第26讲 奇偶项·周期数列讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 递推把相邻两项绑在一起时，不要急着整体消元；隔一项写，奇数项、偶数项各成一支，先分别认出两支，再合回一个通项。

奇偶项题的共同点，是“一步看不全”： 由 决定，可 才和 直接说上话。整体往下推， 会一路跟着走；隔一项看，奇数项与偶数项各自成列，往往就是等差、等比或常值。

本讲只练一个动作： 先隔一项，把数列拆成两段 。主例里，常规解要用待定系数把 配成一个等比数列；少算解只写两式相减，一眼看出两支公差都是 2，再各取一个首项。省掉的不是计算，是构造。

02  识别

不是所有递推都要拆。 这种“加法型”，累加就够； 这种“乘法型”，直接写等比。出现下面三个信号，再考虑分两段。

信号一 · 相邻两项同号相加。 递推形如 。把 换成 再相减， 被消掉， 往往变成常数或简单式子，奇偶两支各自独立。

信号二 · 通项带 。 符号随 翻转，奇数项一个样、偶数项一个样。与其整体讨论，不如把两支分行列出，各自都是熟悉的面孔。

信号三 · 求和正负交替。 两项并一组， 常常是常数或一次式；剩下的只是“ 为奇数时补一项”。

图 1: 隔一项看的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 写两式：把 换成 ，与原递推并排。 第 2 步 隔项消元：两式相减（或相加、相除），把 消掉。 第 3 步 两段定型：看 或 ，判断两支各是什么数列。 第 4 步 各取首项： 与 分别由原递推算出，两支各自写通项。

第 4 步最容易省错。很多人只算 ，就把偶数段也当成从 起步；两支的首项必须各算一次。

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03  双解对照

同一道“相邻两项相加”的递推，分岔口在“先构造，还是先相减”。

例题 · 相邻两项相加 已知数列 满足 ，（），求 。

先把题干里的“免费信息”读出来。 先算四项：，，，。两项一对、成对相同，已经提示“隔一项看”。题干没有参数，答案应是一张分段表，而不是一条硬推出来的长公式。

常规解 · 算：待定系数构造等比 设 ，要求 。把 代入： 两边相等，比较 的一次项与常数项： 解得 ，。于是 是公比为 −1 的等比数列，，故 最后按奇偶拆开： 时 ； 时 。 这条路真正难的不是解方程，而是“想到把 配成 的等比形式”；、 一旦设错，后面全白算。 如果不想构造，也可以先算四项、猜出分段式，再用数学归纳法证明。但归纳的递推一步仍要算出 ，绕一圈还是回到“隔项看”。

图 2: 奇偶两支各是一条直线上的等距点