天津市滨海新区塘沽第一中学2026～2027学年度九年级第一学期期中检测数学试卷

塘沽一中教育集团 2026-2027 学年度第一学期期中检测试卷 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题共 36 分）和第Ⅱ卷（非选择题共 84 分）两部分．试卷满分 120 分．考试时间 100 分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若用配方法解一元二次方程 ，则此方程可化为（　　） A． B． C． D． 3．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． 且 C． D． 4．某钢铁厂四月份的产量是 50 万吨，第二季度的总产量是 182 万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为 ，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得抛物线为（　　） A． B． C． D． 7．下列关于二次函数 （ 为常数）的结论： ①该函数的图象与函数 图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点 ； ③当 时， 随 的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数 的图象上． 其中所有正确的结论有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 8．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量 （g）不变，其体积 （cm³）与密度 ρ（g/cm³）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于 20g/cm³ 时，其体积可以是（　　） A．0cm³ B．16cm³ C．20cm³ D．24cm³ 9．如图，将矩形 绕点 顺时针旋转到矩形 的位置，若旋转角为 ，则 为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在等腰直角 中，，，点 为斜边 上一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则下列说法正确的有（　　）个 ①；②；③； ④． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为 ，且图象经过点 ．下列说法：①；②；③若 ， 是抛物线上的两点，则 ；④（其中 ）；⑤．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．矩形 中，cm，cm．动点 从点 出发，以 1cm/s 的速度沿边 向终点 运动；动点 从点 出发，以 2cm/s 的速度沿边 、边 向终点 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 s．当 s 时，点 ， 的位置如图所示．有下列结论： ①当 s 时，cm； ②当 时， 的面积随 的增大而减小； ③在点 ， 运动的过程中， 的最大面积为 9cm²； ④ 有两个不同的值满足 的面积为 2cm²． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 共 84 分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图用 2B 铅笔）． 2．本卷共 13 题，共 84 分． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．点 关于原点对称的点的坐标为______． 14．如图，点 是反比例函数 （）在第一象限内图象上的一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，矩形 的面积为 6，则 的值为______． 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出______个小分支． 16．如图，在 Rt 中，，，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 ， 的对应点分别为 ，，若点 恰好落在 中点，则线段 的长为______． 17．飞机着陆后滑行的距离 （单位：m）关于滑行的时间 （单位：s）的函数解析式是 ，则飞机着陆后滑行______m 后才能停下来． 18．如图，在正方形 中，， 为 边上一点，点 在 边上，且 ，将点 绕着点 顺时针旋转 得到点 ，连接 ，则 的长最小值为______． 三、解答题（本大题共 7 个小题，共计 66 分） 19．（本小题 8 分）解下列方程 (1)； (2)． 20．（本小题 8 分）已知关于 的一元二次方程 ． (1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为 ，，且满足 ，求实数 的值． 21．（本小题 10 分）如图，平面直角坐标系内，网格中小正方形的边长均为 1 个单位长度，， 的顶点均在格点上． (1)画出 关于原点 的中心对称图形 ； (2)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ； (3)旋转后点 的坐标为______，连接 ，则 的长为______； (4)若 是由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 22．（本小题 10 分） 如图，直线 与双曲线 交于点 ，． (1) 反比例函数解析式______，直线 解析式______； (2) 若 时， 的取值范围______； (3) 求 的面积． 23．（本小题 10 分）某公司生产一种产品供应市场，每件产品的制造成本为 1 元，当售价是 1.5 元时，每月可售出 7 万件，售价每上涨 0.5 元，每月销售量减少 1 万件．设每件商品售价上涨 元，每个月的销售利润为 万元 (1) 写出公司每月获得的利润 （万元）关于 的函数解析式； (2) 当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为 6 万元？ (3) 若公司每月的制造成本不超过 3.6 万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 24．（本小题 10 分）在平面直角坐标系中， 为原点， 是等边三角形，点 ，点 在第一象限， 为边 的中点．以点 为中心，逆时针旋转 ，得 ，点 ， 的对应点分别为 ，．记旋转角为 ，其中 ． (1)填空：如图①，当 时， 与 相交于点 ，点 的坐标为______，点 的坐标为______； (2)如图②，当 时， 与 轴相交于点 ，求点 ， 的坐标； (3) 为线段 的中点，求 的面积 的取值范围（直接写出结果即可）． 25．（本小题 10 分）已知抛物线 （、、 是常数，）经过原点，且与 轴交于 ， 是顶点 (1) 当顶点 的纵坐标是 2 时，求抛物线解析式； (2) 若点 在线段 上，且点 的横坐标为 ， 是线段 上一动点（不与 重合），在 右侧作平行四边形 ①当点 落在抛物线上时，求点 坐标； ②连接 ，，当 的最小值是 时，求点 坐标． 九年级数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中教育集团 2026-2027 学年度第一学期期中检测试卷 九年级数学 参考答案与试题解析 1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】沿某条直线折叠后两部分能够完全重合的图形是轴对称图形；绕某一点旋转 后能与自身重合的图形是中心对称图形． 【解答】A 中螺旋纹既不是轴对称图形也不是中心对称图形；C 中云纹只是轴对称图形，不是中心对称图形；D 中回纹只是中心对称图形，不是轴对称图形；B 中中国结既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选 B． 2．若用配方法解一元二次方程 ，则此方程可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方法的关键是把常数项移项后，两边同加上一次项系数一半的平方． 【解答】移项得 ，两边同加 得 ，即 ．故选 A． 3．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． 且 C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，需同时满足二次项系数不为 0 和判别式大于 0． 【解答】由题意 ，且 ，解得 ．所以 且 ，故选 A． 4．某钢铁厂四月份的产量是 50 万吨，第二季度的总产量是 182 万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为 ，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均增长率为 ，则四、五、六三个月的产量依次为 50，，． 【解答】第二季度总产量为 ，故选 D． 5．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，故反比例函数的系数 ，图象位于第二、四象限，在每个象限内 随 的增大而增大． 【解答】 时 ； 时 ； 时 ．因为 ，所以 ，故选 D． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得抛物线为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【解答】向上平移 3 个单位得 ，再向右平移 2 个单位得 ，故选 A． 7．下列关于二次函数 （ 为常数）的结论： ①该函数的图象与函数 图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点 ； ③当 时， 随 的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数 的图象上． 其中所有正确的结论有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】逐条判断：形状由 决定；定点代入检验；单调性由对称轴与区间的关系决定；顶点坐标代入另一解析式检验． 【解答】①二次项系数均为 ，开口方向、大小相同，形状相同，正确； ②令 得 ，图象一定过 ，正确； ③函数图象开口向下，对称轴为 ，只有当 时 才随 的增大而减小；如取 ，当 时 随 的增大而增大，错误； ④顶点为 ，而 时 ，即顶点在 的图象上，正确． 所以正确的结论有 3 个，故选 B． 8．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量 （g）不变，其体积 （cm³）与密度 ρ（g/cm³）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于 20g/cm³ 时，其体积可以是（　　） A．0cm³ B．16cm³ C．20cm³ D．24cm³ 【答案】B 【分析】由图象读出 时 ，先求质量 ，再由“密度大于 20g/cm³”求体积范围． 【解答】设 ，把 代入得 ，所以 ． 当 时，，即体积应小于 20cm³，四个选项中只有 16cm³ 符合，故选 B． 9．如图，将矩形 绕点 顺时针旋转到矩形 的位置，若旋转角为 ，则 为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】旋转前后对应线段相等、对应角相等；矩形的每个角都是直角，邻边互相垂直． 【解答】旋转后 的对应边为 ，故 与 的夹角等于旋转角 ． 因为 ，所以 与 所成的锐角为 ． 设 与 交于点 ，则 与这个锐角互为邻补角， ．故选 A． 10．如图，在等腰直角 中，，，点 为斜边 上一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则下列说法正确的有（　　）个 ①；②；③； ④． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】旋转不改变图形的形状和大小：，，，，． 【解答】①由旋转得 ，而 ，故 ，正确； ②由旋转得 ，，所以 ，与 无固定关系，错误； ③由旋转得 ，，故 ， 在 Rt 中 ；又 ，所以 ，正确； ④设 ，则 ，； 在 中 ，故 ． 又 ，所以 ，正确． 正确的有 3 个，故选 C． 11．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为 ，且图象经过点 ．下列说法：①；②；③若 ， 是抛物线上的两点，则 ；④（其中 ）；⑤．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象开口方向、对称轴、与 轴的交点确定 ，， 的符号与关系，再用图象的对称性和最值判断各结论． 【解答】由图象开口向下知 ；对称轴 ，得 ； 图象过 ，得 ，即 ． ①，正确； ②因为抛物线与 轴的另一交点为 ，所以 ，错误； ③点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，开口向下，距离越大函数值越小，故 ，错误； ④顶点纵坐标为 ，开口向下时它是最大值， 所以当 时 成立，正确； ⑤，正确． 正确的有 3 个，故选 C． 12．矩形 中，cm，cm．动点 从点 出发，以 1cm/s 的速度沿边 向终点 运动；动点 从点 出发，以 2cm/s 的速度沿边 、边 向终点 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 s．当 s 时，点 ， 的位置如图所示．有下列结论： ①当 s 时，cm； ②当 时， 的面积随 的增大而减小； ③在点 ， 运动的过程中， 的最大面积为 9cm²； ④ 有两个不同的值满足 的面积为 2cm²． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】建立坐标系，用 表示 ， 的坐标，分段求 与 的面积，再逐条判断． 【解答】以 为原点， 所在直线为 轴建系，则 ，，． ；当 时 ，当 时 ．由 先到终点知 ． ① 时 ，，cm，正确； ②当 时，， 都在 上，， ，在 时随 增大而减小，在 时随 增大而增大，错误； ③当 时，； 当 时，（ 或 时取到）． 所以 的最大面积为 9cm²，正确； ④ 时： 得 ； 得 或 ． 共有 3 个不同的 值，错误． 正确的有 2 个，故选 B． 13．点 关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【分析】关于原点对称的两点，横、纵坐标都互为相反数． 【解答】点 关于原点对称的点的坐标为 ． 14．如图，点 是反比例函数 （）在第一象限内图象上的一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，矩形 的面积为 6，则 的值为______． 【答案】 【分析】设 ，则矩形 的两邻边长分别为 ，，面积 ；点 在 上，故 ． 【解答】设 ，则 ，， 矩形 的面积 ．故 ． 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出______个小分支． 【答案】 【分析】设每个支干长出 个小分支，则主干 1 个、支干 个、小分支 个． 【解答】由题意 ，即 ，， 解得 或 （不合题意，舍去）． 所以每个支干长出 9 个小分支． 16．如图，在 Rt 中，，，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 ， 的对应点分别为 ，，若点 恰好落在 中点，则线段 的长为______． 【答案】 【分析】旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，故 ，，旋转角 ． 【解答】因为 是 的中点，，所以 ． 由旋转得 ，又 ，故 是等边三角形，旋转角 ． 在 Rt 中，． 由旋转得 ，，所以 是等边三角形， 故 ． 17．飞机着陆后滑行的距离 （单位：m）关于滑行的时间 （单位：s）的函数解析式是 ，则飞机着陆后滑行______m 后才能停下来． 【答案】 【分析】滑行距离是时间 的二次函数，飞机停下时 取得最大值，用配方法或顶点公式求最值． 【解答】． 当 时 取得最大值 480，即着陆后滑行 480m 才能停下来． 18．如图，在正方形 中，， 为 边上一点，点 在 边上，且 ，将点 绕着点 顺时针旋转 得到点 ，连接 ，则 的长最小值为______． 【答案】 【分析】以 为原点建立坐标系，用 的纵坐标表示 的坐标，把 的最小值转化为点到直线的距离． 【解答】以 为原点，， 所在直线为 轴、 轴建系，则 ，，，，． 设 （），把 绕 顺时针旋转 得 ， 即点 在直线 上运动． ， 当 （即 ）时取等号，所以 的最小值为 4． 19．(1)； (2)． 【答案】(1)，；(2)， 【分析】(1) 二次项系数为 1，可用配方法或公式法；(2) 先移项，再提取公因式因式分解，注意不要两边同除以 ． 【解答】(1) 移项得 ，，，， ， ， 即 ，． (2) 移项得 ， 提取公因式得 ， 所以 或 ，即 ，． 20．(1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为 ，，且满足 ，求实数 的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1) 方程有实数根 ；(2) 用韦达定理把 化为 ，再结合 (1) 的范围取舍． 【解答】(1) ． 由 得 ，即 ． (2) 由韦达定理 ，， ． 由 得 ，解得 或 ． 因为 ，所以 不合题意，舍去，故 ． 21．(1)画出 关于原点 的中心对称图形 ； (2)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ； (3)旋转后点 的坐标为______，连接 ，则 的长为______； (4)若 是由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 【答案】(3)，；(4) 【分析】关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数；绕点 逆时针旋转 可用坐标变换 （以 为原点）；旋转中心到对应点的距离相等． 【解答】由网格得 ，，，，，． (1) ，，，顺次连接即得 ． (2) 以 为旋转中心逆时针旋转 ： ，， 连接 ，， 即得 ． (3) 的坐标为 ； ． (4) 由 的垂直平分线为 ， 的垂直平分线为 ， 两线交点为 ，且 到 ，、，、， 的距离分别相等， 故旋转中心的坐标为 ． 22．如图，直线 与双曲线 交于点 ，． (1) 反比例函数解析式______，直线 解析式______； (2) 若 时， 的取值范围______； (3) 求 的面积． 【答案】(1)，；(2) 或 ；(3) 【分析】(1) 把 代入 求 ，再把 ， 代入直线求 ，；(2) 图象法，比较两函数图象的位置；(3) 用 轴分段或面积公式求 的面积． 【解答】(1) 把 代入 得 ，所以 ． 把 代入得 ，，即 ． 把 ， 代入 ，得 ，， 解得 ，，所以 ． (2) 由图象可知，当 或 时，双曲线在直线的下方， 即 ． (3) 设直线 与 轴交于点 ，令 得 ，即 ． ． 23．(1) 写出公司每月获得的利润 （万元）关于 的函数解析式； (2) 当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为 6 万元？ (3) 若公司每月的制造成本不超过 3.6 万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（）；(2)2 元或 4 元；(3)售价 3.2 元时利润最大，最大利润 7.92 万元 【分析】每件利润为 元，销售量为 万件（售价每涨 1 元，销量减少 2 万件），利润 每件利润 销售量． 【解答】(1) 售价上涨 元时，每件利润为 元，月销售量为 万件， （）． (2) 由 得 ， 即 ，解得 或 ． 所以销售单价为 元或 元． (3) 由制造成本不超过 3.6 万元得 ，解得 ． ，对称轴为 ， 当 时 随 的增大而减小， 所以 时 最大，． 即售价为 元时利润最大，最大利润 7.92 万元． 24．(1)填空：如图①，当 时， 与 相交于点 ，点 的坐标为______，点 的坐标为______； (2)如图②，当 时， 与 轴相交于点 ，求点 ， 的坐标； (3) 为线段 的中点，求 的面积 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，；(2)，；(3) 【分析】(1) 由 及旋转角 写出 的坐标；再求直线 与 的交点．(2) 写出 时 ， 的坐标，求直线与 轴的交点．(3) 先证 为定值，把 转化为点 到直线 的距离问题． 【解答】由 ， 为等边三角形得 ，，，，． (1) 当 时，， ． 直线 ：，直线 ：， 联立得 ，，即 ． (2) 当 时，， ． 直线 的斜率为 ，方程为 ， 令 得 ，所以 ． (3) 设 ，由 为 的中点得 ， ， 所以 ，即点 在以 为圆心、 为半径的圆上． 直线 的方程为 ，， 点 到 的距离 ， 而 ， 故 ， ． 因为 ，所以 ， 当 时 取最大值 ， 当 时 取最小值 ， 故 ． 25．(1) 当顶点 的纵坐标是 2 时，求抛物线解析式； (2) 若点 在线段 上，且点 的横坐标为 ， 是线段 上一动点（不与 重合），在 右侧作平行四边形 ①当点 落在抛物线上时，求点 坐标； ②连接 ，，当 的最小值是 时，求点 坐标． 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】抛物线过原点和 ，可设 ，顶点为 ；第 (2) 问把 ， 的坐标用 和 的横坐标表示，再代入条件． 【解答】因为抛物线经过原点，设 ，顶点为 ． (1) 由 得 ，所以 ． (2) 因为 在线段 上且横坐标为 ，而直线 ：， 所以 ．设 （）， 由平行四边形 得 ． ①点 在抛物线上，则 ， 因为 ，所以 ， 解得 ，即 ． 因为 ，所以 ，即 ． ②，． 作 关于 轴的对称点 ，则 ； 可看作点 到点 的距离， 所以 ，当 在线段 上时取等号． 由 得 ，又 ，故 ． 此时 ，， 直线 ：，令 得 ， 所以 ． 九年级数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $