甘肃兰州市城关区华侨实验学校2026～2027学年九年级上学期期中数学试卷

华侨教育集团 2026-2027-1 学期九年级数学期中测试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C A B C C D C C B 二、填空题答案：12．；13．；14．；15． 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】看未知数的最高次数与二次项系数． 【解答】B 含两个未知数；C 中 不是整式；D 中 可能为 ；只有 A 符合．故选 A． 2．“斗”是古代计量粮食的重要容器，用于规范交易、征收田赋．如图是一款上宽下窄的方斗形量器，它的俯视图是（　　） 【答案】B 【分析】方斗是上宽下窄的四棱台，俯视图要能看到上口、底面及四条侧棱的投影． 【解答】从上往下看，外轮廓是上口的大正方形，里面是底面小正方形，四角有侧棱的投影线，且都能看到，用实线表示，故选 B． 3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】判断两组线段的比是否相等． 【解答】A：；B：； C：，成比例；D：不成比例．故选 C． 4．如图，菱形 的对角线相交于点 ，添加一个条件能使菱形 变为正方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】菱形加“一个角是直角”或“对角线相等”即为正方形． 【解答】菱形 中若 ，则它是有一个角是直角的菱形，即正方形，A 正确；B、C、D 都不能保证有直角．故选 A． 5．如图，菱形 的周长为 20cm，对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，则 的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】菱形的四边相等，且对角线互相平分；用三角形中位线． 【解答】菱形周长为 ，所以 ；对角线互相平分， 是 的中点， 又 是 的中点，所以 是 的中位线，cm，选 B． 6．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段 ， 是 的黄金分割点．若这片银杏叶主脉 的长度为 10cm，则 的长为（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】黄金比为 ，较长部分 全长． 【解答】因为 是 的黄金分割点且 ，所以 （cm），选 C． 7．如图，点光源 射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片 投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像 ．已知图片 长为 3dm，若点光源 到胶片的距离 长为 6dm，点光源 与屏幕的距离 的长为 18dm，则影像 长为（　　）dm A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用相似三角形（光线平行投影）对应高之比等于对应边之比． 【解答】因为 ，所以 ，， 所以 （dm），选 C． 8．如图，直线 ，直线 ， 相交于点 ，且分别与直线 ，， 相交于点 ，， 和点 ，，，已知 ，，，，则 的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三条平行线被两条直线所截，所得对应线段成比例． 【解答】因为 ，所以 ，， 又 ，所以 ， 由 得 ，所以 ，选 D． 9．如图，在菱形 中，，，， 分别是 ， 上的动点，连接 ，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊位置：当 、 关于 对称时计算，即可得定值． 【解答】当 时，由对称性 ， 又 ，，所以 ． 在 中，，，所以 ， ，所以 ，同理 ， 所以 ，选 C． 10．若 的两个实数根为 和 ，那么关于 的一元二次方程 的解为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】把 看作整体，两个方程结构相同． 【解答】令 ，则方程化为 ，与已知方程同解， 所以 或 ，即 或 ，选 C． 11．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形 ，且顶点 的坐标为 ，点 在第一象限，，将菱形 绕原点 沿顺时针方向旋转，每次旋转 ，旋转第一次得到四边形 （点 . 与点 重合），则旋转第 2026 次得到的点 的坐标（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转中心是原点 （不是点 ）： 且 ，旋转 后 恰好落在 ，与题意相符；每 次旋转回到原位． 【解答】因为 且 . ，将菱形绕点 顺时针旋转 时，点 恰好落在点 的位置，符合“点 与点 .. 重合”，故旋转中心是原点 ． ，点 绕 每旋转 对应一个位置， 次为一个周期， 因为 ，所以 相当于把点 顺时针旋转 ． 点 对应角 ，旋转后对应角为 ， 所以 的坐标为 ，故选 B． 12．若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为______． 【答案】 【分析】用根与系数的关系． 【解答】由题意 ，，所以 ． 13．若 ，则 ______． 【答案】 【分析】设比值为 ，用 表示 、、． 【解答】设 ，则 ，，， 所以 ． 14．若 ， 和 分别是对应边上的中线，且 ，则 ______． 【答案】 【分析】相似三角形面积比等于相似比的平方，对应中线之比等于相似比． 【解答】因为 ，所以相似比为 ，所以 ． 15．如图，直线 与坐标轴分别交于点 ，，点 是线段 上一动点，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，连接 ，则线段 的最小值为______． 【答案】 【分析】四边形 是矩形，，转化为求 到 的距离． 【解答】因为 轴、 轴，且两坐标轴互相垂直，所以四边形 是矩形，． 当 时 最小，即 到直线 的距离． 直线 即 ， 所以 ，即 的最小值为 ． 16．解方程（每小题 3 分，共 6 分） (1) (2)． 【答案】(1)，；(2)， 【分析】(1)移项后提公因式因式分解；(2)用求根公式． 【解答】(1) 即 ，移项得 ， 所以 ，． (2)，，，，， 所以 ， 即 ，． 17．（6 分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ，，． (1)以坐标原点 为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ，使 与 位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出 ； (2)设 与 的周长分别为 ，，则 ______． 【答案】(1)见解答（，，）；(2) 【分析】(1)位似比 且位于位似中心两侧，则对应点坐标都乘以 ；(2)位似图形的周长比等于相似比． 【解答】(1)因为 与 在位似中心 的两侧，位似比为 ， 所以 ，，，顺次连接即得 ． (2) 与 的相似比为 ，所以 ． 18．（6 分）如图，在 中，点 ，， 分别在 ，， 边上，，． (1)求证：． (2)若 ，，求 的长． 【答案】(1)证明见解答；(2) 【分析】(1)用平行线的同位角找两组等角；(2)先用 求 ． 【解答】(1)因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ， 所以 ． (2)因为 ，所以 ． 又 ，所以 ， 所以 ，． 19．（6 分）如图，在地面上竖直安装着 ，， 三根立柱，在同一时刻，立柱 ， 在路灯 下形成的影子分别为 与 ． (1)请在图中画出路灯 的位置，并画出立柱 在路灯 下所形成的影子 ； (2)若立柱 高 3 米，影长是 2 米，立柱 的底部 离路灯底部的距离是 3 米，求路灯的高度． 【答案】(1)见解答；(2)路灯高 米 【分析】(1)路灯 是两条光线（顶点与影子端点连线）的交点；(2)用 ． 【解答】(1)连接 、 并延长，两线交点即为路灯 的位置；连接 并延长交地面于点 ，线段 就是立柱 的影子． (2)设路灯高为 米，路灯底部为 ，则 ，． 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以路灯高 米． 20．（6 分）已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为 ，，且 ，求 的值． 【答案】(1)证明见解答；(2) 【分析】(1)证判别式恒正；(2)用根与系数的关系把条件化为关于 的方程． 【解答】(1)， 所以无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)由根与系数的关系 ，， 所以 ， 由 得 ． 21．（6 分）如图，在 中，，点 在边 上，已知 ，边 交 于点 ．求证：． 【答案】证明见解答 【分析】证 ，注意 给出 ． 【解答】因为 ，所以 ． 又 ，且 （对顶角）， 所以 ， 所以 ，即 ． 22．（6 分）如图， 是等腰三角形，，点 、 分别是 、 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 、、． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ，，求矩形 的周长． 【答案】(1)证明见解答；(2) 【分析】(1)先证 是平行四边形，再由 得直角；(2)先判断 是等边三角形． 【解答】(1)因为 、 分别是 、 的中点，所以 且 ， 又 ，所以 且 ， 所以 且 ，四边形 是平行四边形， 因为 ， 是 中点，所以 ，即 ， 所以平行四边形 是矩形． (2)因为 ，，所以 是等边三角形，， 所以 ，， 所以矩形 的周长为 ． 23．（7 分）某商店以每套 40 元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套 58 元的价格出售．经统计，2026 年 1 月份的销售量为 256 套，2026 年 3 月份的销售量为 400 套． (1)求该组合套装 1 月份到 3 月份销售量的月平均增长率； (2)从 2026 年 4 月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价 1 元，月销售量就会在 3 月份销售量的基础上增加 20 套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为 4800 元？ 【答案】(1)；(2)售价为 元 【分析】(1)增长率模型 ；(2)每降 1 元销量增 20 套，利润 单件利润 销量． 【解答】(1)设月平均增长率为 ，则 ， 所以 ，（负值舍去），． (2)设每套降价 元，则售价为 元，月销售量为 套， 由题意 ，即 ， 化简得 ，解得 或 （舍去）， 所以售价为 元． 24．（6 分）如图，在 中，， 是 中点，， 是 的角平分线，连接 、． (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)证明见解答；(2) 【分析】(1)先证 且 ；(2)建立坐标系（或利用平行关系）求 ． 【解答】(1)因为 ， 是 的中点，所以 ， 因为 ，所以 ，又 平分 ，所以 ， 所以 ，， 又 ，所以四边形 是平行四边形，且 ，所以它是菱形． (2)由 ， 是 中点得 ，所以 ， 在 中 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 是顶角为 的等腰三角形， 作 于 ，则 ，，， 所以 ． 25．（8 分）新定义：若关于 的一元二次方程有两个实数根且其中一个实数根等于另一个实数根的 3 倍，则称这个一元二次方程为三倍友方程．例如方程： 两根为 1、3，则这个方程是三倍友方程． (1)判断一元二次方程 是否为三倍友方程，并说明理由； (2)若方程 是三倍友方程，求 的值； 【答案】(1)不是，理由见解答；(2) 或 【分析】按“一根是另一根的 3 倍”列式，注意两种情况． 【解答】(1) 的两根为 和 ， 且 ，所以它不是三倍友方程． (2)方程的两根为 和 ， 若 ，则 ；若 ，则 ， 所以 或 ． 26．（12 分）如图，，，， 为矩形的 4 个顶点，，，动点 ， 分别以 ， 的速度从点 ， 同时出发，点 从点 向点 移动，点 从点 向点 移动． (1)若点 从点 移动到点 停止，点 ， 分别从点 ， 同时出发，问经过 2s 时，， 两点之间的距离是多少？ (2)若点 从点 移动到点 停止，点 随点 的停止而停止移动，点 ， 分别从点 ， 同时出发，问经过多长时间 ， 两点之间的距离是 10cm？ (3)若点 沿着 移动，点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 从点 移动到点 停止时，点 随点 的停止而停止移动，试求经过多长时间 的面积为 ． 【答案】(1)cm；(2)s 或 s；(3)s 或 s 【分析】建系：以 为原点、 为 轴、 为 轴，用 表示 、 的坐标，再列方程求解，注意分段讨论． 【解答】以 为原点， 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立坐标系，则 ，，，． (1)经过 2s，，，所以 （cm）． (2)经过 s，，，由 得 ， 即 ，解得 或 ，二者都不超过 ，符合题意． (3)①当 时，点 在 上，，，， ，解得 ； ②当 时，点 在 上，，， ，即 ，解得 （ 舍去）； ③当 时，点 、 都在 上，，，得 ，不合题意； 所以经过 4s 或 6s 时， 的面积为 12 平方厘米． 九年级数学期中试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 华侨教育集团 2026-2027-1 学期九年级数学期中测试试卷 出卷人：九年级数学组　　审卷人：陈雪云 一、单选题（每题 3 分，共 33 分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．“斗”是古代计量粮食的重要容器，用于规范交易、征收田赋．如图是一款上宽下窄的方斗形量器，它的俯视图是（　　） 3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．如图，菱形 的对角线相交于点 ，添加一个条件能使菱形 变为正方形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，菱形 的周长为 20cm，对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，则 的长是（　　） A． B． C． D． 6．黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段 ， 是 的黄金分割点．若这片银杏叶主脉 的长度为 10cm，则 的长为（　　）cm． A． B． C． D． 7．如图，点光源 射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片 投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像 ．已知图片 长为 3dm，若点光源 到胶片的距离 长为 6dm，点光源 与屏幕的距离 的长为 18dm，则影像 长为（　　）dm A． B． C． D． 8．如图，直线 ，直线 ， 相交于点 ，且分别与直线 ，， 相交于点 ，， 和点 ，，，已知 ，，，，则 的长度是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在菱形 中，，，， 分别是 ， 上的动点，连接 ，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 10．若 的两个实数根为 和 ，那么关于 的一元二次方程 的解为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 11．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形 ，且顶点 的坐标为 ，点 在第一象限，，将菱形 绕原点 沿顺时针方向旋转，每次旋转 ，旋转第一次得到四边形 （点 . 与点 重合），则旋转第 2026 次得到的点 的坐标（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题 3 分，共 12 分） 12．若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为______． 13．若 ，则 ______． 14．若 ， 和 分别是对应边上的中线，且 ，则 ______． 15．如图，直线 与坐标轴分别交于点 ，，点 是线段 上一动点，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，连接 ，则线段 的最小值为______． 三、解答题 16．解方程（每小题 3 分，共 6 分） (1) (2)． 17．（6 分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ，，． (1)以坐标原点 为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ，使 与 位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出 ； (2)设 与 的周长分别为 ，，则 ______． 18．（6 分）如图，在 中，点 ，， 分别在 ，， 边上，，． (1)求证：． (2)若 ，，求 的长． 19．（6 分）如图，在地面上竖直安装着 ，， 三根立柱，在同一时刻，立柱 ， 在路灯 下形成的影子分别为 与 ． (1)请在图中画出路灯 的位置，并画出立柱 在路灯 下所形成的影子 ； (2)若立柱 高 3 米，影长是 2 米，立柱 的底部 离路灯底部的距离是 3 米，求路灯的高度． 20．（6 分）已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为 ，，且 ，求 的值． 21．（6 分）如图，在 中，，点 在边 上，已知 ，边 交 于点 ．求证：． 22．（6 分）如图， 是等腰三角形，，点 、 分别是 、 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 、、． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ，，求矩形 的周长． 23．（7 分）某商店以每套 40 元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套 58 元的价格出售．经统计，2026 年 1 月份的销售量为 256 套，2026 年 3 月份的销售量为 400 套． (1)求该组合套装 1 月份到 3 月份销售量的月平均增长率； (2)从 2026 年 4 月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价 1 元，月销售量就会在 3 月份销售量的基础上增加 20 套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为 4800 元？ 24．（6 分）如图，在 中，， 是 中点，， 是 的角平分线，连接 、． (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 ，求 的长． 25．（8 分）新定义：若关于 的一元二次方程有两个实数根且其中一个实数根等于另一个实数根的 3 倍，则称这个一元二次方程为三倍友方程．例如方程： 两根为 1、3，则这个方程是三倍友方程． (1)判断一元二次方程 是否为三倍友方程，并说明理由； (2)若方程 是三倍友方程，求 的值； 26．（12 分）如图，，，， 为矩形的 4 个顶点，，，动点 ， 分别以 ， 的速度从点 ， 同时出发，点 从点 向点 移动，点 从点 向点 移动． (1)若点 从点 移动到点 停止，点 ， 分别从点 ， 同时出发，问经过 2s 时，， 两点之间的距离是多少？ (2)若点 从点 移动到点 停止，点 随点 的停止而停止移动，点 ， 分别从点 ， 同时出发，问经过多长时间 ， 两点之间的距离是 10cm？ (3)若点 沿着 移动，点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 从点 移动到点 停止时，点 随点 的停止而停止移动，试求经过多长时间 的面积为 ． 九年级数学期中试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $