精品解析：甘肃天水市清水县秦亭镇秦亭学区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度上学期期中试题 九年级数学（A卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ，，，均能继续化简， ∴ 选项A、B、C不是最简二次根式； ∵ 无法继续化简， ∴ 是最简二次根式. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可： A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意； B、，故此选项运算正确，不合题意； C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意； D、，故此选项运算正确，不合题意． 故选A． 考点：二次根式的运算. 3. 已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且. 解得． 4. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 5. 用配方解方程，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可． 【详解】解∶ ，变形得， 配方得，即． 故选∶B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断． 【详解】解：∵， ∴是相似形的是甲和丙 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键． 7. 已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵、、、四条线段成比例， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 8. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴选项变形正确，选项变形错误． 9. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直接开平方法及一元二次方程根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：、∵， ∴， 又∵， ∴方程没有实数根，该选项符合题意； 、∵， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； 、∵， ∴方程有两个相等的实数根，该选项不符合题意； 、∵， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意． 10. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题关键．设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 由题意得：， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12. 比大小：__________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 13. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 14. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 15. 使等式成立的a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 16. 若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 三、解答题（共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式， ． 18. 已知，求的值． 【答案】4 【解析】 【详解】解： ∴ 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 20. 已知关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵， 而， 故． 所以方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的判别式判断即可． 【详解】略 21. 已知是一元二次方程的一个根，求它的另一个根及的值． 【答案】它的另一个根是，的值是． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 利用根与系数的关系来求方程的另一根；把代入已知方程求得的值． 【详解】解：设方程的另一根为，则 ， 解得． 把代入，得 ， 解得． 综上所述，它的另一个根是，c的值是． 22. 2024年泡泡玛特推出拉布布系列，“拉布布”公仔爆红．据统计“拉布布”公仔在某电商平台3月份的销售量是5万件，5月份的销售量是万件． （1）该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）若月平均增长率不变，求6月份的销售量为多少万件？ 【答案】（1）月平均增长率是  （2）6月份的销售量为万件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是 x，根据题意列一元二次方程求解； （2）利用求出的增长率即可求出结果． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是 x， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是 ； 【小问2详解】 解：（万件）， 答：6月份的销售量为万件． 四、解答题（共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，整理并使用因式分解法解方程即可得出答案． 【详解】解：设， 则， 整理得：， ， 或， 解得，（不合题意，舍去）， 故的值为． 24. 如图，在中，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质，由，可得到，，由相似三角形的性质即可得证．解题的关键是掌握：相似三角形的对应边成比例． 【详解】略 25. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】（1）三边长分别为 （2）三边长分别为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 【小问2详解】 解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 26. 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． （2）已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）仿照题例“换根法”解答即可； （）仿照题例“换根法”解答即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则， ∵已知方程的根不为零， ∴，，， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为． 27. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】（1）80；1600 （2）每件工艺品售价应为55元 （3）利润不能到2000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“销售单价每提高1元，每天就减少售出2件”可求出销售量，再根据“利润=每件的利润×每天的销售量”计算即可得解； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． （3）同（2），利润=每件的利润×每天的销售量，判断该方程是否有解，且小于65，若存在，则能，否则则不能． 【小问1详解】 解：依题意得：销售量为：（件）， 销售利润为：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 【小问3详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， ， ∴无解， 答：利润不能到2000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中试题 九年级数学（A卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 用配方解方程，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙 7. 已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12. 比大小：__________． 13. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 14. 若，则_________． 15. 使等式成立的a的取值范围为_________． 16. 若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为______． 三、解答题（共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知，求的值． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根． 21. 已知是一元二次方程的一个根，求它的另一个根及的值． 22. 2024年泡泡玛特推出拉布布系列，“拉布布”公仔爆红．据统计“拉布布”公仔在某电商平台3月份的销售量是5万件，5月份的销售量是万件． （1）该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）若月平均增长率不变，求6月份的销售量为多少万件？ 四、解答题（共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 已知，求的值． 24. 如图，在中，，．求证：． 25. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 26. 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． （2）已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 27. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $