甘肃武威市凉州区武威第二十七中学2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

武威第二十七中学2026-2027学年九年级数学上册期中试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于x的方程的一个根，则a的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2 3．对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（     ） A．或3 B．或4 C．1或 D．1或 4．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 5．抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（     ） A．对称轴是直线 B．当或时， C．顶点的坐标为 D．当时，随的增大而减小 6．抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 7．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 9．若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 10．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 12．二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 13．当时，二次函数的最大值为______． 14．已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 15．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，若，则______（填“”“”或“”）． 16．抛物线上有两点、，若，则________． 17．如图，矩形的顶点A和边上的点E在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，且，则k的值为________． 18．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 三、解答题（共72分） 19．（本题12分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（本题8分）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 21．（本题6分）已知抛物线过 与 且有最大值 ． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 22．（本题6分）如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． 23．（本题8分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元． (1)如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个． (2)求与之间的函数表达式． (3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．（本题8分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 25．（本题8分）定义：已知关于的一元二次方程（、、为常数，且）有两个实数根、，且，则称方程为“黄金方程”．例如：方程有两个实数根，且两个实数根之和为，两个实数根之积为，，∴方程是黄金方程． 请你根据此定义，解答下列问题： (1)请通过计算判断方程是否为“黄金方程”； (2)已知关于的方程为“黄金方程”，求的值． 26．（本题10分）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $