精品解析：山西太原市第二外国语学校教育集团（太原市第十八中学）2026～2027学年高一上学期10月集中练习数学试卷

太原二外教育集团 2026-2027 学年度第一学期 10 月集中练习 高一年级数学 一、单选题（每题 3 分，满分 24 分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 3. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 4. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知集合，，，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人．同时参加集体项目和田径比赛的有3人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（ ）人 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题 3 分，满分 9 分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 10. 对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 若，则的最小值为 C. 若，，则 D. 已知正数，满足，则的最小值为2 三、填空题（每题 3 分，满分 9 分） 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 13. 已知，则的最小值为______． 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 四、解答题（15 题 10 分，16 题 10 分，17 题 10 分，18 题 13 分，19 题 15 分） 15. 已知集合． （1）若，求集合； （2）设，若，求实数a的值． 16. 已知集合 ，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知，，且. （1）证明：. （2）求的最小值. 18. 已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 19. 若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； （2）设集合是“好集”，求证：若，则； （3）设集合是“好集”，求证：若，则； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原二外教育集团 2026-2027 学年度第一学期 10 月集中练习 高一年级数学 一、单选题（每题 3 分，满分 24 分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 3. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解集、根与系数关系求得正确答案. 【详解】依题意关于x的一元二次不等式的解集为或， 所以，解得，所以. 故选：B 4. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 5. 已知集合，，，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将集合结构化为一致，然后根据集合关系即可判断. 【详解】， ， ， . 故选：B. 6. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人．同时参加集体项目和田径比赛的有3人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（ ）人 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】设集合，集合， 集合， 由题意得，，，，， ，，， 由三集合的容斥公式得， ， 即， 解得，， 又因为，即只参加集体项目比赛的同学有9人， 所以，即同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有12人. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：集合是集合的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 当时，集合是集合的真子集； 当时，集合是集合的真子集. f故实数的取值范围是. 二、多选题（每题 3 分，满分 9 分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，写出命题的否定，即可判断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误； 故选：BC. 10. 对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 若，则的最小值为 C. 若，，则 D. 已知正数，满足，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】解分式不等式判断A，利用基本不等式判断B、D，利用不等式的性质判断C. 【详解】对于A：不等式，即，解得， 即不等式的解集是，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故B正确； 对于C：令， 所以，解得， 所以，因为，， 所以，， 所以，即，故C错误； 对于D：因为正数，满足， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题 3 分，满分 9 分） 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】将代数式变形，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3． 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，分类讨论集合中元素可得解. 【详解】由已知，且， 由， （1）当，即时，由解得，不满足； （2）当时，①由，即时，则，满足； ②当，则，此时，不满足； ③当时，由知，则，解得， 综上，的取值范围是. 四、解答题（15 题 10 分，16 题 10 分，17 题 10 分，18 题 13 分，19 题 15 分） 15. 已知集合． （1）若，求集合； （2）设，若，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到且，列出方程组，求得的值，得到集合，结合集合交集和并集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，求得的值，验证集合的互异性，进而得到答案. 【小问1详解】 解：由集合， 若，可得且，则，解得， 所以，可得故． 【小问2详解】 解：由集合， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，实数的值为． 16. 已知集合 ，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，可得， 当时，即，时，，符合题意； 当，即时，由得且，即且， 所以， 综上，． 【小问2详解】 是的充分不必要条件，即是的真子集． 当时，，此时是的真子集成立； 当时，需且，即， 又（因需与同时成立，无解），故， 综上，． 17. 已知，，且. （1）证明：. （2）求的最小值. 【答案】（1） 证明：因为，，所以，，所以. 因为，所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 故. （2）14 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可证明； （2）由，得，进而对利用基本不等式可得到最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 因为，，所以 当且仅当，即，即或时，等号成立， 则，即的最小值是14. 18. 已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； 【小问2详解】 由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 19. 若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； （2）设集合是“好集”，求证：若，则； （3）设集合是“好集”，求证：若，则； 【答案】（1）B不是“好集”；是“好集” （2） 证明：因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3） 证明：对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 【解析】 【分析】（1）利用定义，判断集合B和有理数集是否是“好集”； （2）由，若，则，从而得出； （3）任取，若或时，显然；且时，有，则，得，有，即. 【小问1详解】 B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $