河南省新乡市部分校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知(a,b,c)是空间的一个基底，则下列选项中，不能构成空间基底的是 A.a+b,a+c,a B.a+c,b+c;a C.a+b,a-b;c D.a+c,a-c,2c 2.已知直线m,n满足m⊥n,直线m的倾斜角为30°，则直线n的斜率为 A.3 B.-√5 D.、3 3.“k=1”是“直线(k一2)x十y+1=0与直线3x+(k-4)y-2=0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知异面直线m,n的方向向量分别为m=(0,一1，一1)，n=(1,2,1),则异面直线m,n 所成角的大小为 A君 B 5.已知空间向量a=(-4,m,2),b=(-1,2-1).若a与b的夹角为写则m= 臀 -9 C.2 D.-2 6.如图，四棱锥P一ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2,动点M 在线段PC上，则BM十DM的最小值为 B30 C 30 6 4 D V30 @第1页（共4页） 7.已知正方体ABCD一A,B,C,D1的棱长为1，点P在正方体内部（含表面）且满足AP= 店+号矿十：A不若点P到直线D,的距商为则( 4 A号 B号 3 C.4或2 8.欧拉定理表明：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线被称为欧拉线.在平面 直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0,0),B(4,0),C(1,3),△ABC的欧拉线为直 线l,点P为1上的动点，过点P作圆Q:(x一6)2+(y一5)2=9的切线，其中一个切点为 M.当△PMQ的面积取得最小值时，切线长|PM|= A.5 B.√13 C.3 D√7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在平行六面体ABCD一A1B,C,D1中，下列各式成立的有 A.AB+AD+C:A:=0 B.AB-AC+BB,=CB, C.AC+CB,+C D=2CD D.AD+AB,+AC,=2 AC 10.已知圆C:(x一4)2+(y一1)2=5，点P(1,5),直线1：ax-y-2a十2=0(a∈R),则下列 说法正确的有 A.直线1恒过点(2,2) B.点P到直线1的距离的最大值为3 C.若直线l与圆C相切，则a=2 D若圆C上二点M关于直线的对称点在圆C上，则Q= 11.已知正四面体ABCD的棱长为2，M,N分别为BC,AD的中点，O为△BCD的重心，则 下列说法正确的有 A异面直线AB与DM夹角的余弦值是3 B.CN与平面ADM所成角的正弦值为3 cad=号a+号Ad+号Ad D.二面角N-BC-D的余弦值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线1的方向向量为1=(2，y,一1)，平面&的法向量为v= 1,2,且1∥a,则 y= 13.已知圆O:x2十y2=r2(r>0),圆A:(x-3)2十(y+4)2=16.若圆O与圆A有公共点， 则x的取值范围是 14.已知a,b是空间中互相垂直的单位向量，c=10,c·a=c·b=3√2，则 c-ma-nb的最小值是 ①第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的三个顶点分别是A(-2,0),B(4,-2),C(1,2) (1)求边AB上的中线所在直线的方程； (2)求边AB上的高所在直线的方程； (3)求过点C且与AB平行的直线的方程. 16.(15分)棱长为6的正方体ABCD一A,B,C1D1在空间直角坐标系中的位置如图，点M, N分别在线段DC,和AC上，且BM=2MC,AN=专AC (1)写出点M,N的坐标； (2)求线段MN的长； (3)求异面直线MN,AB所成角的余弦值. 17.(15分)已知直线1过点A(一2,3)且与直线x一2y+1=0垂直，点B为圆C:x2+y2- 10x+2y十m=0上的动点，直线l与圆C相交，且截得的弦长为2√5. (1)求直线1的方程； (2)求实数m的值； (3)求线段AB的中点P的轨迹方程， @第3页（共4页） 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4,O为AC 的中点 (1)证明：PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上，PC与平面PAM所成角的正弦值为5 ,求二面角M-PA-B 的余弦值. o' 19.(17分)如图，四棱锥P一ABCD的底面是边长为1的正方形，PA≠PC,二面角B PC-A的大小为60°，平面PBD⊥平面PAC,平面PBD∩平面PAC=PO,AH⊥PO. (1)证明：BD⊥平面PAC; (2)若PA=1,求直线PB与平面PCD所成角的大小. C 个第4页（共4页）高二数学参考答案及评分意见 1.D【解析】因为{a,b,c}是空间的一个基底，所以a,b,c不共面.因为a十c=a一c+2c,所以a十c与a一c,2c共 面，所以a十c,a一c,2c不能构成空间基底.故选D. 2.B【解析】因为直线m的倾斜角为30°，m⊥n,所以直线n的倾斜角为30°十90°=120°，所以直线n的斜率为 tan120°=-√3.故选B. (k-2)(k-4)=3, 3.A【解析】若直线(k-2)x+y+1=0与直线3x十(k-4)y-2=0平行，则 解得-1或 -2×(k-2)≠3. k=5,所以“=1”是“直线(k一2)x十y十1=0与直线3x十(k-4)y-2=0平行”的充分不必要条件.故选A. 一3 4.A【解析】因为m=(0,-1,-1),n=(1,2,1),所以cosm,n〉= 8因为(m,n)[0,],所以《m, √2X√6 m》-,所以异面直线m8所成角的大小为后故连A 5.C【解折】h题意，得0s1ab)=60s号-号因为a=(-4m,2.b=(一1,2，-1.所以4+20之 √20+m2X62 解得m=2或m三_，因为a·b=4+2m-2>0,解得m>-1,所以m=2.故选C 6.B【解析】由题意，得AB,AD,AP两两垂直，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0, 0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2). 1 设PM=tPC(0≤t≤1)，M(x,y,之)，则(x,y,之-2)=t(1,1,-2)=(t,t,-2t), 解得x=t,y=t,z=2-2t,所以Mt,t,2-2t).因为BM=(t-1,t,2-2t),DM=(t,t-1,2-2t), 所以BM=|BM|=√(t-1)2+t2+(2-2t)7=√6t2-10t+5, DM=|DM|=√2+(t-1)2+(2-2t)z=√6t2-10t+5,所以BM=DM. 因为-1w+5=6-》+8学当且仅当=音时，等号成立，又 =6∈[0,1]，所以BM的最小值为 所以BM十DM的最小筐为一权选B 30 6 7.C【解析】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0, 1),D1(0,1,1),所以AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1),BD1=(-1,1,1). 因为-+号证-a,所以a正-(g小所以P(怎小所以晾-（小 P B数学答案第1页（共7页） 设B产在BDi上的投影向量的模为d,则d=|BP1cos(B产，BD) 立D是+ 3+4t BD 3 4W3 所以点P到直线BD1的距离h=√BP?-d3= /16t2+5 3+4t) √32t2-24t+6 16 4W3 43 由题意，得A-即Y820+6- 1 1 4√5 12,所以3212-24t+6=2,解得14=22=有，均满足题意.故选C 8.D【解析】由恩意，得△ABC的重心为G(信，小，线段AB的中点为D(2,0>.因为点A,B均在x箱上，所以线段 AB的垂直平分线为直线x=2.设△ABC的外心为T(2,t),则由|TA|=|TC|,得(2-0)2+(t-0)2=(2一 1)2十(t-3)2,解得t=1,所以T(2,1),所以△ABC的欧拉线l的方程为y=1. 由圆Q的方程，得圆心Q(65),半径r=3,所以直线L与圆Q相离因为S△m8=号PMQM=PM,所 以当|PM|取得最小值时，△PMQ的面积取得最小值.因为PM2=|QP|2-|QM2=QP|2-9,所以当QP 取得最小值时，|PM取得最小值， 因为点P在直线y=1上运动，所以|QP|min=5-1=4,所以|PMmn=√QPan-9=√16-9=√7.故选D. 9.ABD【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB+AD=AC,C1A=-A1C1=-AC,所以AB+ AD+C1A=AC-AC=0,故A正确. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB-AC=CB,CB+BB1=CB1,所以AB-AC+BB=CB1,故B 正确。 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为AC+CB1=AB1,AB1=DC=-CD,所以AB1+C1D=0,所以 AC+CB1+C1D=0,故C错误. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB1=AB+AA1,AC=AB+AD+AA1,所以AD+AB+AC AD+AB+AA+AC1=2AC,故D正确.故选ABD. 10,ACD【解析】因为直线l的方程可化为y=a(x一2)十2，所以直线1的斜率为a,且过点A(2,2),所以直线l 恒过点(2,2)，故A正确. 当PA⊥1时，点P到直线1的距离最大，且最大值为PA|=√(1-2)2+(5-2)7=√10，故B错误. 若直线1与圆C相切，则圆心C(4,1)到直线1的距离d=2a+-5,解得a=2,故C正确 √a2+1 由题意，得周心C4,在直线1上，即4a一1一2a十2=0，解得a=名故D正确枚选ACD 11.AC【解析】以{AB,AC,AD}为基底.由正四面体ABCD的棱长为2，得|AB|=AC1=|AD|=2,任意两个 基向量的夹角为60°，则AB·AC=AC.AD=AB.AD=2X2Xcos60°=2. 因为M,N分别为BC,AD的中点，所以AM=DM=BN=CN=√3. 因为M为BC的中点，所以AMi=2(A店+AC),所以DM=AM-AD=2A店+号AC-AD】 因为Di.A店=(2A店+2AC-A元)·A店=号A+2A店·AC-A市·AC=2+1-2=1, 所以cos(DM,AB) DM·AB 1|DM|AB|√5X2 骨，所以异面直线AB与DM夹角的余弦值是，故A正确。 1√3 ©数学答案第2页（共7页） 在正四面体ABCD中，△ABC和△BCD均为等边三角形，因为M为BC的中点，所以AM⊥BC,DM⊥BC.因 为AM∩DM=M,AM,DMC平面ADM,所以BC⊥平面ADM.如图，连接MN,则∠CNM即为直线CN与 平面ADM所成的角.因为CM1,CN=3,所以sin∠CNM-C=放B错误， 因为O为△BCD的重心，M为BC的中点，所以AO=AD+Dd=AD+二DM =Ad+号（位A+2AC-AD)-Ad+号A店+号AC-号Ad=专A店+号AC+专A心，故C正确， 因为BN=CN,M为BC的中点，所以MN⊥BC.因为DM⊥BC,平面MBC∩平面BCD=BC,所以∠NMD 是二面角N一BC-D的平面角. 在Rt△CMN中，CM=1,CN=√3，所以MN=√CN-CMr=√2. 区因为DN=,DM=B.所以DN LMN,.所以cOsZ∠NMD号放D指误放法AC 12.1【解析】由题意，得11v.因为1=(2，，-1)，v= (1.2所以1=2×+yX1+(-1×2=y-1=0 解得y=1. 13.[1,9]【解析】因为圆O与圆A有公共点，所以圆O与圆A相交或相切.因为圆O:x2+y2=r2(r>0),所以圆 心O(0,0),半径为r.因为圆A:(x-3)2+(y十4)2=16，所以圆心A(3,-4),半径R=4. 两圆的圆心距|OA|=√(3-0)2-(-4-0)产=5.因为点O在圆A外，所以当圆O与圆A内切时，r>R=4, r-4=1OA|=5,解得r=9.当圆O与圆A外切时，r十4=OA|=5,解得r=1.当圆O与圆A相交时，r-4< |OA|=5<r十4，解得1<r<9.综上，1≤r≤9，即r的取值范围是[1,9]. 14.8【解析】因为a,b是空间中互相垂直的单位向量，所以a·b=0,a=b=1. 又因为c|=10,c·a=c·b=3W2, 所以c-ma-nb|2=(c-ma-nb)·(c-ma-nb) =c2-2ma·c-2nc·b+2mna·b+m2a2+n2b2 =m2-6√2m+n2-6√2n+100=(m-3√2)2+(n-3W2)2+64. 当m=n=3√2时，c-ma-nb|?取到最小值64，即c-ma-nb的最小值为8. 15.解：(1)因为A(-2,0),B(4,-2),所以线段AB的中点为D(1,-1).…2分 因为C(1,2),所以边AB上的中线CD所在直线的方程为x=1.…4分 (2)因为A(-2,0),B(4,-2),所以直线AB的斜率kB=4-（-2) -2-0 1 3 ，…6分 所以边AB上的高所在直线的斜率k=3.…7分 又因为边AB上的高过点C(1,2), B数学答案第3页（共7页） 所以边AB上的高所在直线的方程为y一2=3(x一1)，即3.x一y一1=0.…9分 1 (3)由(2)得，kB=一3， 因为所求直线与直线AB平行，所以所求直线的斜率为一】 3 …………………………………11分 因为所求直线过点C(1,2),所以所求直线的方程为y一2=一 3x-1), 即十3y7=0.…13分 16.解：(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6， 所以D(0,0,0),A(6,0,0),C(0,6,0),B(6,6,0),C1(0,6,6), BCi=(-6,0,6),DB=(6,6,0),AC=(-6,6,0),DA=(6,0,0). …2分 因为BM=2MC1,所以Bi=号BC=号（-60,6)=(-4,0,40. 所以DM=DB+BM=(6,6,0)十(-4,0,4)=(2,6,4)，所以M(2,6,4).…4分 因为AN=号AC,所以AN=号AC=号(-66,0)=(-2,2,0， 所以D=DA十AN=(6,0,0)十(-2,2,0)=(4,2,0)，所以N(4,2,0).…6分 (2)由(1)，得M(2,6,4),N(4,2,0),所以MN=(4,2,0)-(2,6,4)=(2,-4,-4), 所以MN=|MN|=√22十（-4)十(-4)7=6.…9分 (3)由(2)，得M=(2,-4,-4),|MN|=6. 因为A(6,0,0),B(6,6,0),所以AB=(0,6,0), 所以cos(MN,AB)=M·A店=一242 …12分 1MN1|AB6×6 3 设异面直线MN,AB所成的角为a,则cosa=cos(M示，A店=号 所以异面直线MN,AB所成角的余弦值为 2 3 …15分 17.解：1)因为直线1与直线r-2y+1=0垂直，直线x-2y+1=0的斜率为分， 所以直线礼的斜率为一2.…3分 又因为直线l过点A(-2,3),所以直线1的方程为y-3=-2(x十2)，即2x十y十1=0.…5分 (2)圆C:x2+y2-10x+2y+m=0的标准方程为(x-5)2+(y+1)2=26-m, 则圆心C(5,-1),半径r=√26一m,m<26.…6分 因为圆心C(5,一1)到直线1的距离d2X5十（一1）十1=25，…………8分 √22+12 圆截直线1所得的弦长为2√5，所以r2 25 十(2√5)2=26-m,解得m=1.…10分 2 (3)由(2)，得圆C的方程为x2+y2-10.x+2y+1=0. 设线段AB的中点为P(x,y),B(xoyo) B数学答案第4页（共7页） x=02 2 因为A(-2,3),所以 、则=2x+2, …………………………………………12分 y0+3{yo=2y-3. 2 因为点B在圆C上运动，所以x十y-10.x。十2y。十1=0， 即(2x+2)2+(2y-3)2-10(2x十2)+2(2y-3)+1=0, 化简，得（一）+g-1-。 4 即线段A8的中点P的气漆方程为(》十)-1- 4 …15分 18.(1)证明：因为PA=PC=AC=4,所以△PAC是等边三角形. 因为O为AC的中点，所以PO⊥AC,且PO=23.…2分 因为AB=BC=2√2，AC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC. 如图，连接B0.因为0为AC的中点，所以B0=2AC=2.…3分 因为PO2十B02=12十4=16=PB2,所以PO⊥BO.…4分 因为AC∩BO=O,AC,BOC平面ABC,所以PO⊥平面ABC.…5分 (2)解：由1)知，PO⊥OC,PO⊥OB. 因为AB=BC,O为AC的中点，所以BO⊥AC.…6分 以O为坐标原点，OB,O心，OP的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意，得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2√3)， 所以AP=(0,2,25),AB=(2,2,0),PC=(0,2,-23) 因为点M在棱BC上，所以设M(s,2一s,0),则AM=(s,4一s,0).由题意，得0<s<2.…8分 设平面PAM的法向盘为n=a6c,则.n=26+25c=0, AM·n=sa+(4-s)b=0. 设c=-s,则x=√5(-4)，b=√5s,所以n=(5(s-4),√5s,-s).…10分 由题意，得引cos(P元，nl=PC·n 43s 5 ΓPC11n4X√7s2-24s+48 4 解得=一合度：=号所以n ……………12分 1AP·m=2y+23x=0, 设平面PAB的法向量为m=(x,y,之)，则 AB·m=2.x+2y=0. 设之=1，则x=√3，y=-√3，所以m=(3,一3,1).……14分 B数学答案第5页（共7页） 40 因为cos(m,n)=】 3 疗鸡 m·n 57 14, 由题知，二面角M一PA一B的平面角是锐角， 所以二面角M-PA一B的余弦值为 14 17分 19.(1)证明：因为平面PBD⊥平面PAC,平面PBD∩平面PAC=PO, AH⊥PO,且AHC平面PAC,所以AH⊥平面PBD.…2分 又因为BDC平面PBD,所以AHBD.………………………………………………………3分 在正方形ABCD中，AC⊥BD 因为AC∩AH=A,AH,ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC.…5分 (2)解：以点A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴，过点A的平面ABCD的垂线为之轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)…6分 D 设P(m,n,t),t>0,则AP=(m,n,t),BD=(-1,1,0). 因为PA=1,所以m2十n2+t2=1.① 由(1)知，BD⊥平面PAC,因为APC平面PAC,所以AP⊥BD, 所以Ap.BD=-m十n=0.②…8分 因为BD⊥平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为BD=(-1,1,0).…9分 m·BC=0, 设平面BPC的法向量m=(x,y,z),则 m·Bp=0. 因为BC=(0.1,0),B-=(m-1m),所以心=0. (m-1)x+ny十tz=0. 取x=t,则之=1一m,所以m=(t,0,1一m).…10分 因为二面角B-PC-A的大小为60°， 所以cos(BDm=BDm中Tw+ 2.③ ……………………11分 2 由①②③解得m=0,n=0,1=1,或m=3n= 21 31=3 即Po0或P(台号》 …12分 当点P的坐标为(0,0,1)时，PC=(1,1,-1),PC=|PC1=√3，PA≠PC,满足题意. PB=(1,0,-1),DP=(0,-1,1). n·PC=0,a+b-c=0, 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则 即 n.Dp=0,(-b+c=0. B数学答案第6页（共7页） 取b=1,则c=1,a=0,所以n=(0,1,1). 设PB与平面PCD所成的角为a,则sina=cosP店m=D方，n 1 |PB1n√1+IX√1+72 又因为a∈(,]所以a= ……………………………………………………………14分 6 当点P的生标为（后台号）时，元-（仔号-》C=元-PA≠C清足愿点 m-G-)亦-（后-方）月 p·PC=0, 设平面PCD的法向量为p=(a',b',c),则 p·Dp=0, 后+ 1'=0 3 3 即 取b'=1,则c'=1,a'=0,所以p=(0,1,1) 1 √5 设PB与平面PCD所成的角为3，则simB=cos<PB,p=PD 1,41 2 √g+g+g×v+1 π 又因为B∈0，所以B=3 ……16分 综上，直线PB与平面PCD所成角的大小为看或 3 ………17分 B数学答案第7页（共7页）