福建泉州市南安第一中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段考数学试题

南安一中2025-2026学年度高一年第一次阶段考 数学科试卷 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则=（   ） A． B． C． D． 2. 下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设常数，集合，，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 8．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．设，，且，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为1 11．，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．，， C．，，若，则 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合满足，则符合条件的集合有__________个. 13．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 14．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________．   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 16．（15分）已知函数 (1)在直角坐标系中，画出函数的图象； (2)若，求实数的值； (3)若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 17．（15分）如图，长方形（）的周长为. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为或，求的值. (2)若关于的不等式解集中恰好有个整数，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 南安一中2025-2026学年度高一年第一次阶段考 数学科试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B B A C A BCD AB BD 1．B【详解】由题意得，又，所以. 3．A【详解】由，得或，因此“”是“”的充分不必要条件. 4．B【详解】若，则. 当时，，满足，所以符合题意； 当时，若，则，解得.综上，. 5．B【详解】令，即，则， 所以 可转化为， 所以，所以． 6．A【详解】由题意，对任意，都有恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，符合题意； 当时，使 的解集为， 有，解得.综上所述，的取值范围是. 7．C【详解】设，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，即， 当时，，即，所以， 当时，，当且仅当时取等号，当时，，当时，，故函数的最小值为0. 8．A【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 10．AB【详解】对于A项，，当且仅当，即时等号成立，此时的最大值为2，故A正确；对于B项，由题可得，令 当，有最小值，此时，故B正确； 对于C项，，当且仅当，即时，有最小值，故C错误； 对于D项，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，故D错误. 11．BD【详解】对于A，由，得恒成立，A错误； 对于B，，，则， 当时，，有； 当时，，因此，，B正确； 选项C，取，满足，而，C错误； 对于D，，当时，，则， 即有，又，因此； 当时，，则，即有， 又，因此，D正确.故选：BD 12．4【详解】由可知必须属于；又，故是的子集； 对的每个子集，集合均满足题设条件，且一一对应； 的子集为、、、，共4个，因此符合条件的集合有4个． 13． 【详解】命题“”为假命题，它的否定：为真命题， 即，令， 二次函数对称轴，，存在性：只需，， 实数的取值范围：. 14． 【详解】由，得是增函数，且当时，，当时，， 由在时恒成立，得当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，化简得， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 15．(1)，或(2) 【详解】（1）由，， 则或， 2分 则， 4分 或. 6分 （2）由于，当时，，得 8分 当时，，且，解得. 12分 综上可知或， 即的取值范围为. 13分 16．【详解】（1）当时，是开口向上的抛物线，顶点为，过、，保留左侧（含）部分，为实心点， 当时，是斜率为的射线，过（空心点，不含端点），向右下方延伸. 6分 （2）因为， 当时，，即，解得，满足； 8分 当时，，解得，满足； 10分 综上，实数的值为或. 11分 （3）结合图象走势分析： 抛物线段（）值域为，射线段（）值域为， 当时，抛物线对应2个交点、射线对应1个交点，总计3个公共点， 因此直线与函数的图象有3个公共点时，的取值范围是. 15分 17．(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【详解】（1）由题意，长方形（）的周长为，， 所以 ， 设，则， 所以， 2分 由于，所以， 所以， 4分 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. 5分 （2）（ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以， ， ，所以 ， 8分 所以， 所以的周长为 ； 9分 （ⅱ）设，则 ， 由 可得 ，解得. 10分 由（ⅰ）知， ， 在中，有， 解得， 12分 则， 14分 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 15分 18．(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：因为函数，a，， 又的解集为或， 所以2，4方程的两根， 1分 由， 3分 解得 4分 （2）由得， 令， 则，知， 5分 故解集中的3个整数只能是3，4，5或，0，1； 6分 若解集中的3个整数是3，4，5， 则，得； 7分 解集中的3个整数是，0，1； 则，得； 9分 综上，由知，实数a的取值范围为或． 10分 （3）因为函数，a，， 由在上恒成立，知在上恒成立， 化简得， 12分 设， 14分 设， 15分 因为在在上单调递增， 即， 所以． 17分 19【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 2分 对于集合，因为，，，，，，，， 所以集合具有性质． 4分 (2)依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 6分 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 7分 如 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2 × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 5 × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 7 × × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 8 × × × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 9 × × × × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 10 × × × × × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 11 × × × × × × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ 12 × × × × × × × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ 13 × × × × × × × × × × × × × √ √ √ √ √ √ √ 14 × × × × × × × × × × × × × × √ √ √ √ √ √ 15 × × × × × × × × × × × × × × × √ √ √ √ √ 16 × × × × × × × × × × × × × × × × √ √ √ √ 17 × × × × × × × × × × × × × × × × × √ √ √ 18 × × × × × × × × × × × × × × × × × × √ √ 19 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × √ 20 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 因此集合中元素的个数不超过，故． 9分 (3)，理由： 对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 13分 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $