径所对的圆周角是直角”与“ 的圆周角所对的弦是直径”。 ④ 能说出弧长与扇形面积公式：，。 理解 ① 理解圆的对称性（轴对称与旋转不变性）是垂径定理与圆心角定理的依据，能说明为什么垂径定理要强调“垂直于弦的直径”。 ② 理解圆心角与圆周角的关系：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，能据此进行角度转化。 ③ 理解圆内接四边形对角互补的理由（利用圆周角定理），能用于求角度。 ④ 理解在圆中常用“半径＋弦心距＋半弦”构造直角三角形的思路，能把弦长问题转化为勾股定理问题。 应用 ① 能运用垂径定理求弦长、半径与弦心距（含分类讨论：弦所对的弧有优弧与劣弧之分，圆心在弦的同侧或异侧）。 ② 能运用圆周角定理进行角度计算与证明，处理“同弧所对的圆周角相等”“直径所对的圆周角是直角”两类高频情形。 ③ 能计算弧长与扇形（含弓形）面积，处理组合图形的阴影面积问题。 ④ 能综合运用圆的性质、勾股定理与相似三角形解决圆中的计算与证明问题。 考点一 圆的基本概念 1圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． ⚠️概念辨析 （1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定 2点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 ⚠️概念辨析 （1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 3.弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 4定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． ⚠️概易错易混 ⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 5. 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 考点二 垂径定理 6. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⚠️概念辨析 （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 7. 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． ⚠️易错易混 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 考点三 圆周角定理 8. 圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： ⚠️概念辨析 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 9. 圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 10. 圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 11. 圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 考点四 圆内接四边形 12. 圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 13. 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 考点五 圆与正多边形 14. 正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 15.正多边形的重要元素 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形：正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． ⚠️概念辨析 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 　 16. 正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 17. 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 考点六 弧长与扇形的面积 18. 弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) ⚠️易错易混 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.． 19. 扇形面积公式 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： ⚠️易错易混 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 题型一 圆的基本概念 【例1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 💡破题要诀 ① 定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的集合。 ② 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者共同确定一个圆。 ③ 弦是连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，也是圆中最长的弦。 ④ 弧是圆上两点之间的部分；大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧。 ⑤ 等圆（半径相等的两个圆）中，半径相等是后续所有推理论证的基础。 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 【变式1-2】（第二十九章 圆 高效同步练习29.1.1 圆的有关概念）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 【变式1-3】（江苏宿迁市钟吾初级中学、厦门路实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次联考数学试卷）如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 题型二 点与圆的位置关系 【例2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 💡破题要诀 ① 设点到圆心的距离为 ，圆的半径为 。 ② 三种情形： 点在圆内； 点在圆上； 点在圆外。 ③ 求 时常用勾股定理（在坐标系中用两点距离公式）。 ④ 「点在圆上」常用来列方程： 就是等量关系。 ⑤ 比较时必须用同一个圆的半径，单位要统一。 迁移应用 【变式2-1】（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【变式2-2】（2022·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 【变式2-3】（江苏宿迁市钟吾初级中学、厦门路实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次联考数学试卷）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】内 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 【变式2-4】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 【答案】圆外 【分析】点与圆的位置关系可通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小判断，直接比较给定数值即可得到结论． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， ，即 ∴在圆外． 题型三 三角形的外接圆与外心 【例3】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 💡破题要诀 ① 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 ② 位置规律：锐角三角形的外心在形内；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在形外。 ③ 直角三角形中，外接圆半径 （ 为斜边），斜边就是外接圆的直径。 ④ 看到「斜边中点」立即想到它就是外心，到三个顶点距离相等。 ⑤ 求外接圆半径通常连出圆心与顶点，构造等腰三角形或直角三角形。 迁移应用 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【答案】(1)如图，    (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：连接，，，作，的垂直平分线，交于点， ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例4】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 💡破题要诀 ① 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦的弦心距相等。 ② 「知一推三」：弧、弦、圆心角、弦心距这四者中，知道任意一个相等，就能推出其余三个分别相等。 ③ 使用前必须先说明「在同圆或等圆中」——这是不可省略的前提。 ④ 弧的度数等于它所对的圆心角的度数，可用度数直接计算。 ⑤ 注意区分「弧的度数」与「弧的长度」，两者不是一回事。 迁移应用 【变式4-1】（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 【变式4-2】（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 【变式4-3】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】利用同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，直接建立两个已知角的等量关系求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 即． 【变式4-4】（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）如图，点A在半圆O上，为直径，若，，则的长是_____． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例5】（江苏宿迁市钟吾初级中学、厦门路实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次联考数学试卷）如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据两个等弧同时加上同一段弧后两弧仍然相等，再通过同弧所对的弦相等，即可证明． 【详解】略 💡破题要诀 ① 要证弧相等：转化为证它们所对的圆心角相等，或所对的弦相等。 ② 要证弦相等：转化为证它们所对的圆心角相等，或所对的弧相等。 ③ 要证圆心角相等：常借助全等三角形、平行线、角平分线等工具先证角相等。 ④ 书写时第一步就写「在同圆（或等圆）中」，把前提说清楚。 ⑤ 找中间量搭桥：先证 ，再证 ，从而得 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，．求证：． 【答案】证明： 方法一：， ， ， 即， ． 方法二：， ， ， ． 【分析】要证明，可以利用同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦和弧相等，或同圆或等圆中等弧所对的圆心角和弦相等的性质，结合弧与角的和差关系推导． 【详解】略 【变式5-2】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 【答案】 【分析】根据垂径定理，结合已知条件即可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为直径，为弦，且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 题型六 利用垂径定理求解 【例6】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解： 是的直径，于， ， ， ． 💡破题要诀 ① 定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 ② 构造直角三角形（万能做法）：连圆心与弦的一个端点得半径 ，作圆心到弦的垂线得弦心距 ，半弦长为 。 ③ 勾股关系：，三个量知二求一。 ④ 遇到弦长问题，第一反应就是「作圆心到弦的垂线」。 ⑤ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦——注意「不是直径」这个限制。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 【变式6-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 【变式6-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 题型七 垂径定理的应用 【例7】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 💡破题要诀 ① 认清三个量：弦长 （跨度）、拱高 （弓形的高）、半径 。 ② 弦心距不是拱高，而是 （圆心到弦的距离）。 ③ 勾股关系：，展开解得 。 ④ 实操时不必死记公式：设半径为 ，用勾股列方程求解更稳妥。 ⑤ 解出后检验：，且量级符合实际。 迁移应用 【变式7-1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【答案】 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 【变式7-2】（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 【变式7-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 题型八 圆周角定理 【例8】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用为的直径，，求出，根据得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到，最后，由两直线平行，内错角相等得出． 【详解】解：是的直径， ， 又， ， ， ， ， ， ． 💡破题要诀 ① 定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。 ② 第一步永远是「找准同一条弧」：看所求的两个角是不是对着同一条弧。 ③ 由圆心角求圆周角除以 2，由圆周角求圆心角乘以 2。 ④ 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。 ⑤ 圆内接四边形对角互补，且任一外角等于它的内对角。 迁移应用 【变式8-1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式8-2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ，利用半径相等可得等腰三角形，结合角的和差关系及圆周角定理求解． 【详解】解：连接 ，如图， ， ，， ， 由图可知， 又， . ， ． 【变式8-4】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 题型九 直径所对圆周角是直角 【例9】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 💡破题要诀 ① 正向用法：见到直径，就找它所对的圆周角，那个角一定是 90°。 ② 逆向用法：见到圆上的一个角是 90°，反推它所对的弦就是直径。 ③ 构造出直角三角形后，可继续用勾股定理、相似或三角函数求长度。 ④ 常与垂径定理搭配：直径 + 弦 ⟹ 出现直角 + 出现平分。 ⑤ 使用前提：这个角的顶点必须在圆上，否则不成立。 迁移应用 【变式9-1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴，即 ∵点D是弦延长线上一点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）如图：连接，根据为的直径，得出，根据，利用垂直平分线的性质可得，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明CE=CD； （2）先求得，如图，连接，，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论可得，再利用直角三角形的性质以及勾股定理可得，然后再求半径即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 如图，连接，， ∵所对圆心角的度数为， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∵为的直径， ∴的半径为． 【变式9-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为圆上一点，的平分线交于点D．若，求的度数． 【答案】 【分析】先证明，求解，进一步可得答案. 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴. 【变式9-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，C，D，E为圆上的点，，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，等弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十 已知圆内接四边形求角度 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，四边形为的内接四边形，为四边形的一个外角．求证：． 【答案】证明：∵四边形为的内接四边形， ， ， ． 【分析】先根据圆内接四边形性质得出，再结合即可证明结论． 【详解】略 💡破题要诀 ① 性质一：圆内接四边形的对角互补（和为 180°）。 ② 性质二：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 ③ 常与圆周角定理联用：先把各角用同一条弧表示，再求和。 ④ 通法：设某段弧的度数为 ，把四个角都用 （及其他弧的度数）表示，再统一求解。 ⑤ 注意四边形必须是「四个顶点都在圆上」才能用这些性质。 迁移应用 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形是的内接四边形，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∴． 【变式10-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 【答案】证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质结合平角的定义得到，角平分线的定义结合圆周角定理得到，进而得到，即可得证． 【详解】略 【变式10-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是的内接四边形，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再结合得到为等腰三角形，最后用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ． ， ． 题型十一 求四边形外接圆的直径 【例11】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 💡破题要诀 ① 捷径：若四边形中有一对角是 90°，那么这对角所对的边就是外接圆的直径。 ② 一般情形：先证明四点共圆（证对角互补，或证两个点对着同一条线段所张的角相等）。 ③ 共圆后在四边形中找出（或构造出）一个直角三角形，用勾股定理求直径。 ④ 直角三角形的斜边就是它外接圆的直径，直径 = 斜边长。 迁移应用 【变式11-1】（22-23九年级下·广东河源·开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 【变式11-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 题型十二 正多边形中心角与边数关系 【例12】（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 💡破题要诀 ① 中心角 = （ 为边数）。 ② 每个外角 = ，与中心角相等。 ③ 每个内角 = ，也等于 。 ④ 正 边形是轴对称图形，有 条对称轴；当 为偶数时还是中心对称图形。 ⑤ 正多边形都有外接圆和内切圆，且两个圆心重合；半径、边心距、半边长构成直角三角形。 迁移应用 【变式12-1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】 36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 【变式12-2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】结合正五边形的性质，得出中心角，再根据旋转的性质，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵这是正五边形卡通贴纸 ∴， ∴ 则将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合， 或将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合． 【变式12-3】（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 题型十三 正多边形与圆综合 【例13】（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 【分析】连接 交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确． 【详解】 解：连接 交于点， ∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， 故小慧的结论正确； ∵， ∴，的直径为， ∴，点是的中点 ∴ ∴ 即，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故小丽的结论正确． 故选： ． 【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键． 迁移应用 【变式13-1】（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【变式13-2】（2026·河北沧州·三模）如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 【变式13-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质可得，塔基的面积为，，如图，连接，过点A作于点P，则，即，利用勾股定理列方程可求得，易得的面积，进而确定塔基的面积． 【详解】解：∵塔基的形状是半径为的正八边形， ∴，塔基的面积为，， 如图，连接，过点A作于点P，则， ∴， 设， ∵， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴， ∴， ∴塔基的面积为． 【变式13-4】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)证明：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【分析】（1）根据正五边形的边角关系进行解答即可； （2）证明，则，由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵五边形为正五边形， ∴, ∴，都是等腰三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴都是等腰三角形． （2）略 题型十四 求弧长 【例14】（2022·辽宁丹东·二模）如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 💡破题要诀 ① 公式：（ 为弧所对的圆心角的度数， 为半径）。 ② 第一步先求圆心角 ：题目给的是圆周角时，圆心角 = 圆周角 × 2。 ③ 也可按「比例法」理解：弧长 = 圆周长 × = ，与公式等价。 ④ 注意代入的是圆心角的度数，不是圆周角的度数，也不是弧的度数（弧的度数恰好等于圆心角度数，可以直接用）。 ⑤ 结果保留 还是取近似值，要看题目要求。 迁移应用 【变式14-1】（2026·吉林长春·中考真题）如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 【变式14-2】（2022·山东泰安·模拟预测）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 【变式14-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据弧长公式，结合图形计算即可． 【详解】解：． 答：图中管道的展直长度约为． 题型十五 求扇形面积 【例15】（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于E，先确定是等边三角形，进而求出，然后根据阴影部分的面积得出答案． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和D重合，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 💡破题要诀 ① 已知圆心角与半径用：。 ② 已知弧长与半径用：（形式与三角形面积类似，很好记）。 ③ 两个公式可互推：。 ④ 弓形面积 = 扇形面积 ± 三角形面积：劣弧弓形用减，优弧弓形用加。 ⑤ 组合图形用割补法：把不规则图形拆成扇形与三角形的和或差。 迁移应用 【变式15-1】（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 【答案】 【分析】根据题意求得是等腰直角三角形，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ．， ，的面积为1， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 【变式15-3】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的半径 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案； （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【变式15-4】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，进而求解即可； （2）连接，得，则，即可求得和，结合扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图，连接， ∵ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴． 【点睛】此题考查了求扇形面积，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型十六 圆的综合问题 【例16】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）解答下列各题 (1)【问题探究】 如图1，点是矩形内的一个动点，点是的中点，连接、、，若，，． ①的长为______________； ②求点到点的最小距离； (2)【问题解决】 如图2，矩形是某工厂的一片空地，现要在、边上设立出入口、，要求，再从向铺设小路，从向铺设一条与小路垂直的小路（即于点M），从向修一条运输通道，为节省成本，要求运输通道的长度尽可能短．已知，，求运输通道长度的最小值．（小路、运输通道的宽度与出入口的大小均忽略不计） 【答案】(1)①；②9； (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半作答即可； ②由①可知，动点到定点的距离恒为8，因此的轨迹是以为圆心、8为半径的在矩形内部的圆弧，根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”求出相关量计算即可； （2）延长和，相交于G，根据矩形的性质得到，，根据圆周角定理可知M在以为直径的圆上，证明，得到，取中点O，连接，则，连接，可知，根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”计算即可． 【详解】（1）解：①∵矩形， ∴， ∵在中，，是斜边的中点， ∴； ②如图，连接， 由①可知，动点到定点的距离恒为8，因此的轨迹是以为圆心、8为半径的在矩形内部的圆弧， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图，延长和，相交于G， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴M在以为直径的圆上，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点O，连接，则， 连接， 可知， 根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”可知长度的最小值 ． 💡破题要诀 ① 先梳理已知条件：直径、切线、弧的中点、弦与弦的位置关系，逐个标注在图上。 ② 常用辅助线四条：连半径（得等腰三角形）；作弦心距（用垂径定理）；连直径所对的圆周角（得直角）；连切点与圆心（得垂直）。 ③ 求角度：圆周角定理 + 圆内接四边形对角互补 + 三角形内角和，三者轮换使用。 ④ 求长度：垂径定理 + 勾股定理，或构造相似三角形列比例式。 ⑤ 证相等（角或线段）优先找同弧所对的圆周角，或找全等（相似）三角形。 迁移应用 【变式16-1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 【变式16-2】（2026·吉林长春·中考真题）【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：． 【问题解决】证明：如图②，连接． 四边形是平行四边形，∴，． 是的中点，是的中点，，．． 四边形是平行四边形．．点在上，． ．． 【结论应用】 (1)在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为 ； (2)如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干中已知结论可得，由圆周角定理得，由勾股定理计算出，最后利用平行四边形面积公式求解； （2）由题干中已知结论可得，推出，进而可得点C在以点D为圆心，3为半径的圆上，根据圆外一点到圆上一点的距离，可得当点C在线段的延长线上时，长度取最大值． 【详解】（1）解：如图，连接， 中， ， 由题干中已知结论可得， ， 点也在上， ， ， 的面积； （2）解：正方形中， ，， 由题干中已知结论可得， ， 点C在以点D为圆心，3为半径的圆上， 当点C在线段的延长线上时，长度取最大值，如图： 此时． 【变式16-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由三角形内角和定理推出，判定，推出． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若 则 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A与的位置关系是点A在圆内， 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直径所对的圆周角为直角，圆心角、弧的关系，圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．根据圆周角定理及邻补角定义求出，根据圆周角、弧的关系求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据四边形内角和是求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设圆心为，连接， 是半圆的直径， ， ， 与的度数之和为， ∴， ， ， ， 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，正确的有（   ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及弦与弧的关系．需逐一判断每个命题的正确性． 【详解】∵①平面内三个点不一定确定一个圆（三点共线时不能），故错误； ∵②平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（弦为直径时不一定），故错误； ∵③半圆所对的圆周角是直角（圆周角定理），故正确； ∵④圆内接平行四边形对角互补且相等，故为矩形，正确； ∵⑤弦相等则所对的弧不一定相等（未区分优弧和劣弧），故错误； ∴正确的有③和④，共2个． 故选：B 6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题的关键，连接、、，由于图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，所以点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点，再根据，，，可得，，即可得到． 【详解】解：连接、、，如下图所示： ∵图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，且点B，点C，点D都是对应点， ∴点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点， 作该正八边形的外接圆，则点B，点C，点D都在上， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，，，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．根据，可得，从而得到，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 是的直径， ， ， 的直径为， 故选：C 8．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆的内接四边形的性质和圆周角定理，可知， ，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 【答案】5 【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键是由圆周角定理推出，由三角形中位线定理得到． 连接OA，OB，由圆周角定理得到，进而判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值． 【详解】解：连接OA，OB，如下图， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点M，N分别是的中点， 是的中位线， ， 最大时，取最大值，当是该圆的直径时，取最大值， 的最大值是， 长的最大值是． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的直径，，，E是弧边上一动点，连接 交于点D，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角所对的弦是直径，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解决此题的关键是要找到何时取最大． 作于，证得，得到，将的最大值转化成求的最大值，当点为弧中点时，最大，进而即可求解． 【详解】解：作于， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当点为弧中点时，最大，即 的值最大； 此时为中点，故，此时三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； (2)求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理及其逆定理，弧长公式，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键． （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理得出，结合弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，D为所求；， （2）解：连接，，如图所示： 在中，， 的半径为， 由网格得：，，， ∴， ∴， ∴弧的长为：． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及轴对称的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题关键； 连接，根据轴对称基本性质得到，进而可得到为等边三角形，再通过勾股定理算出的长度，进而可求出的长． 【详解】解：连接，故， ∵O关于的对称点为D， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∴的长为：， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为，，可得，即．若利用两个正六边形的面积，则可得的范围为______． 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形和圆，锐角三角函数，掌握相关知识是是正确解答的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系求出、的底和高，进而求出正六边形，正六边形的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，连接，则是正三角形， ，， 作， ， ， 连接， ∵切圆于点， ∴， 在中，， ， ， ， ， 圆的面积为， ， 即， 故答案为： 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 过点作于点，延长交于点，连接，先证出是等边三角形，则，根据等腰三角形的三线合一可得，则劣弧的度数为，优弧的度数为，再分两个临界位置：①当点在优弧上时，②当在劣弧翻折后的圆弧上时，利用圆周角定理求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图1，过点作于点，延长交于点，连接， ∵把沿弦翻折后恰好经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 如图2，当点在优弧上时，连接， 由圆周角定理得：； 如图3，当在劣弧翻折后的圆弧上时， 作点关于弦的对称点，连接，则点在劣弧上，， 由圆周角定理得：， ∴此时； 如图4，在内有任意点，连接，则有，证明如下： ， ∵， ∴， ∴当点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界）时，． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 【答案】 【分析】先由确定是半圆直径，取圆心后，结合是弧中点得到圆心角关系；再通过圆周角定理、等边三角形判定求出圆的半径；接着利用平行线性质和含角的直角三角形性质，结合勾股定理求出相关线段长度，最终计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， 取的圆心，连接， ∵点为的圆弧中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形性质，熟练掌握圆的基本性质（直径与圆周角的关系、弧与圆心角的关系）及特殊三角形的性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； (2) (3)1 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，从而得到，然后根据圆周角定理得到，从而根据等角对等边得到结论； （2）连结，先证明为等腰直角三角形得到，再根据圆周角定理得到，即可解答； （3设交于G点，连结，先证明，得到，再证明为等腰三角形得到，再证明得到，证明得到，从而得到，然后利用为等腰直角三角形求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：连结，如图， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：设交于G点，连结，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】(1) ①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ② (2)或 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）①略 ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （2）解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题的关键． 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