广东省惠州市惠城区惠州中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试题

高二年级上学期阶段测试数学科试卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 已知向量 则 ( ) A. - 5 B. 5 C. - 4 D. 4 2. 在空间直角坐标系中, 已知点A(2,1,3), B(-4,3,0), 则A, B两点间的距离是( ) A. 5 B. - 6 C.7 D.8 3. 如图所示,已知正四棱锥.P-ABCD, 若 则 等于( ) 4. 设直线l: 与圆 交于A,B两点,则|AB|的值为( ) A.1 B. C. 2 D. 5. 已知直线l经过点A(2,3,1), 且=(1,2,1)是l的方向向量, 则点P(4,3,2)到l的距离为( ) B. 6. 圆 关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为( ) 7.已知向量{,,}是空间的一个基底,向量 是空间的另一个基底,一向量在基底{,,}下的坐标为(1,2,3),则向量在基底 下的坐标为( ) A. 8. 如图, 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点 P 在侧面BB₁C₁C的边界及其内部运动.若D₁O⊥OP,则 D₁C₁P面积的最大值为( ) A.2 C. 2 D. 1 学科网(北京)股份有限公司 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题列出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知直线 下列选项正确的是( ) A.若l₁//l₂, 则b=2 B. 若l₁⊥l₂,则 C. b=0时,两条直线相交 D. b=2时,两直线重合 10. 如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D₁中, E, F分别是AB, AD的中点, AB=AD=2DD₁=2, 则下列结论正确的是 ( ) A.的面积为2 B. EF∥平面 C.异面直线EF与 所成角的余弦值为 D.点E到平面的距离为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中,曲线C:x +y2=2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,下列说法正确的有( ) A.曲线C围成的图形有4条对称轴 B.曲线C围成的图形的周长是8 C.曲线C上的任意两点间的距离不超过4 D. 若T(a,b)是曲线C上任意一点, |4a+3b-18|的最小值是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 过点(1,-1)且与直线2x+y+2=0垂直的直线方程为。 13.已知三点A(2,2), B(3,1), C(-1,-1), 则过点A的直线l与线段BC有公共点时(公共点包含端点),直线l的倾斜角取值范围为。 14.如图,在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼,四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱,钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处).已知在3点整点时刻,相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直,则在4 点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为。 2 学科网(北京)股份有限公司 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知空间中三点A(-2,1,3), B(1,-2,0), C(-1,-1,5). (1)求向量AB在向量AC上的投影向量的坐标; (2)若点P(2,-1,m)在平面ABC内, 求m 的值. 16.. 如图,在四棱锥E-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,AB∥DC,∠ADC=90 ,AB=2,CD=1, BCE为正三角形,且平面BCE⊥平面ABCD. (1)求证: BC⊥AE; (2)求直线AB和平面ADE所成角的正弦值. 17. 已知直线l: kx-y+2+4k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设 AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 3 学科网(北京)股份有限公司 18.已知两个非零向量 在空间任取一点O,作 则∠AOB叫做向量 与的夹角,记作<,>. 定义与 的“向量积”为 是一个与、都垂直的向量,且它的模 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为矩形, PD⊥底面ABCD,DA=DP=4,AB=2,E为线段AD 上一点. (1)求 (2)若E为线段AD的中点,求平面PEB与平面EBA所成角的余弦值; (3)线段PB上是否存在一点M,使得若存在,请求出| |的值;若不存在,请说明理由. 19.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值 ( >0且 ≠1)的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中, A(1,0), B(-2,0), 点P满足 设点P 所构成的曲线为C. (1)过点T(1,4)的直线l被曲线C所截得的线段长为2 ,求直线l的方程; (2)过A作直线l与曲线C交于D, E两点, DE中点为M,求|MB|的最值; (3)已知点Q为圆 上任意一点,过点Q向曲线C作切线,切点为G,试探究:平面内是否存在定点H,使得 为定值?若存在,请求出定点H的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由. 4 学科网(北京)股份有限公司 $高二年级上学期阶段测试数学科试卷答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 A C A C D B D BC BCD 题号 11 答案 ACD 1.向量a=（1,-2,0),6=（1,3,）,则ab=（1,-2,0)-(1,3,1)=1×1+(-2)×3+0×1=-5.故选A 2.由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得|4=V(2+4)}+(1-3)}2+(3-0}-7故选C. 3.由PB=PC,得P丽-c-(DA+B+BG--+B+B丙-a+i-j,所以 丽-正-=+丽-西-+(a+万-月a=a+b是放选A 4.由题意可知：圆C:(x-2}+y2=4的圆心为C(2,0),半径r=2,则圆心C(2,0)到直线1：y=V3(x-4) 2V5-0-43 的距离d V+2 =V3,所以4B=2P2-d=2.故选C 5.已知点4(2,3，D和点P4,32),则AP=(2,0).向量AP在元=0,2)上的投影长度4=4列 先求AP.元=2×1+0x2+1x1=3.再求1P+2+P=V6所以d=13=6 根据勾股定理，点P到直 62 我的商d=p-G先求+0行-5则d-5-厚选c 6.圆(x-1)+(y-1)=2的圆心为(1,1)，半径为√2，设点(1,1)关于直线x-y+2=0的对称点为(a,b), a+1_b+1+2=0 22 a=-1 且直线x-y+2=0的斜率为1，所以 b-1x1=-1 ，解得6-3，即所求圆的圆心坐标为13)， a-11 故圆(x-1)+(y-1)=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为(x+1)+(y-3)=2.故选D 7.设五在基底{a+b,ā-b,c}下的坐标为(xy,z）,则 3 = x+y=1 =x(a+)+y(a-)+=(x+)a+(x-y)5+元=a+25+3,所以{x-y=2,解得y=- z=3 z=3 故D在基底石+6.a-6.©}下的坐标为（号号）故述B 1 8.如图，以C为原点建立空间直角坐标系，设P(0,y,), ZA D D(2,0,2),0(11,0),D0=(-1,1,-2),0p=(-1y-1,z), B D0⊥OP,.D0.Op=(1,1,-2)(1,y-1,z）上=y-2z=0, ◇ D ∴.点P在侧面BB,CC的边界及其内部运动的轨迹如图线段CE: 正方体ABCD-ABCD中，CD⊥平面BBCC,∴.CD⊥CP,又 C B ③2 -TDC.CP=CP,由图可知当点P在E处CP取得最大值⑤ E 所以△DC,P面积的最大值√5.故选D P 9.A选项：若4/山，当b:0时，斜率分别为长=云=1-8令店=名： C B F名1-b之：-b-2=0→b=2或b=-1所以b=-1时也平行，A选项错误：B选项：若L1山2，斜率 为-1：（会-0)-1-2+2功=-b动-2b-号B选项正确：C选项：当6=0时， 4:2x-3=0x=马+41=0→=x1代入x子得y分两直线相交，C选项正确： 21 D选项：当b=2时，2x+2y-3=0⊙x+y-0,x+V+10,两直线平行且不重合，D选项错误 故选BC. 10.对于A,因为在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=2DD1=2,所以△B,CD是等腰三角形，BD=2W2, BC=DC=5,其面积为×22x5-2=V6,故A项错误：对于B,B,F分别是AB,AD的中点， 由长方体的性质知，EF/IBD/IBD,又因为EF￠平面BCD,B,DC平面B,CD,所以EF/1平面B,CD, 故B项正确；对于C,因为EFI/B,D,所以异面直线EF与CD所成的角为∠CDB,或∠CDB,的补角， cos∠CD,B=2 AVE0,故C项正确：以D为坐标原点，DA,DC,DD所在的直线分别为：箱、 5 y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AB=AD=2DD=2,E, 7 F分别是AB,AD的中点，所以点D(0,0,1),C(0,2,0),E(2,1,0),B(2,2,1), B 所以BC=（2,0,-1),B,D=(-2,-2,0),CE=(2,-1,0), i-B,C=-2x-z=0 设平面B,CD的法向量为i=(x,y,),则 i-B,D=-2x-2y=0 令x=-1,得y=1,z=2,则i=(-1,1,2),又CE=(2,-1,0), 2 所以点E到平面B,CD的距离为 :C@_(-1)×2+1×1+2x0_36 V-1)2+12+2 √62，故D项正确.故选BCD 11.当x≥0，y≥0时，曲线的方程可化为(x-1)2+(y-1)=2,当x≤0，y20时，曲线的方程可化为 (x+1)+(y-1)=2,当x≥0，y≤0时，曲线的方程可化为(x-1)+(y+1)=2，,当x≤0，y≤0时，曲 线的方程可化为(x+1)+(y+1)=2,所以曲线的图象如图所示，对于选项A,由 图可知曲线C围成的图形有4条对称轴，对称轴方程分别为x=0,y=0,y=x,y=-x 6 故A正确；对于选项B,曲线C由4个半圆组成，圆的半径为√2，其周长为 4x+3y-18=0 2×2π×√2=4√2π，故B错误：对于选项C,由图可知曲线上任意两点间的最大距 离为4r=4V2,故C正确；对于选项D,T(a,b)到直线4r+3y-18=0的距离 d=4a+3b-18_4a+3b-18 5 点(1,1)到直线4x+3y-18=0的距离为 V32+4 d-4x1+3x1-1因_1，由圆的性质得曲线C上一点到直线4+3y-18=0的最小 5 5 距离为}-万，故4a+3动-1网的级小值为1-5V万，故D正确放症AGD 12.x-2y-3=0.直线2x+y+2=0的斜率为k=-2,设待求直线斜率为k2,则由题意，得kk=-1, 解得分所以待求直线方程为y-()=x-少，即x-2-30, 以尽引线8商幸6。学一1、直线C网率头长-多告， x4-xc2-(-I)） 结合图形可知，过点A的直线I与线段BC有公共点时，斜率k,满足k,≤-1或k,≥1，即斜 率取值范围为(-o,-lUl,+oo),设直线l的倾斜角为a,a∈[0，π)，由k,=tana,当k,≥1时， tana≥l, 解得a∈ 4'2 当k,≤-1时，tana≤-l,解得a∈ π3π 2’4 当直线1斜率不 存在时， 倾斜角α= 2 此时直线方程为x=2,符合要求，故α=也满足条件：综上，倾 2 π3π 斜角的取值范围为 4’4 14.√15如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，F为DD的中点，CD⌒CD=E,EF在3点钟时针所 在的直线上，EG在4点钟时针所在的直线上，M为CC的中点，BC1⌒B,C=H,HM在3点钟时针所 ZA 在的直线上，HL在4点钟时针所在的直线上，则∠LHM=∠GBF=30°.设正四棱柱 A 的底面边长为2a(@>0),侧棱长为2b(b>0),以A为原点，AB,AD,A4的方向分 C B 别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， H 所以点E(a2a,b),G0,2ab- 3 H(2a.ab),2a,2a.b-a 3 3 设两条直线所成角为日， EG.H豇 3 1 4, 3 15 所以tan日=4=√5.故在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两 1 4 条直线所成角的正切值为√15. 122\ 15.0333 (2)=-7 详解：(1)AB=B-A=(3,-3,-3),AC=C-A=(1,-2,2).-1分由AB.AC=3x1+(-3)×(-2)+(-3)×2=3, 一2分AC2=12+(-2)2+22=9,-3分得B在AC上的投影向量为 Cac--22-G) ACP 0 -5分 (2)AP=(4,-2,m-3),-6分因为P在平面ABC内，所以存在实数x、y使AP=xAB+yAC.-8分 即(4，-2，m-3)=x(3,-3,-3)+y(1,-2,2)=(3x+y,-3x-2y,-3x+2y),-9分由前两个分量得3x+y=4, -3x-2y=-2,解得x=2,y=-2.--11分代入第三个分量得m-3=-3×2+2×(-2)=-10,故m=-7.--12 分 16.()设0为BC的中点，连接AC,OA,OE,由题得AC=VDC2+AD2=2,BC=V(2-1+(3=2 -2分 所以AABC为正三角形，则OA⊥BC,OE⊥BC,OA∩OE=O, 所以BC⊥平面EOA,--5分：AEc平面EOA,--6分∴.BC⊥AE.--7分 26 7 详解：(1)略(2)由(1)可知OA,OB,OE两两垂直，故以O为坐标原点，OA,OB,OE所在直线为x,y,z轴 t定阿角起系，-8分题4小5a0小.alo.cQ-0.n停-4Qa同 -9分4B-(50小则Di停04E=(5a.-0分 D 设平面ADE的法向量为m=（x,y,z), 4 m.DA=343 则 =0 2+ ，令x=,则z=5,y=-1,则m=(3,-l,5),--12分 m·AE=-V3x+V3z=0 AB.m 42√7 记直线4B和平面ADE所成角为a侧如&-s(狐网丽2行宁，一-4分 所以直线AB和平面ADE所成角的正弦值为 .-15分 7 17.(1)因为直线1：c-y+2+4h=0(k∈R),即(x+4)k-y+2=0,--2分由 「x+4=00「x=-4 y+2=0,得 y2,4 分 所以直线1恒过定点(4,2).-5分 (2)s的最小值为16，此时直线l的方程为x-2y+8=0 详解：(1)略(2)由(2)及题意知，k≠0,6分且直线1在x轴上的截距为-4+2 7分在y轴 k 上的截距为4+2，--8分 （4k+2<0 由k 4k+2>0 解得，-10分所以s=斗-斗号2(0做+=2 2k ≥224k+4=16,-12分当且仅当4= 衣，即k= 二时等号成立，则s的最小值为16，--13分 此时直线1的方程为2x-y+4=0,即x-2y+8=0.-15分 18.1)85(225（6)存在：A=10 3 详解：(I)因为底面ABCD为矩形，所以AD/IBC,BC⊥DC,又PDL底面ABCD,BCC D 底面ABCD,所以PD⊥BC,又PDODC=D,PD,DCC平面PDC,所以BC⊥平面PDC, 又PCc平面PDC,所以BC⊥PC,--2分因为AD//BC,所以∠PBC为直线AD与PB所 A 成角，即<AD,BP>=∠PBC,--3分在直角△PBC中，AB=2,PC=2√5，PB=6所以 maC-份54分Dx明：丽n:A65 3 85.-5分 (2)因为PDL平面ABCD且ABCD为矩形，所以可如图建立空间直角坐标系， 则A(4,0,0),B(4,2,0),E(2,0,0),P(0,0,4),PE=(2,0,-4),PB=(4,2,-4),-6分 i PE 2x-4z=0 设平面PBE的法向量=(x,y,z),则{ i.PB=4x+2y-4z=0 令==1，得x=2,y=-2x=2,y=-2所以i=(2,-2,1),--8分因为 D PD⊥平面ABE所以平面ABE的法向量可取=(O,0,1),-9分设求 平面PEB与平面EBA所成角为0，则os91==-片-10分 5 B 所以平面PEB与平面EBA所成角的余弦值为一1I分 (3)依题意，(AD×BP)LAD,(AD×BP)LBP,又ADxBP=2BM, 所以EM⊥AD,EM⊥BP,--12分设E(a,0,0)(0≤a≤4)，PM=tPB(0≤t≤1)， 则M(4t,2t,4-4t),所以EM=(4t-a,2t,4-4t), EM.DA=4(4t-=0 由 4v5 EM.PB=4(4t-0+4t-4(4-40=0' 5 由1如D85,又因D以威，所以45=10， 4w5 ，-16分 所以线段PB上存在点M,使得AD×BP=2EM,此时入=10.--17分 19.(1)x=1或15x+8y-47=0(2)MB的最大值：4，MB的最小值：3. (3)当H(3,0)时， 2为定值子当60时， o QH此为定值3 OG 详解：（1)设P(x,y),由 PA 1 P宏得代++=即-2+v24, 曲线C的方程为(x-2)?+y2=4,即曲线C是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆，--2分 当直线1斜率不存在时，直线方程为：x=1,直线1被曲线C所截得的线段长为2√5，符合题意，3分 当直线1斜率存在时，设直线方程为：y-4=k(x-1), 圆心到直线的距离为：d+4,则25-2N4-乐，解得41，即-1，k=- Vk2+1 Vk2+1 ,此时直线方 程为：y-4=-5x-)）,即15x+8y-47=0,4分所以直线1的方程为：=1或15x+8y-47=0.-5 8 列 (2)设M(x,y),由题意知CM⊥DE,即∠CMA=90°，则点M的轨迹是以AC为直径的圆，--6分 AC中点为Nc店0,4C-1,所以圆N半径为，点M的轨迹方程为：c多+2-} 4 一8分@的发大：®N+片行4，一9分到的装个： M-3子含3-10分 (3)设Q(x,),则x2+y2=18,即y2=18-x2, 1G=lC-4=(x-22+y2-4=18-4x,-11分设H0,m, 6 2H--m+0-0=18-2-2N+m+,-12分设2=太，则28+m+-2m-2m=k, OG 18-4x -13分 即(-2m+4k)x+(-2my+(18+m2+n2-18k)=0对满足x2+y2=18的所有x,y恒成立， -2m+4k=0 m=3 m=6 则有}-2n=0 ,解得n=0或n=0,-15分所以当H(3,0)时， _3 18+m+n2-18k=0 G22 k= 3k=3 2 --16分当H(6,0)时， OH =3.-17分 7