精品解析：天津市滨海新区大港油田实验中学2026-2027学年高二第一学期第一次阶段性考试数学试题

天津市滨海新区油田实验 2026-2027 学年度第一学期高二数学第一次阶段性考试 考试时间：100分钟 满分：150分 一、单选题 （本题共 60 分， 每小题 5 分， 共 12 小题） 1. 直线的横截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线的一个方向向量为，直线过点，且，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 方程所表示的圆的最大面积为（ ） A. B. C. D. 11. 设点， ，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本题共 40 分，每小题 5 分，共 8 小题） 13. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为______. 14. 已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 15. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是_____． 16. 过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 17. 已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为_____. 18. 圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______. 19. 已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. 20. 已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为__________ 三、解答题 （本题共 50 分， 共 3 小题） 21. 已知，求(均写成一般式方程)： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程及点关于对称点； （3）过点且在坐标轴上截距相等的直线方程． 22. 设点，以线段为直径作圆 ． （1）求圆的方程； （2）若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； （3）已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 23. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是线段和上的点，且为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区油田实验 2026-2027 学年度第一学期高二数学第一次阶段性考试 考试时间：100分钟 满分：150分 一、单选题 （本题共 60 分， 每小题 5 分， 共 12 小题） 1. 直线的横截距为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】令即可得出横截距. 【详解】由题意， 在直线中， 当时，， ∴横截距为. 故选：B. 2. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量加法法则计算出答案. 【详解】. 故选：A 3. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系结合特殊角的正切值可得. 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以. 故选：D. 4. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称点的知识确定正确答案. 【详解】点关于平面的对称点是， 所以点关于平面的对称点B的坐标为. 故选：C 5. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的方程化为斜截式，结合图象，根据斜率和在y轴上的截距的正负判断. 【详解】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 6. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和，可分别求出的值，再根据向量的模长公式即可求解. 【详解】因为，所以即，解得， 因为，所以，解得， 所以，， 所以. 故选：B. 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 8. 已知直线的一个方向向量为，直线过点，且，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据两直线的位置关系可得，结合直线的点斜式方程计算即可求解. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 又，所以，所以， 所以直线的方程为，即. 故选：D 9. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求解出的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件. 【详解】若，则有，所以或， 当时，，故重合，舍去； 当时，，满足条件， 所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 10. 方程所表示的圆的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程，表示出圆的半径，求出半径的最大值，即可确定面积的最大值. 【详解】方程即， 则所给圆的半径， 所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是. 故选：C 11. 设点， ，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，直线为轴与线段不相交，不符合题意，舍去； 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 若直线与线段相交，则斜率满足或， 即实数的取值范围是. 12. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据新定义及空间向量的运算即可求解． 【详解】设分别为与同方向的单位向量， 则．得，， 由题可得， 即， 即，解得． 故选：B 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 二、填空题（本题共 40 分，每小题 5 分，共 8 小题） 13. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为______. 【答案】-8 【解析】 【分析】直线AB与直线平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值. 【详解】∵直线2x+y-1＝0的斜率等于﹣2， ∴过点和的直线的斜率也是﹣2， 由斜率公式得，解得m＝﹣8， 故答案为：-8． 【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属于基础题. 14. 已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 15. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用两直线平行的充要条件求解参数，再将两直线、系数化为一致后用平行直线距离公式计算距离. 【详解】设直线，直线，由两直线平行得，解得， 此时，直线，即，符合平行要求， 则它们之间的距离是. 16. 过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径，利用圆的切线垂直于过切点的半径的性质，结合勾股定理计算切线长. 【详解】由圆的方程，可得该圆的圆心为，半径， 原点到圆心的距离为. 因为是切线的切点，根据圆的切线性质可知，即为直角三角形，且. 由勾股定理可得切线长. 17. 已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可. 【详解】由， 化简可得， 圆心在第二象限，则， 所以，解得， 所以实数的范围. 故答案为： 18. 圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设所求圆的圆心为，半径为，利用两点间的距离公式可得，再利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心到直线x＋y＝1的距离，由此得到关于的方程，解方程即可求出圆心C的坐标，进而求出半径，代入圆的标准方程即可求解. 【详解】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上， 所以可设圆心为，半径为， 由题意知，， 又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得， ， 所以， 解得，， 所以所求圆C的方程为. 故答案为： 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系求圆的标准方程、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力；熟练掌握点与圆、直线与圆的位置关系是求解本题的关键；属于中档题. 19. 已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围. 【详解】易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是. 故答案为：. 20. 已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 三、解答题 （本题共 50 分， 共 3 小题） 21. 已知，求(均写成一般式方程)： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程及点关于对称点； （3）过点且在坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出中点坐标，再利用两点式方程写出边上的中线所在的直线方程， （2）先求出中点坐标，然后求出边所在直线斜率，利用两垂直直线斜率满足的关系求出的斜率，然后利用点斜式写出直线的方程； 设出点的坐标，求出所在直线的斜率，利用，列出方程，然后利用中点在直线上列出另外一个方程，联立求解即可得点坐标. （3）分截距为和不为两种情况讨论，然后写出直线方程. 【小问1详解】 ，的中点， 由两点式方程可得直线的方程为，整理得， ，即边上的中线所在的直线方程为. 【小问2详解】 的中点，， 边的垂直平分线所在的直线的斜率为， 由点斜式方程可得边的垂直平分线所在的直线方程为， 整理得. 设点关于对称点，，， 即①， 的中点，在上，， 整理得②， 联立①②，解得，即. 【小问3详解】 当直线的截距均为时，此时直线过和，可得此时直线的方程为，整理得； 当直线的截距不为时，设直线的纵横截距为，由截距式方程可得， 又直线经过，，得，故直线的方程为. 综上，直线方程为或. 22. 设点，以线段为直径作圆 ． （1）求圆的方程； （2）若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； （3）已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间的距离公式求出半径即可； （2）分情况讨论：当直线斜率不存在时，单独验证弦长是否符合要求；当斜率存在时，设出点斜式方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，由垂径定理和勾股定理可得，求出斜率即可； （3）利用切线性质与勾股定理把四边形面积转化为，根据垂线段最短求出点到直线的距离，再代回式子算出面积最小值. 【小问1详解】 由题意可知，圆的圆心为线段的中点， 因为，所以圆心的坐标为， 圆的半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当斜率不存在时，过点 的直线，此时，舍去. 当斜率存在时，设直线的方程为即. 圆心到直线的距离为， 因为，，由垂径定理可得， 即，所以， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由切线的性质可知，，，且， 四边形PECF面积， 在中，， 所以，要使最小，需最小. 因为在直线 上， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 即四边形PECF面积的最小值为. 23. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是线段和上的点，且为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为三棱柱中，底面，平面， 所以. 又，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由，且，为的中点， 可得：. 则，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 因为，所以. 又因为平面，所以平面. （2） （3）假设存在点满足条件. 因为在棱上，设，即， 所以，则. 设直线与平面所成角为， 则. 由题意知，化简得， 两边平方得，即，解得. 所以存在点满足条件.此时，则. 故存在满足条件的点，线段的长为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量以及平面的法向量，通过证明且平面，即可得证； （2）由（1）可知平面，将线面距离转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式求解即可； （3）设，求出点和向量的坐标，利用直线与平面所成角的正弦值为列关于的方程，解出后再求线段的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 由（1）知平面的法向量为，且， 所以距离. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $