广东省惠州市惠城区惠州中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试题

高二年级上学期阶段测试数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中，已知点，则A，B两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 3.如图所示，已知正四棱锥.，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4.设直线与圆交于A，B两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 6.圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 8.如图，正方体-的棱长为2，点O为底面的中心，点P在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线，下列选项正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.时，两条直线相交 D.时，两直线重合 10.如图，在长方体-中，E，F分别是，的中点，，则下列结论正确的是（ ） A.的面积为 B.平面 C.异面直线与所成角的余弦值为 D.点E到平面的距离为 11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念､公式符号､推理论证､思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A.曲线C围成的图形有4条对称轴 B.曲线C围成的图形的周长是 C.曲线C上的任意两点间的距离不超过 D.若是曲线C上任意一点，的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.过点且与直线垂直的直线方程为__________. 13.已知三点，则过点A的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的倾斜角取值范围为__________. 14.如图，在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处）.已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.已知空间中三点 （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 16..如图，在四棱锥中，底面是直角梯形为正三角形，且平面平面. （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 17.已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 18.已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作.定义与的“向量积”为是一个与都垂直的向量，且它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⟂底面为线段上一点. （1）求； （2）若E为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在一点M，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为. （1）过点的直线被曲线C所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过A作直线与曲线C交于D，E两点，中点为M，求的最值； （3）已知点Q为圆上任意一点，过点Q向曲线C作切线，切点为G，试探究：平面内是否存在定点H，使得为定值？若存在，请求出定点H的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 高二年级上学期阶段测试数学科试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C C D B D BC BCD 题号 11 答案 ACD 1.向量，则.故选A. 2.由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得.故选C. 3.由，得，所以故选A. 4.由题意可知：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以.故选C. 5.已知点和点，则.向量在上的投影长度.先求.再求.所以.根据勾股定理，点到直线的距离.先求.则.故选C. 6.圆的圆心为，半径为，设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为1，所以，解得，即所求圆的圆心坐标为，故圆关于直线对称的圆的方程为.故选D. 7.设在基底下的坐标为，则 ，所以，解得，故在基底下的坐标为.故选B. 8.如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ， ， 点在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面，又 ，由图可知当点在处取得最大值， 所以面积的最大值.故选D. 9.A选项：若，当时，斜率分别为.令： 或.所以时也平行，A选项错误；B选项：若，斜率乘积为，B选项正确；C选项：当时， ，代入，得，两直线相交，C选项正确； D选项：当时，，两直线平行且不重合，D选项错误.故选BC. 10.对于A，因为在长方体中，，所以是等腰三角形，，，其面积为，故A项错误；对于B，分别是的中点，由长方体的性质知，，又因为平面平面，所以平面，故B项正确；对于C，因为，所以异面直线与所成的角为或的补角，，故C项正确；以为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，分别是的中点，所以点， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，则，又， 所以点到平面的距离为，故D项正确.故选BCD. 11.当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，所以曲线的图象如图所示，对于选项A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，对称轴方程分别为故A正确；对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误；对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确；对于选项D，到直线的距离，点到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为，故 的最小值为，故D正确.故选ACD. 12. 直线的斜率为，设待求直线斜率为，则由题意，得，解得.所以待求直线方程为，即. 13. 直线的斜率，直线的斜率，结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为，设直线的倾斜角为，由，当时，，解得；当时，，解得；当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件；综上，倾斜角的取值范围为. 14. 如图，在正四棱柱中，为的中点，在3点钟时针所在的直线上，在4点钟时针所在的直线上，为的中点，在3点钟时针所在的直线上，在4点钟时针所在的直线上，则.设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，以为原点，的方向分别为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，所以点. 设两条直线所成角为， 则， ，所以.故在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为. 15.（1）（2） 详解：（1）. 由，， 得在上的投影向量为 （2），-因为在平面内，所以存在实数使. 即，由前两个分量得，，解得代入第三个分量得，故 16.（1）设为的中点，连接，由题得， 所以为正三角形，则， 所以平面，平面. （2） 详解：（1）略（2）由（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，则， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， 记直线和平面所成角为，则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 17.（1）因为直线，即，由，得 所以直线恒过定点（-4，2）. （2）S的最小值为16，此时直线的方程为 详解：（1）略（2）由（2）及题意知，，-且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得，-所以，当且仅当，即时等号成立，则S的最小值为16，- 此时直线的方程为，即. 18.（1）（3）存在； 详解：（1）因为底面为矩形，所以，又底面底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，-因为，所以为直线与所 成角，即，在直角中，所以 （2）因为平面且为矩形，所以可如图建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，则， 令，得所以，因为 平面所以平面的法向量可取，设求 平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为 （3）依题意，，又， 所以，设， 则，所以， 由，得，所以，由（1）知，又因，所以， 所以线段上存在点，使得，此时. 19.（1）或（2）的最大值：的最小值：3. （3）当时，为定值，当时，为定值3 详解：（1）设，由，得，即，曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆，当直线斜率不存在时，直线方程为：，直线被曲线所截得的线段长为，符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，则，解得，即，此时直线方程为：，即，-所以直线的方程为：或. （2）设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，所以圆半径为，点的轨迹方程为： 的最大值：的最小值： （3）设，则，即， ，设， 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或所以当时，， 当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $