广东普宁英才华侨中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

英才侨中2026-2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 （用时：120分钟满分：150分) 组卷人：林洪彬 复核人：高二数学备课组 第一卷选择题部分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.直线1过点A(1,0),B0,V3),则1的倾斜角为() A. 2.已知AB=（-1,-1,1),AC=（(2,-2,6),则平面ABC的一个法向量的坐标为() A.(1,2,-1)B.（-1,2,1)C.(1,-2,1D.(-1,-2,1) 3.如图，直线1,1,1的斜率分别为k,飞，飞3， 则() A.k1<k3<k, B.k3<k<k C.k<k,<kg D.k3<k,<k 4.过点(1,2)且与直线3x+4y-5=0平行的直线方程为() A.3x-4y+5=0B.4x-3y+2=0C.3x+4y-13=0D.3x+4y-11=0 2元 5.若直线ax+y+1=0的倾斜角为，则实数a=（) A.3 B.-3C.3 D.±3 3 6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧 棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P一ABCD为 阳马，PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若 DE=xAB+AC+二AP,则x+y+三=（) A.1B.2C.3D.4 第1页共4页 7.在正三棱柱ABC-AB,C,中，已知AB=V3BB,则异面直线AC,与B,C所成角的余弦 值为（) A.V2 B. c.v2 8 8 4 D.1 4 8.直线1：mx-y+2=0,1:(m-1)x+my-1=0,若1⊥1，则实数m的值为() A.0 B.2C.0或3 D.0或2 二、多选题(（每小题6分，漏选得相应部分得分，错选多选不得分，共18分) 9.给出下列四个命题，其中正确的有() A.若空间向量a,五，c均为非零向量，满足a/b,blc,则a/c: B.设{a,五，c是空间中的一组基底，则{à-b,b+c,a+c}也是空间的一组基底： C.已知空间四个点P,4,B,C,若PC=P+PB,则4B,C三点共线： D.对任意空间向量a,b,c,都有(a.)c=a(石.c)成立. 10.已知两条不重合的直线1y=飞x+b,12y=kx+b,下列结论正确的是() A.若（∥12，则k=飞2B.若k=飞2，则∥1 C.若kk,=1,则1⊥1D.若1⊥1，则kk=-1 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，M,N分别为棱C,D,CC的中点，则 下列结论正确的有（) D A.直线AM与平面44DD所成角的正弦值为} M B B.点B到直线AM的距离为4 3 C.直线AM与直线BW是异面直线 D A D.点D到平面AMN的距离为N7 17 第二卷非选择题部分 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.直线y=2x+1在x轴上的截距为 第2页共4页 13.经过点P（1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四 边形，PC=3PF,PD=PE,直线BF∥平面ACE,则 四、解答题（共77分） B 15.(13分)已知a=(4,-3,0),b=(1,2,-2) (1)求cos<d,b>的值： (2)已知eR,若(a-2b)/1(a+2b), 求的值 16.（15分)如图，正方体ABCD-AB,CD,的棱长为4，E是BB,的中点 (1)求证：DE⊥AC: D (2)求平面ADE与底面ABCD所成锐二面角的余弦值. B D: B 17.(15分)如图，已知△ABC中，AB=√6，∠ABC=45°，∠ACB=60°，延长BC至 点D,连接AD. (1)求AC的长： (2)若CD=3,求△ABD的面积. 第3页共4页 18.(17分)三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求： (I)边AC所在直线的方程， (2)边AB上的高CD所在直线的方程； 2C(0,2) (3)边AC的垂直平分线1的方程. A(-5,0) M 5 3 -3 B(3,-3) 19.(17分)如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD⊥平面ABE,AB//DC,AB⊥BC, AB=2BC=2CD=2,AE=BE=√3，点M为BE的中点. (I)求证：CM//平面ADE: (②)若线段.AD上存在一点N,使直线EN与平面MCD所成角的正弦值为VSo 10 求的值. D ND B M 第4页共4页英才侨中2026-2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 （用时：120分钟满分：150分) 一、单选题 1.直线1过点A1,0),B(0,5),则1的倾斜角为() A.π B. 2 3 C. 6 3 D. 【答案】D 【详解】因为直线1过点A1,0,B(0,V),所以直线1的斜率k=5-0.-V5, 0-1 设直线1的倾斜角6，则tan0=-V3,又0≤0<元，所以6= 3 所以直线的倾斜角为亏π 2 故选：D, 2.已知AB=(-1,-1,1),AC=(2,-2,6),则平面ABC的一个法向量的坐标为() A.(1,2,-1) B.(-1,2,1) C.(1,-2,1) D.（-1,-2,1) 【答案】B ABm=0 【详解】设平面ABC的法向量m=(x,y,),则 AC.m=0 [-x-y+z=0 因为AB=（-1,-1,1),AC=(2,-2,6),所以 2x-2y+6z=0’ 令x=1,则y=-2,z=-1,所以m=(1,-2,-1) 因为向量(1,2，-1)，1，-2,1)，（-1，-2,1)与m=(1,-2,-1)不共线， 故A,C,D不符合题意： 因为(-1,2,1)=-，所以B符合题意. 3.如图，直线，1，的斜率分别为k,飞，k,则() A.<< B.k3<k<k2 B.C.k<k<kg D.<k<k 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为a,k=tana, 图中直线，l,l3对应的倾斜角分别为%，o,%,由图可知%为钝角，即=tan%<0, 试卷第1页（共9页） 0<%<%,即0<店<<1，所以k<<月 4.求过点(1,2)且与直线3x+4y-5=0平行的直线方程为（) A.3x-4y+5=0 B.4x-3y+2=0 C.3x+4y-13=0 D.3x+4y-11=0 【答案】D 【详解】与直线3x+4y-5=0平行的直线方程满足3x+4y+c=0(c≠-5)， 且该直线过点(1,2)，则3x1+4×2+c=0,解得c=-11, 故该直线方程为3x+4y-11=0. 5.若直线+y+1=0的倾斜角为 3，则实数a=() A.3 B.-5 C.5 D.±3 3 【答案】C 【详解】因为倾斜角为2”，所以斜率太=am2红-5， 3 3 由直线ax+y+l=0得斜率k=-a,所以-a=-√3，即a=√3 6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底 P 面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD, E 且EC=2PE,若DE=xAB+yAC+AP,则x+y+z=（) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【详解】在四棱锥P-ABCD中，由EC-2P8,得丽}P元， 所以D正=DP+PE=A亚-AD+PE=AP-BC+PC=AP-(AC-AB)+}4C-AP) =AB-2AC+2亚，又D:x丽+yAC+,且B,AC,AP不共面， 3 3 因此x=1,y= 2 =亏所以x++2=1. 2 32 故选：A 7.在正三棱柱ABC-ABG中，已知AB=√3BB,则异面直线AC1与B,C所成角的余弦值为() A.v2 B.日c.5D. 1 8 4 4 【答案】B 【详解】取AB中点O,AB中点E,连接OB,OC,因为三棱柱ABC-A,B,C1为正三棱柱， 试卷第2页（共9页） 所以由正三棱柱性质可得OE,OC,OB两两相互垂直，如图，以O为原点建立空间直角坐标系， 设AB=√5BB,=2W3,则A(-V3,0,0),C(0,3,2), B(5,0,2),C(0,30), 所以AC=(W3,3,2,BC=（3,3-2, 设异面直线AC与B,C所成角为B AC·B,C 2-1 B 则cosp=cos(4AC,BCH ACB4x4-8 8.直线：x-y+2=0,l2:(m-1)x+y-1=C,若⊥2，则实数m的值为() A.0 B.2 c.0或号 D.0或2 【答案】D 【详解】由题意可得m(m-1)+(-1)=0,解得=0或=2. 二、多选题 9.给出下列四个命题，其中正确的有() A.若空间向量a,五，c均为非零向量，满足a6,,则e B.设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a-b,五+c,ā+c}也是空间的一组基底： C.已知空间四个点P,4,B,C,若PC=PA+PB,则A,B,C三点共线 4 D.对任意空间向量a,b,c,都有(a.)c=a(⑦c)成立 【答案】AC 【详解】对于A:若a/B,bl忙，且≠0，由平行关系的传递性可得则a/,所以A正确： 对于B,需判断a-b,b+c,a+c是否线性无关， 设x(a-b)+y6+c)+za+c)上=0， 整理得：(x+)a+(-x+)i+(y+c=0. x+z=0 因为a,b,c是基底，所以{-x+y=0, y+z=0 由第一式z=-x,第二式y=x,代入第三式得x+(-x)=0,恒成立， 说明存在非零解，例如x=l,y=l,z=1,使得：(a-b)+(石+c-(ā+d)=0. 试卷第3页（共9页） 所以三向量线性相关，不能作为基底，所以B错误： 对于C由心iE,且系数和片1，所以BC三点共线，所以C重确 对于D:(a.)c与共线，a(bc与a共线， 向量ā与向量：方向不一定相同，所以一般不相等，所以D错误。 10.己知两条不重合的直线y=kx+b,1y=飞x+b,下列结论正确的是() A.若l∥，则k=k B.若k=k,则4∥ C.若kk=1,则⊥ D.若⊥1，则kk=-1 【答案】ABD 【详解】对A,若∥l,则k=k,故A正确： 对B,若k=k2,又两直线不重合，则∥l,故B正确： 对C,若kk2=1,则与2不垂直，故C错误： 对D,若⊥，则kk=-1,故D正确. 故选：ABD 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，M,N分别为棱C1D,CC的中点，则下列结论正确的 有() D M 「与平面AADD所成角 B.点B到直线AM的距离为4 3 C.直线AM与直线BN是异面直线 'D D.点D到平面AMN的距离为W7 17 【答案】ABD 【详解】以D为原点，以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),M(0,1,2),N(0,2,1), 所以AM=(-2,1,2),由正方体性质可知平面AADD的一个法向量元=(0,1,0)， AM元11 设直线与平面所成的角为a,则sina Ad园3x13,故A正确： 而AB=(0,2,0),AM=（←2,1,2)， 试卷第4页（共9页） 点B到直线AM的距离为d= (AB.AM) 44W2 .4 故B正确： AM 9 3 因为MN=(0,1,-1),AB=(0,2,-2)=2MN, ZA D M 所以MNIIA B,所以A,B,M,N四点共面， B 所以直线AM与直线BN不是异面直线，故C错误； AM=（-2,1,2),AN=（2,2,1),DA=(2,0,0), D AM.i=-2x+y+2z=0 设平面AMN的法向量为=(x,y,),所以 AN.i=-2x+2y+z=0 令x=3,则y=2,z=2,所以m=(3,2,2), 得到点D到平面AMN的距离为d= DA.m 617 ,故D正确。 17 故选：ABD 三、填空题 12.直线y=2x+1在x轴上的截距为 【答案】-/-05 2 【详解】直线方程为y=2x+1, 令y=0,得x= y=21与交F点（ 2， ∴.直线y=2x+1在x轴的截距为- 1 21 故答案为：一 2 13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 【答案】y=4x或y=x+3 【详解】依题意，设直线方程为y=x或y=x+C, P1,4)代入方程可得k=4或c=3, 所求的直线方程为y=4x或y=x+3. 故答案为：y=4x或y=x+3. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形， PC=3PF,PD=1PE,直线BF∥平面ACE,则1= E 【答案】 【详解】如图，在线段PE上取点H,使得PE=3P豆. B 连接HF,DF,BD,记ACOBD=M,CE∩DF=N, 试卷第5页（共9页） 连接MN,因为直线BF/平面ACE,且平面BDFO平面ACE=MN, 所以MN//BF 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以M为线段BD的中点，则N为线段DF的中点， 因为元游，万汤以装得青 E 所以HFIICE,即NEHF 因为N为线段DF的中点，所以E是线段DH的中点， A 则DB=B,所以P=PE,则=5 3 B 故答案为：3 四、解答题 15.已知a=(4,-3,0),万=(1,2，-2) (1)求cosa,b的值： (2)已知1eR,若(a-历)1/(a+2b),求元的值 a 【详解】(1)0 丽伞+(3}P+2+(-2 15…5分 (2)a-2b=(4,-3,0)-(2,21,-2)=(4-元，-3-21,22)，…7分 a+2b=(4,-3,0)+(2,4,-4)=61,-4),…9分 由于(a-)11(a+2),则4-2-3-22_22 。…11分 614 D 解得2=-2，符合题意. 故1的值为-2.…13分 B 16.如图，正方体ABCD-ABC1D的棱长为4，E是BB,的中点， (1)求证：DE⊥AC: (2)求平面ADE与底面ABCD所成锐二面角的余弦值. 【详解】(1)在正方体ABCD-AB,C,D中， D 建立如图所示空间直角坐标系：…1分 B 则A(0,0,0),C(4,4,0),D,(0,4,4),E(4,0,2),DE(4,4,2),AC=(4,4,0),…4分 D DE.AC=4×4-4×4-2×0=0,则DE1AC,…6分 所以DE⊥AC…7分 试卷第6页（共9页） (2)由AA⊥底面ABCD,得底面ABCD的法向量为AA=(0,0,4),…8分 而AE=(4,0,2),D1E=(4-4-2),…10分 i.DE=4x-4y-2z=0 设平面ADE的法向量为n=(x,y,z), ，…11分 iAE=4x+2z=0 取x=1,得n=1,2,-2),…12分 因此|cos(A4,=40.82 141m4×33,…14分 所以平面ADB与底面ABCD所成锐二面角的余弦值之…15分 3 17.如图，已知△ABC中，AB=√6，∠ABC=45°，∠ACB=60°，延长BC至点D,连接AD (1)求AC的长： (2)若CD=3,求△ABD的面积. 【详解】(1)在△ABC中， 由正弦定理得：，AC AB sinLABC"sin/ACB,l分 又AB=V6,∠ABC=45°，∠ACB=60°. 所以AC=ABsin∠ABC-V6xsim45 =2.…5分 sim∠ACB sin60° (2)在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC.BC.c0S∠ACB,…6分 (（√6=2+BC2-2×2BC.c0s6007分 代入得BC2-2BC-2=0,…8分 .BC=√3+1（负数舍)，…10分 BD=BC+CD=V3+1+3=√3+4…11分 S1·Cs亦Yb+)×9趴×行=SsQa·8÷=S4￥厘明aP开 18.三角形的顶点是A(-5,0),B3,-3),C(0,2),求： 2C(0,2) (1)边AC所在直线的方程. E A(-5,0) (2)边AB上的高CD所在直线的方程； M -5 3 (3)边AC的垂直平分线1的方程. -3 B(3,-3) 【详解】(1)A(-5,0),C(0,2),C是y轴截距点，b=2,…1分 2-02 斜率c0(行3分 试卷第7页（共9页） 做直线AC的方程为：y=2x+2,即2x-5y+10=0.5分 (3)k8 -3-03 3-(-5)8,…7分 3 由cD1AB得：kwke=k知气8-1，解得m-言9分 8 直线过点C(0,2), 8 则直线CD的方程为：y=x+2,即8x-3y+6=0.…11分 8)取4C中，则 …12分 2 kac=513分 设其垂直平分线斜率为k, 则kack=2k=-1,解得k=- 5 215分 故直线1的方程为：-1：引+》 即10x+4y+21=0.…17分 19.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD⊥平面ABE,AB/IDC,AB⊥BC, AB=2BC=2CD=2,AE=BE=√3，点M为BE的中点. D (I)求证：CM//平面ADE; (2)若线段AD上存在一点N,使直线EN与平面MCD所成角的 正弦值为V30, 2的值 【详解】(1)(1)取AE的中点F,连接DF,MF,1分 因为F,M均为中点，故MF为中位线，…2分 即F11AB,R=AB=1,3分 又AB/DC,DC=1, 故MF/1DC,MF=DC,…4分 所以四边形CMFD为平行四边形，…5分 故MC/1DF,…5分 又MCT平面ADE,DFC平面ADE…6分 所以CM/平面ADE.…7分 (2)在平面ABE中，过B作BK⊥BA,以BA,BK,BC所在直线为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，…8分 由己知，A(2,0,0),E1,√2,0)，M 1V2 2 0 C(0,0,1),D(1,0,1).…9分 2 试卷第8页（共9页） CD=4,0,0),CM 12 ,AD=（-1,0,1),EA=4,-2,0),…11分 n.CD=x=0 设平面MCD法向量为n=(x,y,z),则} hc 2y=0 ，…10分 解得x=0,令二=1，则y=V2,故n=(0,V互，1).…12分 设N=AD,则E=EA+AN=EA+1AD=1-1,√2,2)(0<1k1),…13分 所以1家 =12-刘-V30 1BN-m3V2-22+310,…15分 ZA 解得入（合去=- ),…16分 4 故1-1.…17分 ND B M K 试卷第9页（共9页）